Repdigit - Repdigit
Na matemática recreativa , um repdigit ou às vezes monodigit é um número natural composto de instâncias repetidas do mesmo dígito em um sistema numérico posicional (frequentemente implicitamente decimal ). A palavra é uma mala de viagem de representante e dígito . Os exemplos são 11 , 666 , 4444 e 999999 . Todos os repdígitos são números palindrômicos e múltiplos de repunidades . Outros repdígitos bem conhecidos incluem os primos de repunidade e, em particular, os primos de Mersenne (que são repdígitos quando representados em binário).
Repdigits são a representação em base do número onde está o dígito repetido e é o número de repetições. Por exemplo, o repdigit 77777 na base 10 é .
Uma variação dos repdígitos chamados números brasileiros são números que podem ser escritos como repdígitos em alguma base, não permitindo o repdígito 11, e não permitindo os números de um dígito (ou todos os números serão brasileiros). Por exemplo, 27 é um número brasileiro porque 27 é o repdigit 33 na base 8, enquanto 9 não é um número brasileiro porque sua única representação repdigit é 11 8 , não permitida na definição de números brasileiros. As representações da forma 11 são consideradas triviais e não são permitidas na definição dos números brasileiros, pois todos os números naturais n maiores que dois têm a representação 11 n - 1 . Os primeiros vinte números brasileiros são
- 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, ... (sequência A125134 no OEIS ) .
História
O conceito de repdígito foi estudado com esse nome pelo menos desde 1974, e anteriormente Beiler (1966) os chamava de "números de monodígitos". Os números brasileiros foram apresentados posteriormente, em 1994, na 9ª Olimpíada Ibero-americana de Matemática que aconteceu em Fortaleza no Brasil. O primeiro problema desta competição, proposto pelo México, era o seguinte:
Um número n > 0 é chamado de "brasileiro" se existe um inteiro b tal que 1 < b < n - 1 para o qual a representação de n na base b é escrita com todos os dígitos iguais. Prove que 1994 é brasileiro e que 1993 não é brasileiro.
Primos e repunits
Para um repdigit ser primo , ele deve ser um repunit (ou seja, o dígito repetitivo é 1) e ter um número primo de dígitos em sua base (exceto números triviais de um dígito), uma vez que, por exemplo, o repdigit 77777 é divisível por 7, em qualquer base> 7. Em particular, como as unidades brasileiras não permitem que o número de dígitos seja exatamente dois, os primos brasileiros devem ter um número primo ímpar de dígitos. Ter um número ímpar de dígitos primos não é suficiente para garantir que uma unidade seja primo; por exemplo, 21 = 111 4 = 3 × 7 e 111 = 111 10 = 3 × 37 não são primos. Em qualquer base b dada , cada repunidade primo nessa base com exceção de 11 b (se for primo) é um primo brasileiro. Os menores primos brasileiros são
- 7 = 111 2 , 13 = 111 3 , 31 = 11111 2 = 111 5 , 43 = 111 6 , 73 = 111 8 , 127 = 1111111 2 , 157 = 111 12 , ... (sequência A085104 no OEIS )
Enquanto a soma dos recíprocos dos números primos é uma série divergente, a soma dos recíprocos dos números primos brasileiros é uma série convergente cujo valor, denominado "constante dos primos brasileiros", é ligeiramente maior que 0,33 (sequência A306759 no OEIS ). Essa convergência implica que os primos brasileiros formam uma fração cada vez menor de todos os números primos. Por exemplo, entre os 3,7 × 10 10 números primos abaixo de 10 12 , apenas 8,8 × 10 4 são brasileiros.
Os números primos de unidade decimal têm a forma dos valores de n listados em OEIS : A004023 . Conjeturou-se que há infinitos primos de unidades decimais. As unidades binárias são os números de Mersenne e os primos de unidades binárias são os primos de Mersenne .
