Teorema de incorporação de Nash - Nash embedding theorem

O Nash incorporar teoremas (ou encaixar teoremas ), em homenagem a John Forbes Nash , estado que cada variedade de Riemann pode ser isometrically incorporado em algum espaço euclidiano . Isométrico significa preservar o comprimento de cada caminho . Por exemplo, dobrar, mas não esticar nem rasgar, uma página de papel fornece uma incorporação isométrica da página no espaço euclidiano porque as curvas desenhadas na página mantêm o mesmo comprimento de arco, embora a página seja dobrada.

O primeiro teorema é para embeddings continuamente diferenciáveis ( C 1 ) e o segundo para embeddings analíticos ou embeddings que são lisos da classe C k , 3 ≤ k ≤ ∞. Esses dois teoremas são muito diferentes um do outro. O primeiro teorema tem uma prova muito simples, mas leva a algumas conclusões contra-intuitivas, enquanto o segundo teorema tem uma prova técnica e contra-intuitiva, mas leva a um resultado menos surpreendente.

O teorema C 1 foi publicado em 1954, o teorema C k em 1956. O teorema analítico real foi tratado pela primeira vez por Nash em 1966; seu argumento foi simplificado consideravelmente por Greene & Jacobowitz (1971) . (Uma versão local desse resultado foi provada por Élie Cartan e Maurice Janet na década de 1920). No caso analítico real, os operadores de suavização (veja abaixo) no argumento da função inversa de Nash podem ser substituídos por estimativas de Cauchy. A prova de Nash do caso C k - foi posteriormente extrapolada para o princípio h e o teorema da função implícita de Nash-Moser . Uma prova mais simples do segundo teorema de embedding de Nash foi obtida por Günther (1989), que reduziu o conjunto de equações diferenciais parciais não lineares a um sistema elíptico, ao qual o teorema do mapeamento de contração poderia ser aplicado.

Teorema de Nash-Kuiper (teorema de incorporação C 1 )

Teorema. Seja ( M , g ) uma variedade Riemanniana e ƒ: M m → R n um curto C ∞ -embedding (ou imersão ) no espaço euclidiano R n , onde n ≥ m +1. Então, para arbitrário ε> 0 há uma incorporação (ou imersão) ƒ ε : M m → R n que é

  1. na classe C 1 ,
  2. isométrico: para quaisquer dois vetores v , w  ∈  T x ( M ) no espaço tangente em x ∈ M ,
    ,
  3. ε-próximo a ƒ:
    .

Em particular, como segue do teorema de incorporação de Whitney , qualquer variedade Riemanniana m- dimensional admite uma incorporação C 1 isométrica em uma vizinhança arbitrariamente pequena no espaço euclidiano 2 m- dimensional.

O teorema foi originalmente provado por John Nash com a condição n ≥ m +2 ao invés de n ≥ m +1 e generalizado por Nicolaas Kuiper , por um truque relativamente fácil.

O teorema tem muitas implicações contra-intuitivas. Por exemplo, segue-se que qualquer superfície Riemanniana orientada fechada pode ser C 1 isometricamente embutida em uma bola ε arbitrariamente pequena no espaço 3 euclidiano (para pequenas não existe tal incorporação em C 2, uma vez que a partir da fórmula para a curvatura de Gauss um extremo ponto de tal incorporação teria curvatura ≥ ε −2 ). E, existem embeddings isométricos C 1 do plano hiperbólico em R 3 .

Teorema de incorporação C k

A declaração técnica que aparece no artigo original de Nash é a seguinte: se M é uma variedade Riemanniana m- dimensional dada (analítica ou da classe C k , 3 ≤ k ≤ ∞), então existe um número n (com n ≤ m (3 m +11) / 2 se M for uma variedade compacta, ou n ≤ m ( m +1) (3 m +11) / 2 se M for uma variedade não compacta) e uma incorporação isométrica ƒ: M → R n ( também analítico ou da classe C k ). Ou seja, ƒ é uma incorporação de variedades C k e para cada ponto p de M , a derivada dƒ p é um mapa linear do espaço tangente T p M a R n que é compatível com o produto interno dado em T p M e produto escalar padrão de R n no seguinte sentido:

para todos os vectores de u , v em T p H . Este é um sistema indeterminado de equações diferenciais parciais (PDEs).

Em uma conversa posterior com Robert M. Solovay , Nash mencionou uma falha no argumento original em derivar o valor suficiente da dimensão do espaço de encaixe para o caso de variedades não compactas.

O teorema de incorporação de Nash é um teorema global no sentido de que toda a variedade está incorporada em R n . Um teorema de embedding local é muito mais simples e pode ser provado usando o teorema da função implícita de cálculo avançado em uma vizinhança de coordenadas da variedade. A prova do teorema de embedding global baseia-se na generalização de longo alcance de Nash do teorema da função implícita, o teorema de Nash-Moser e o método de Newton com pós-condicionamento. A ideia básica da solução de Nash para o problema de incorporação é o uso do método de Newton para provar a existência de uma solução para o sistema de PDEs acima. O método padrão de Newton falha em convergir quando aplicado ao sistema; Nash usa operadores de suavização definidos por convolução para fazer a iteração de Newton convergir: este é o método de Newton com pós-condicionamento. O fato de essa técnica fornecer uma solução é em si um teorema da existência e de interesse independente. Também existe um método mais antigo chamado iteração de Kantorovich que usa o método de Newton diretamente (sem a introdução de operadores de suavização).

Referências