Pêndulo esférico - Spherical pendulum

Na física , um pêndulo esférico é um análogo dimensional do pêndulo . Consiste em uma massa m movendo-se sem atrito na superfície de uma esfera . As únicas forças que agem sobre a massa são a reação da esfera e da gravidade .

Devido à geometria esférica do problema, as coordenadas esféricas são usadas para descrever a posição da massa em termos de ( r , θ , φ ), onde r é fixo, r = l .

Mecânica lagrangiana

Rotineiramente, para escrever as partes cinéticas e potenciais do Lagrangiano em coordenadas generalizadas arbitrárias, a posição da massa é expressa ao longo dos eixos cartesianos. Aqui, seguindo as convenções mostradas no diagrama, ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L=T-V}$

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=l(1-\cos \theta )}$.

Em seguida, as derivadas de tempo dessas coordenadas são obtidas, para obter as velocidades ao longo dos eixos

${\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}}$.

Assim,

${\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

e

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

${\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}$

O Lagrangiano, com partes constantes removidas, é

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

A equação de Euler-Lagrange envolvendo o ângulo polar${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}$

dá

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}$

e

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }$

Quando a equação se reduz à equação diferencial para o movimento de um pêndulo de gravidade simples . ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$

Da mesma forma, a equação de Euler-Lagrange envolvendo o azimute , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}$

dá

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0}$.

A última equação mostra que o momento angular em torno do eixo vertical é conservado. O fator terá um papel na formulação hamiltoniana abaixo. ${\displaystyle |\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$${\displaystyle ml^{2}\sin ^{2}\theta }$

A equação diferencial de segunda ordem que determina a evolução de é, portanto, ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta }$.

O azimute , estando ausente do Lagrangiano, é uma coordenada cíclica , o que implica que seu momento conjugado é uma constante de movimento . ${\displaystyle \phi }$

O pêndulo cônico refere-se às soluções especiais onde e é uma constante independente do tempo. ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$${\displaystyle {\dot {\phi }}}$

Mecânica hamiltoniana

O hamiltoniano é

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

onde os momentos conjugados são

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}}$

e

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}}$.

Em termos de coordenadas e momentos, ele lê

${\displaystyle H=\underbrace {{\Big [}{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}{\Big ]}} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$

As equações de Hamilton darão evolução temporal de coordenadas e momentos em quatro equações diferenciais de primeira ordem

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$

Momentum é uma constante de movimento. Isso é uma consequência da simetria rotacional do sistema em torno do eixo vertical. ${\displaystyle P_{\phi }}$

Trajetória

A trajetória da massa na esfera pode ser obtida a partir da expressão para a energia total

${\displaystyle E=\underbrace {{\Big [}{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}{\Big ]}} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}}$

observando que a componente vertical do momento angular é uma constante de movimento, independente do tempo. ${\displaystyle L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$

Portanto

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}$

o que leva a uma integral elíptica de primeiro tipo para${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

e uma integral elíptica de terceiro tipo para ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$.

O ângulo fica entre dois círculos de latitude, onde ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$.

Veja também

• Pêndulo de Foucault
• Pêndulo cônico
• As três leis do movimento de Newton
• Pêndulo
• Pendulum (matemática)
• Mecânica rutiana

Referências

Leitura adicional

• Weinstein, Alexander (1942). “O pêndulo esférico e a integração complexa”. The American Mathematical Monthly . 49 (8): 521-523. doi : 10.1080 / 00029890.1942.11991275 .
• Kohn, Walter (1946). "Integração de Countour na teoria do pêndulo esférico e o topo simétrico pesado" . Transactions of the American Mathematical Society . 59 (1): 107–131. doi : 10.2307 / 1990314 . JSTOR  1990314 .
• Olsson, MG (1981). "Pêndulo esférico revisitado". American Journal of Physics . 49 (6): 531–534. Bibcode : 1981AmJPh..49..531O . doi : 10.1119 / 1.12666 .
• Horozov, Emil (1993). “Sobre a não degenerescência isoenergética do pêndulo esférico”. Physics Letters A . 173 (3): 279–283. Bibcode : 1993PhLA..173..279H . doi : 10.1016 / 0375-9601 (93) 90279-9 .
• Shiriaev, AS; Ludvigsen, H .; Egeland, O. (2004). "Balançando o pêndulo esférico via estabilização de suas primeiras integrais". Automatica . 40 : 73–85. doi : 10.1016 / j.automatica.2003.07.009 .
• Essen, Hanno; Apazidis, Nicholas (2009). “Pontos de inflexão do pêndulo esférico e da ração de ouro”. European Journal of Physics . 30 (2): 427–432. Bibcode : 2009EJPh ... 30..427E . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 30/2/021 .
• Dullin, Holger R. (2013). "Invariantes simpléticos semi-globais do pêndulo esférico" . Journal of Differential Equations . 254 (7): 2942–2963. doi : 10.1016 / j.jde.2013.01.018 .