Número autodescritivo - Self-descriptive number

Em matemática, um número autodescritivo é um inteiro m que em uma determinada base b tem b dígitos de comprimento em que cada dígito d na posição n (o dígito mais significativo estando na posição 0 e o menos significativo na posição b -1) conta quantas instâncias do dígito n estão em m .

Exemplo

Por exemplo, na base 10, o número 6210001000 é autodescritivo pelos seguintes motivos:

Na base 10, o número possui 10 dígitos, indicando sua base;
Ele contém 6 na posição 0, indicando que há seis 0s em 6210001000;
Ele contém 2 na posição 1, indicando que há dois 1s em 6210001000;
Ele contém 1 na posição 2, indicando que há um 2 em 6210001000;
Ele contém 0 na posição 3, indicando que não há 3 em 6210001000;
Ele contém 0 na posição 4, indicando que não há 4 em 6210001000;
Ele contém 0 na posição 5, indicando que não há 5 em 6210001000;
Ele contém 1 na posição 6, indicando que há um 6 em 6210001000;
Ele contém 0 na posição 7, indicando que não há 7 em 6210001000;
Ele contém 0 na posição 8, indicando que não há 8 em 6210001000;
Ele contém 0 na posição 9, indicando que não há 9 em 6210001000.

Em bases diferentes

Não há números autodescritivos nas bases 1, 2, 3 ou 6. Nas bases 7 e acima, há, se nada mais, um número autodescritivo da forma , que tem b −4 instâncias do dígito 0, duas instâncias do dígito 1, uma instância do dígito 2, uma instância do dígito b - 4 e nenhuma instância de quaisquer outros dígitos. A tabela a seguir lista alguns números autodescritivos em algumas bases selecionadas:

Base Números autodescritivos (sequência A138480 no OEIS ) Valores na base 10 (sequência A108551 no OEIS )
4 1210, 2020 100 , 136
5 21200 14: 25h
7 3211000 389305
8 42101000 8946176
9 521001000 225331713
10 6210001000 6210001000
11 72100001000 186492227801
12 821000001000 6073061476032
... ... ...
16 C210000000001000 13983676842985394176
... ... ...
36 W21000 ... 0001000
( Reticências omite 23 zeros) 		Aproximadamente. 9,4733 × 10 55
... ... ...

Propriedades

Pelos números listados na tabela, parece que todos os números autodescritivos têm somas de dígitos iguais à sua base e que são múltiplos dessa base. O primeiro fato decorre trivialmente do fato de que a soma dos dígitos é igual ao número total de dígitos, que é igual à base, da definição de número autodescritivo.

Que um número autodescritivo na base b deve ser um múltiplo dessa base (ou equivalentemente, que o último dígito do número autodescritivo deve ser 0) pode ser provado por contradição como segue: suponha que haja de fato um self -número descritivo m na base b que tem b -dígitos de comprimento, mas não um múltiplo de b . O dígito na posição b - 1 deve ser pelo menos 1, o que significa que há pelo menos uma instância do dígito b - 1 em m . Em qualquer posição x que aquele dígito b - 1 cair, deve haver pelo menos b - 1 ocorrências do dígito x em m . Portanto, temos pelo menos uma instância do dígito 1 e b - 1 instâncias de x . Se x > 1, então m tem mais do que b dígitos, levando a uma contradição de nossa afirmação inicial. E se x = 0 ou 1, isso também leva a uma contradição.

Segue-se que um número autodescritivo na base b é um número Harshad na base b .

Números autobiográficos

Uma generalização dos números autodescritivos, chamados de números autobiográficos , permite menos dígitos do que a base, desde que os dígitos incluídos no número sejam suficientes para descrevê-lo completamente. por exemplo, na base 10, 3211000 tem 3 zeros, 2 uns, 1 dois e 1 três. Observe que isso depende de poder incluir tantos zeros à direita quantos forem adequados, sem que eles adicionem qualquer informação adicional sobre os outros dígitos presentes.

Como os zeros à esquerda não são anotados, cada número autobiográfico contém pelo menos um zero, de modo que seu primeiro dígito é diferente de zero.

Considerando um caso hipotético em que os dígitos são tratados na ordem oposta: as unidades são a contagem de zeros, os 10s são a contagem de unidades e assim por diante, não existem tais números autodescritivos. As tentativas de construir um resultam em um requisito explosivo de adicionar mais e mais dígitos.

Referências

  • Pickover, Clifford (1995). "Capítulo 28, Caos em Ontário". Chaves para o infinito . Nova York: Wiley. pp.  217–219 . ISBN   978-0471118572 .
  • Weisstein, Eric W. "Self-Descriptive Number" . MathWorld .
  • Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequência A108551 (Números autodescritivos em várias bases)" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Fundação OEIS.
  • Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequência A046043 (números autobiográficos)" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Fundação OEIS.
  • Números Autobiográficos

links externos