Quasi-phase-matching - Quasi-phase-matching

A correspondência de quase-fase é uma técnica em óptica não linear que permite um fluxo líquido positivo de energia da frequência da bomba para as frequências de sinal e de ralenti, criando uma estrutura periódica no meio não linear. O momento é conservado, conforme necessário para o casamento de fases, por meio de uma contribuição adicional de momento correspondente ao vetor de onda da estrutura periódica. Consequentemente, em princípio, qualquer processo de mistura de três ondas que satisfaça a conservação de energia pode ter sua fase combinada. Por exemplo, todas as frequências ópticas envolvidas podem ser colineares, podem ter a mesma polarização e viajar através do meio em direções arbitrárias. Isso permite usar o maior coeficiente não linear do material na interação não linear.

A correspondência de quase-fase garante que haja fluxo de energia positivo da frequência da bomba para as frequências do sinal e da polia, mesmo que todas as frequências envolvidas não tenham um bloqueio de fase entre si. A energia sempre fluirá da bomba para o sinal, desde que a fase entre as duas ondas ópticas seja inferior a 180 graus. Além de 180 graus, a energia flui de volta do sinal para as frequências da bomba. O comprimento de coerência é o comprimento do meio no qual a fase da bomba e a soma das frequências do ralenti e do sinal estão 180 graus uma da outra. Em cada comprimento de coerência, os eixos do cristal são invertidos, o que permite que a energia continue a fluir positivamente da bomba para o sinal e para as frequências intermediárias.

A técnica mais comumente usada para criar cristais de quase-fase é o polimento periódico . Mais recentemente, o controle de fase contínua sobre a não linearidade local foi alcançado usando metassuperfícies não lineares com propriedades ópticas lineares homogêneas, mas com polarizabilidade não linear efetiva com variação espacial. Os campos ópticos estão fortemente confinados dentro ou ao redor das nanoestruturas, as interações não lineares podem, portanto, ser realizadas com uma área ultrapequena de 10 nm a 100 nm e podem ser espalhadas em todas as direções para produzir mais frequências. Assim, a correspondência de fase relaxada pode ser alcançada na dimensão da nanoescala.

Descrição matemática

Na óptica não linear, a geração de outras frequências é o resultado da resposta de polarização não linear do cristal devido à frequência fundamental da bomba. Quando o eixo do cristal é invertido, a onda de polarização é deslocada em 180 °, garantindo assim que haja um fluxo de energia positivo para o sinal e para o feixe intermediário. No caso de geração de soma de frequência , a equação de polarização pode ser expressa por

${\ displaystyle P_ {3} = 4dA_ {1} A_ {2} e ^ {i (k_ {1} + k_ {2}) z},}$

onde é o coeficiente de suscetibilidade não linear, em que o sinal do coeficiente é invertido quando o eixo do cristal é invertido e representa a unidade imaginária . ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle P_ {3} = - 4dA_ {1} A_ {2} e ^ {i (k_ {1} + k_ {2}) z} = 4dA_ {1} A_ {2} e ^ {i ((k_ {1} + k_ {2}) z + \ pi)}.}$

Desenvolvimento da amplitude do sinal

A seguinte descrição matemática assume uma amplitude de bomba constante. O comprimento de onda do sinal pode ser expresso como uma soma sobre o número de domínios que existem no cristal. Em geral, a taxa de mudança da amplitude do sinal é

${\ displaystyle {\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial z}} = A_ {1} ^ {2} \ chi e ^ {i \ Delta kz},}$

onde é a amplitude da frequência gerada e é a amplitude da frequência da bomba e é a incompatibilidade de fase entre as duas ondas ópticas. O refere-se à suscetibilidade não linear do cristal. ${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle \ Delta k}$${\ displaystyle \ chi}$

No caso de um cristal periodicamente polido, o eixo do cristal é invertido 180 graus em todos os outros domínios, o que muda o sinal de . Para o domínio pode ser expresso como ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle n ^ {th}}$${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle \ chi = \ chi _ {0} (- 1) ^ {n}}$

onde está o índice do domínio polido. A amplitude total do sinal pode ser expressa como uma soma ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A_ {2}}$

${\ displaystyle A_ {2} = A_ {1} ^ {2} \ chi _ {0} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} \ int _ {\ Lambda n} ^ {\ Lambda (n + 1)} e ^ {i \ Delta kz} \ parcial z}$

onde está o espaçamento entre os pólos no cristal. A equação acima se integra a ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle A_ {2} = - {\ frac {iA_ {1} ^ {2} \ chi _ {0}} {\ Delta k}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} (e ^ {i \ Delta k \ Lambda (n + 1)} - e ^ {i \ Delta k \ Lambda n})}$

e se reduz a

${\ displaystyle A_ {2} = - iA_ {1} ^ {2} \ chi _ {0} {\ frac {e ^ {i \ Delta k \ Lambda} -1} {\ Delta k}} \ sum _ { n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} e ^ {i \ Delta k \ Lambda n}}$

O somatório produz

${\ displaystyle s = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} e ^ {i \ Delta k \ Lambda n} = 1-e ^ {i \ Delta k \ Lambda } + e ^ {i2 \ Delta k \ Lambda} -e ^ {i3 \ Delta k \ Lambda} + ... + (- 1) ^ {N} e ^ {i \ Delta k \ Lambda (N-2) } - (- 1) ^ {N} e ^ {i \ Delta k \ Lambda (N-1)}.}$

Multiplique acima da equação ambos os lados por um fator de ${\ displaystyle e ^ {i \ Delta k \ Lambda}}$

