Faixa (estatísticas) - Range (statistics)
Em estatística , o intervalo de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor. A diferença aqui é específica, o intervalo de um conjunto de dados é o resultado da subtração do máximo e do mínimo da amostra .
No entanto, na estatística descritiva , esse conceito de intervalo tem um significado mais complexo. O intervalo é o tamanho do menor intervalo (estatísticas) que contém todos os dados e fornece uma indicação da dispersão estatística . É medido nas mesmas unidades dos dados. Uma vez que depende apenas de duas das observações, é mais útil para representar a dispersão de pequenos conjuntos de dados.
Para variáveis aleatórias IID contínuas
Para n variáveis aleatórias contínuas independentes e distribuídas de forma idêntica X 1 , X 2 , ..., X n com função de distribuição cumulativa G ( x ) e função de densidade de probabilidade g ( x ). Seja T o intervalo de uma amostra de tamanho n de uma população com função de distribuição G ( x ).
Distribuição
O intervalo tem função de distribuição cumulativa
![{\ displaystyle F (t) = n \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) [G (x + t) -G (x)] ^ {n-1} \, {\ text {d}} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0453637ac5aa16ed9e4fd59df2f0d3baed11d0b)
Gumbel observa que "a beleza dessa fórmula é completamente prejudicada pelos fatos de que, em geral, não podemos expressar G ( x + t ) por G ( x ), e que a integração numérica é longa e cansativa".
Se a distribuição de cada X i é limitada à direita (ou esquerda), então a distribuição assintótica da faixa é igual à distribuição assintótica do maior (menor) valor. Para distribuições mais gerais, a distribuição assintótica pode ser expressa como uma função de Bessel .
Momentos
O intervalo médio é dado por
![{\ displaystyle n \ int _ {0} ^ {1} x (G) [G ^ {n-1} - (1-G) ^ {n-1}] \, {\ text {d}} G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396cccc3b0acf9e5b15033465fb60a691cf30f2c)
onde x ( G ) é a função inversa. No caso em que cada um dos X i tem uma distribuição normal padrão , o intervalo médio é dado por
Para variáveis aleatórias não-IID contínuas
Para n variáveis aleatórias contínuas independentes não identicamente distribuídas X 1 , X 2 , ..., X n com funções de distribuição cumulativa G 1 ( x ), G 2 ( x ), ..., G n ( x ) e funções de densidade de probabilidade g 1 ( x ), g 2 ( x ), ..., g n ( x ), o intervalo tem função de distribuição cumulativa
![{\ displaystyle F (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g_ {i} (x) \ prod _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} [G_ {j} (x + t) -G_ {j} (x)] \, {\ text {d}} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e8f9c145166ad104d32ae1a231a5e0de01493d)
Para variáveis aleatórias discretas IID
Para n variáveis aleatórias discretas independentes e distribuídas de forma idêntica X 1 , X 2 , ..., X n com função de distribuição cumulativa G ( x ) e função de massa de probabilidade g ( x ) o intervalo de X i é o intervalo de uma amostra de tamanho n de uma população com função de distribuição G ( x ). Podemos assumir sem perda de generalidade que o suporte de cada X i é {1,2,3, ..., N } onde N é um número inteiro positivo ou infinito.
Distribuição
O intervalo tem função de massa de probabilidade
![{\ displaystyle f (t) = {\ begin {cases} \ sum _ {x = 1} ^ {N} [g (x)] ^ {n} & t = 0 \\ [6pt] \ sum _ {x = 1} ^ {Nt} \ left ({\ begin {alinhados} {2} & [G (x + t) -G (x-1)] ^ {n} \\ {} - {} & [G (x + t) -G (x)] ^ {n} \\ {} - {} & [G (x + t-1) -G (x-1)] ^ {n} \\ {} + {} & [G (x + t-1) -G (x)] ^ {n} \\\ end {alinhado}} \ right) & t = 1,2,3 \ ldots, N-1. \ End {cases}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b64f6deca3d63a6dac98ca98151aaf5ab1db28)
Exemplo
Se supormos que g ( x ) = 1 / N , a distribuição uniforme discreta para todo x , então encontramos
![{\ displaystyle f (t) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {N ^ {n-1}}} & t = 0 \\ [4pt] \ sum _ {x = 1} ^ {Nt} \ left (\ left [{\ frac {t + 1} {N}} \ right] ^ {n} -2 \ left [{\ frac {t} {N}} \ right] ^ {n} + \ left [{\ frac {t-1} {N}} \ right] ^ {n} \ right) & t = 1,2,3 \ ldots, N-1. \ end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5afde8dc3fc21a5bb370348b5a9a2fd5a599fdfc)
Derivação
A probabilidade de ter um valor de intervalo específico, t , pode ser determinada adicionando as probabilidades de ter duas amostras diferindo por t , e cada outra amostra tendo um valor entre os dois extremos. A probabilidade de uma amostra ter um valor de x é . A probabilidade de outro ter um valor t maior que x é:
A probabilidade de todos os outros valores situarem-se entre esses dois extremos é:
Combinar os três resulta em:
![{\ displaystyle f (t) = n (n-1) \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) g (x + t) [G (x + t) -G (x)] ^ {n-2} \, {\ text {d}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fce3c2d95f0b14fe454689a5dd045b57ad6826)
Quantidades relacionadas
O intervalo é um exemplo específico de estatísticas de pedidos . Em particular, a gama é uma função linear de estatísticas de ordem, que conduz para o âmbito de L-estimativa .