Precursor (física) - Precursor (physics)

Os precursores são padrões de onda característicos causados ​​pela dispersão dos componentes da frequência de um impulso à medida que se propaga através de um meio. Classicamente, os precursores precedem o sinal principal, embora em certas situações também possam segui-lo. Fenômenos precursores existem para todos os tipos de ondas, pois seu aparecimento é apenas baseado na proeminência dos efeitos de dispersão em um determinado modo de propagação de ondas. Esta não especificidade foi confirmada pela observação de padrões precursores em diferentes tipos de radiação eletromagnética ( microondas , luz visível e radiação terahertz ), bem como em ondas de superfície fluida e ondas sísmicas .

História

Os precursores foram previstos teoricamente pela primeira vez em 1914 por Arnold Sommerfeld para o caso da propagação da radiação eletromagnética através de um dielétrico neutro em uma região de dispersão normal. O trabalho de Sommerfeld foi expandido nos anos seguintes por Léon Brillouin , que aplicou a aproximação do ponto de sela para calcular as integrais envolvidas. No entanto, não foi até 1969 que os precursores foram confirmados experimentalmente pela primeira vez para o caso de microondas que se propagam em um guia de ondas, e muito do trabalho experimental de observação de precursores em outros tipos de ondas só foi feito a partir do ano 2000. Este atraso experimental é principalmente devido ao fato de que em muitas situações, os precursores têm uma amplitude muito menor do que os sinais que os originam (um valor de linha de base dado por Brillouin é seis ordens de magnitude menor). Como resultado, as confirmações experimentais só puderam ser feitas depois que a tecnologia tornou-se disponível para detectar precursores.

Teoria Básica

Como um fenômeno dispersivo, a amplitude em qualquer distância e tempo de propagação de uma onda precursora em uma dimensão pode ser expressa pela integral de Fourier

${\ displaystyle f (x, t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int {\ hat {\ zeta}} _ {0} (\ omega) \ exp \ left [-i \ left ( k (\ omega) x- \ omega t \ right) \ right] d \ omega}$

onde é a transformada de Fourier do impulso inicial e o exponencial complexo representa as wavelets componentes individuais somadas na integral. Para explicar os efeitos da dispersão, a fase do exponencial deve incluir a relação de dispersão (aqui, o fator) para o meio particular no qual a onda está se propagando. ${\ displaystyle {\ hat {\ zeta}} _ {0} (\ omega)}$${\ displaystyle \ exp \ left [-i \ left (k (\ omega) x- \ omega t \ right) \ right]}$${\ displaystyle k (\ omega)}$

A integral acima só pode ser resolvida de forma fechada quando suposições idealizadas são feitas sobre o impulso inicial e a relação de dispersão, como na derivação de Sommerfeld abaixo. Na maioria dos casos realistas, a integração numérica é necessária para calcular a integral.

Derivação de Sommerfeld para ondas eletromagnéticas em um dielétrico neutro

Supondo que o impulso inicial tome a forma de uma sinusóide ligada abruptamente no momento , ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle f (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0 & t <0 \\\ sin {\ frac {2 \ pi t} {\ tau}} & t \ geq 0 \ end {array }}\direito.,}$

então podemos escrever a integral de forma geral dada na seção anterior como

${\ displaystyle f (x, t) = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int e ^ {- i (k (\ omega) x- \ omega t)} {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2} - (2 \ pi / \ tau) ^ {2}}}.}$

Para simplificar, assumimos que as frequências envolvidas estão todas em uma faixa de dispersão normal para o meio e deixamos a relação de dispersão assumir a forma

${\ displaystyle k (\ omega) = {\ frac {\ omega} {c}} {\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}}$

onde , sendo o número de osciladores atômicos no meio, e a carga e massa de cada um, a frequência natural dos osciladores, e a permissividade do vácuo . Isso produz o integral ${\ displaystyle a ^ {2} = {\ frac {Nq ^ {2}} {m \ epsilon _ {0} \ omega _ {0} ^ {2}}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$

${\ displaystyle f (x, t) = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ exp \ left [-i \ left (x {\ frac {\ omega} {c}} {\ sqrt { 1 + {\ frac {a ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}} - \ omega t \ right ) \ right] {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2} - (2 \ pi / \ tau) ^ {2}}}.}$