${\ displaystyle se ^ {i \ Delta k \ Lambda} = e ^ {i \ Delta k \ Lambda} -e ^ {i2 \ Delta k \ Lambda} + e ^ {i3 \ Delta k \ Lambda} + ... + (- 1) ^ {N} e ^ {i \ Delta k \ Lambda (N-1)} - (- 1) ^ {N} e ^ {i \ Delta k \ Lambda N}.}$

Adicionar ambas as equações leva à relação

${\ displaystyle s (1 + e ^ {i \ Delta k \ Lambda}) = 1 - (- 1) ^ {N} e ^ {i \ Delta k \ Lambda N}.}$

Resolvendo dar ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle s = {\ frac {1 - (- 1) ^ {N} e ^ {i \ Delta k \ Lambda N}} {1 + e ^ {i \ Delta k \ Lambda}}},}$

o que leva a

${\ displaystyle A_ {2} = - iA_ {1} ^ {2} \ chi _ {0} \ left ({\ frac {e ^ {i \ Delta k \ Lambda} -1} {\ Delta k}} \ direita) \ left ({\ frac {1 - (- 1) ^ {N} e ^ {i \ Delta k \ Lambda N}} {e ^ {i \ Delta k \ Lambda} +1}} \ right). }$

A intensidade total pode ser expressa por

${\ displaystyle I_ {2} = A_ {2} A_ {2} ^ {*} = \ left | A_ {1} \ right | ^ {4} \ chi _ {0} ^ {2} \ Lambda ^ {2 } {\ mbox {sinc}} ^ {2} (\ Delta k \ Lambda / 2) \ left ({\ frac {1 - (- 1) ^ {N} \ cos (\ Delta k \ Lambda N)} { 1+ \ cos (\ Delta k \ Lambda)}} \ right).}$

Para o caso da parte direita da equação acima é indefinido, então o limite precisa ser tomado ao invocar a regra de L'Hôpital . ${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {\ pi} {\ Delta k}}}$${\ displaystyle \ Delta k \ Lambda \ rightarrow \ pi}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta k \ Lambda \ to \ pi} {\ frac {1 - (- 1) ^ {N} \ cos (\ Delta k \ Lambda N)} {1+ \ cos (\ Delta k \ Lambda)}} = N ^ {2}}$

O que leva à intensidade do sinal

${\ displaystyle I_ {2} = {\ frac {4 \ left | A_ {1} \ right | ^ {4} \ chi _ {0} ^ {2} L ^ {2}} {\ pi ^ {2} }}.}$

A fim de permitir diferentes larguras de domínio, ou seja , para , a equação acima torna-se ${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {m \ pi} {\ Delta k}}}$${\ displaystyle m = 1,3,5, ...}$

${\ displaystyle I_ {2} = A_ {2} A_ {2} ^ {*} = \ left | A_ {1} \ right | ^ {4} \ chi _ {0} ^ {2} \ Lambda ^ {2 } {\ mbox {sinc}} ^ {2} (m \ Delta k \ Lambda / 2) \ left ({\ frac {1 - (- 1) ^ {N} \ cos (m \ Delta k \ Lambda N) } {1+ \ cos (m \ Delta k \ Lambda)}} \ direita).}$

Com a intensidade torna-se ${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {m \ pi} {\ Delta k}}}$

${\ displaystyle I_ {2} = {\ frac {4 \ left | A_ {1} \ right | ^ {4} \ chi _ {0} ^ {2} L ^ {2}} {m ^ {2} \ pi ^ {2}}}.}$

Isso permite que a correspondência de quase-fase exista em larguras de domínio diferentes . A partir dessa equação, fica aparente, entretanto, que conforme a ordem de correspondência de quase-fase aumenta, a eficiência diminui em . Por exemplo, para correspondência de quase-fase de 3ª ordem, apenas um terço do cristal é efetivamente usado para a geração da frequência do sinal, como consequência a amplitude do comprimento de onda do sinal apenas um terço da quantidade de amplitude para o cristal de mesmo comprimento para quase 1ª ordem -fase match. ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m ^ {2}}$

Cálculo da largura do domínio

A largura do domínio é calculada usando a equação de Sellmeier e usando relações do vetor de onda . No caso do DFG, essa relação é verdadeira , onde estão os vetores de onda da bomba, do sinal e da polia e . Ao calcular para as diferentes frequências, a largura do domínio pode ser calculada a partir da relação . ${\ displaystyle \ Delta k = k_ {1} -k_ {2} -k_ {3}}$${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, {\ mbox {e}} k_ {3}}$${\ displaystyle k_ {i} = {\ frac {2 \ pi n (\ lambda _ {i})} {\ lambda _ {i}}}}$${\ displaystyle \ Delta k}$${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {\ pi} {\ Delta k}}}$

Quasi-phase-matching ortogonal

Este método permite a geração de estado de dois fótons hiperemaranhados de alta pureza. No casamento de quase-fase ortogonal (OQPM), uma estrutura de cristal de camada fina é combinada com poling periódico ao longo de direções ortogonais. Ao combinar a conversão descendente periódica de fótons polarizados ortogonalmente junto com o poling periódico que corrige a incompatibilidade de fase, a estrutura se corrige automaticamente para o walkoff longitudinal (atraso) à medida que acontece e antes de se acumular. A radiação de conversão paramétrica paramétrica sobreposta espontânea (SPDC) da superrede cria um estado emaranhado de dois fótons de alta pureza.

Referências