Não se sabe se existem infinitos primos brasileiros. Se a conjectura de Bateman-Horn for verdadeira, então para cada número primo de dígitos existiriam infinitos primos de re-unidade com aquele número de dígitos (e, conseqüentemente, infinitos primos brasileiros). Alternativamente, se houver infinitos primos de recomunidade decimais, ou infinitamente muitos primos de Mersenne, então haverá infinitos primos brasileiros. Como uma fração cada vez menor de primos são brasileiros, há uma infinidade de primos não brasileiros, formando a sequência
Se um número de Fermat for primo, não é brasileiro, mas se for composto, é brasileiro. Contrariando uma conjectura anterior, Resta, Marcus, Grantham e Graves encontraram exemplos de primos brasileiros de Sophie Germain , o primeiro é 28792661 = 11111 73 .
Compósitos não brasileiros e poderes de recompra
Os inteiros única positivo que pode ser não-brasileiro são 1, 6, os números primos , e os quadrados dos números primos, por qualquer outro número é o produto de dois fatores x e y com 1 < x < y - 1, e pode ser escrito como xx na base y - 1. Se o quadrado de um primo p 2 é brasileiro, então o primo p deve satisfazer a equação diofantina
O matemático norueguês Trygve Nagell provou que essa equação tem apenas uma solução quando p é primo correspondendo a ( p , b , q ) = (11, 3, 5) . Portanto, o único primo ao quadrado que é brasileiro é 11 2 = 121 = 11111 3 . Há também mais um quadrado de repetição não trivial, a solução ( p , b , q ) = (20, 7, 4) correspondendo a 20 2 = 400 = 1111 7 , mas não é excepcional no que diz respeito à classificação dos números brasileiros porque 20 não é primo.
Os poderes perfeitos que são re-unidades com três dígitos ou mais em alguma base b são descritos pela equação Diofantina de Nagell e Ljunggren
Yann Bugeaud e Maurice Mignotte conjecturam que apenas três poderes perfeitos são repunidades brasileiras. Eles são 121, 343 e 400 (sequência A208242 no OEIS ), os dois quadrados listados acima e o cubo 343 = 7 3 = 111 18 .
k -números brasileiros
- O número de maneiras para que um número n seja brasileiro está em OEIS : A220136 . Portanto, existem números não brasileiros e outros brasileiros; entre esses últimos inteiros, alguns são uma vez brasileiros, outros duas vezes, ou três vezes, ou mais. Um número que é k vezes brasileiro é chamado de número k-brasileiro .
- Números não-brasileiros ou números 0 Brasileiros são constituídos com 1 e 6, juntamente com alguns primos e alguns quadrados de primos. A sequência dos números não brasileiros começa com 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25,… (sequência A220570 no OEIS ).
- A sequência de 1 - números brasileiros é composta de outros primos, o único quadrado de primos que é brasileiro, 121, e números compostos ≥ 8 que são o produto de apenas dois fatores distintos tais que n = a × b = aa b –1 com 1 < a < b - 1 . (sequência A288783 no OEIS ).
- Os 2 números brasileiros (sequência A290015 no OEIS ) consistem em compostos e apenas dois primos: 31 e 8191. De fato, de acordo com a conjectura de Goormaghtigh , esses dois primos são as únicas soluções conhecidas da equação diofantina :com x , y > 1 e n , m > 2:
- ( p , x , y , m , n ) = (31, 5, 2, 3, 5) correspondendo a 31 = 11111 2 = 111 5 , e,
- ( p , x , y , m , n ) = (8191, 90, 2, 3, 13) correspondendo a 8191 = 1111111111111 2 = 111 90 , com 11111111111 é a unidade com treze dígitos 1.
- Para cada sequência de números k-brasileiros , existe um menor termo. A sequência com esses menores k- números brasileiros começa com 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360, ... e estão em OEIS : A284758 . Por exemplo, 40 é o menor número 4 brasileiro com 40 = 1111 3 = 55 7 = 44 9 = 22 19 .
- No Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers , Daniel Lignon propõe que um inteiro é altamente brasileiro se for um inteiro positivo com mais representações brasileiras do que qualquer inteiro positivo menor. Esta definição vem da definição de números altamente compostos criada por Srinivasa Ramanujan em 1915. Os primeiros números altamente brasileiros são 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720, ... e são exatamente em OEIS : A329383 . De 360 a 321253732800 (talvez mais), existem 80 números altamente compostos sucessivos que também são números altamente brasileiros, consulte OEIS : A279930 .