Para resolver essa integral, primeiro expressamos o tempo em termos de tempo retardado , que é necessário para garantir que a solução não viole a causalidade ao se propagar mais rápido que . Também tratamos como extenso e ignoramos o termo em deferência ao termo de segunda ordem . Por último, substituímos , obtendo ${\ displaystyle t '= t - {\ frac {x} {c}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | \ omega |}$${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ tau}}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ xi = {\ frac {a ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2}} {2c}} x}$

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ exp \ left [-i \ left ({\ frac {\ xi} {\ omega}} + \ omega t '\ right) \ right] {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2}}}}$

Reescrevendo isto como

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = - {\ frac {1} {\ tau}} \ int \ exp \ left [-i {\ sqrt {\ xi t'}} \ left ({\ frac { 1} {\ omega}} {\ sqrt {\ frac {\ xi} {t '}}} + \ omega {\ sqrt {\ frac {t'} {\ xi}}} \ right) \ right] {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2}}}}$

e fazendo as substituições

${\ displaystyle \ omega {\ sqrt {\ frac {t '} {\ xi}}} = e ^ {ik}, \ qquad {\ frac {d \ omega} {\ omega}} = idk, \ qquad {\ frac {d \ omega} {\ omega ^ {2}}} = i {\ sqrt {\ frac {t '} {\ xi}}} e ^ {- ik} dk}$

permite que a integral seja transformada em

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = - {\ frac {i} {\ tau}} {\ sqrt {\ frac {t'} {\ xi}}} \ int \ exp \ left [-2i { \ sqrt {\ xi t '}} \ cos k \ right] e ^ {- ik} dk,}$

onde é simplesmente uma variável dummy e, finalmente ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle f (\ xi, t ') = {\ frac {2 \ pi} {\ tau}} {\ sqrt {\ frac {t'} {\ xi}}} J_ {1} \ left (2 { \ sqrt {\ xi t '}} \ right),}$

onde está uma função de Bessel de primeiro tipo. Esta solução, que é uma função oscilatória com amplitude e período que aumentam com o passar do tempo, é característica de um tipo particular de precursor conhecido como precursor de Sommerfeld . ${\ displaystyle J_ {1}}$

Análise de período com base em aproximação de fase estacionária

A aproximação de fase estacionária pode ser usada para analisar a forma de ondas precursoras sem resolver a integral de forma geral dada na seção Teoria Básica acima. A aproximação de fase estacionária afirma que para qualquer velocidade de propagação de onda determinada a partir de qualquer distância e tempo , a frequência dominante do precursor é a frequência cuja velocidade de grupo é igual a : ${\ displaystyle {\ frac {x} {t}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ omega _ {D}}$${\ displaystyle {\ frac {x} {t}}}$

${\ displaystyle v_ {g} (\ omega _ {D}) = \ left. {\ frac {d \ omega} {dk}} \ right | _ {\ omega _ {D}} = {\ frac {x} {t}}.}$

Portanto, pode-se determinar o período aproximado de uma forma de onda precursora em uma distância e tempo específicos, calculando o período do componente de frequência que chegaria a essa distância e tempo com base em sua velocidade de grupo. Em uma região de dispersão normal, os componentes de alta frequência têm uma velocidade de grupo mais rápida do que os de baixa frequência, de modo que a frente do precursor deve ter um período correspondente ao do componente de alta frequência do impulso original; com o aumento do tempo, chegam componentes com frequências cada vez mais baixas, de modo que o período do precursor se torna cada vez mais longo até que chegue o componente de frequência mais baixa. À medida que mais e mais componentes chegam, a amplitude do precursor também aumenta. O tipo particular de precursor caracterizado por período e amplitude crescentes é conhecido como o precursor Sommerfeld de alta frequência .

Em uma região de dispersão anômala, onde os componentes de baixa frequência têm velocidades de grupo mais rápidas do que os de alta frequência, ocorre o oposto da situação acima: o início do precursor é caracterizado por um longo período, e o período do sinal diminui com Tempo. Este tipo de precursor é denominado precursor Sommerfeld de baixa frequência .

Em certas situações de propagação de onda (por exemplo, ondas de superfície de fluido), dois ou mais componentes de frequência podem ter a mesma velocidade de grupo para intervalos particulares de frequência; isso é tipicamente acompanhado por um extremo local na curva de velocidade do grupo. Isso significa que, para certos valores de tempo e distância, a forma de onda do precursor consistirá em uma superposição de precursores de Sommerfeld de baixa e alta frequência. Quaisquer extremos locais correspondem apenas a frequências simples, portanto, nesses pontos, haverá uma contribuição de um sinal precursor com um período constante; isso é conhecido como um precursor de Brillouin .

Referências