Movimento (geometria) - Motion (geometry)

Uma reflexão de deslizamento é um tipo de movimento euclidiano.

Em geometria , um movimento é uma isometria de um espaço métrico . Por exemplo, um plano equipado com a métrica de distância euclidiana é um espaço métrico no qual um mapeamento associando figuras congruentes é um movimento. De maneira mais geral, o termo movimento é sinônimo de isometria sobrejetiva em geometria métrica, incluindo geometria elíptica e geometria hiperbólica . No último caso, os movimentos hiperbólicos fornecem uma abordagem do assunto para iniciantes.

As moções podem ser divididas em moções diretas e indiretas. Os movimentos diretos, próprios ou rígidos são movimentos como translações e rotações que preservam a orientação de uma forma quiral . Movimentos indiretos ou impróprios são movimentos como reflexos , reflexos de deslizamento e rotações impróprias que invertem a orientação de uma forma quiral . Alguns geômetras definem o movimento de tal forma que apenas os movimentos diretos são movimentos.

Em geometria diferencial

Na geometria diferencial , um difeomorfismo é chamado de movimento se ele induz uma isometria entre o espaço tangente em um ponto múltiplo e o espaço tangente na imagem desse ponto.

Grupo de moções

Dada uma geometria, o conjunto de movimentos forma um grupo sob composição de mapeamentos. Este grupo de movimentos é conhecido por suas propriedades. Por exemplo, o grupo euclidiano é conhecido pelo subgrupo normal de traduções . No plano, um movimento euclidiano direto é uma translação ou uma rotação , enquanto no espaço todo movimento euclidiano direto pode ser expresso como um deslocamento de parafuso de acordo com o teorema de Chasles . Quando o espaço subjacente é uma variedade Riemanniana , o grupo de movimentos é um grupo de Lie . Além disso, a variedade tem curvatura constante se e somente se, para cada par de pontos e cada isometria, houver um movimento levando um ponto ao outro para o qual o movimento induz a isometria.

A ideia de um grupo de movimentos para a relatividade especial foi apresentada como movimentos Lorentzianos. Por exemplo, idéias fundamentais foram estabelecidas para um plano caracterizado pela forma quadrática em American Mathematical Monthly . Os movimentos do espaço de Minkowski foram descritos por Sergei Novikov em 2006: ${\ displaystyle \ x ^ {2} -y ^ {2} \}$

O princípio físico da velocidade constante da luz é expresso pelo requisito de que a mudança de uma estrutura inercial para outra seja determinada por um movimento do espaço de Minkowski, ou seja, por uma transformação

${\ displaystyle \ phi: R ^ {1,3} \ mapsto R ^ {1,3}}$

preservando os intervalos de espaço-tempo. Isso significa que

${\ displaystyle \ langle \ phi (x) - \ phi (y), \ \ phi (x) - \ phi (y) \ rangle \ = \ \ langle xy, \ xy \ rangle}$

para cada par de pontos x e y em R ^1,3 .

História

Uma avaliação inicial do papel do movimento na geometria foi dada por Alhazen (965 a 1039). Seu trabalho "Space and its Nature" usa comparações das dimensões de um corpo móvel para quantificar o vácuo do espaço imaginário.

No século 19, Felix Klein se tornou um defensor da teoria dos grupos como um meio de classificar geometrias de acordo com seus "grupos de movimentos". Ele propôs o uso de grupos de simetria em seu programa Erlangen , uma sugestão que foi amplamente adotada. Ele observou que toda congruência euclidiana é um mapeamento afim , e cada uma delas é uma transformação projetiva ; portanto, o grupo de projetividades contém o grupo de mapas afins, que por sua vez contém o grupo de congruências euclidianas. O termo movimento , mais curto do que transformação , dá mais ênfase aos adjetivos: projetivo, afim, euclidiano. O contexto foi assim ampliado, tanto que “Em topologia , os movimentos permitidos são deformações invertíveis contínuas que podem ser chamadas de movimentos elásticos”.

A ciência da cinemática se dedica a transformar o movimento físico em expressão como transformação matemática. Freqüentemente, a transformação pode ser escrita usando álgebra vetorial e mapeamento linear. Um exemplo simples é uma curva escrita como uma multiplicação de números complexos : onde . A rotação no espaço é alcançada pelo uso de quatérnions e as transformações de Lorentz do espaço-tempo pelo uso de biquaternions . No início do século 20, os sistemas numéricos hipercomplexos foram examinados. Mais tarde, seus grupos de automorfismo levaram a grupos excepcionais como o G2 . ${\ displaystyle z \ mapsto \ omega z \}$${\ displaystyle \ \ omega = \ cos \ theta + i \ sin \ theta, \ quad i ^ {2} = - 1}$

Na década de 1890, os lógicos estavam reduzindo as noções primitivas da geometria sintética ao mínimo absoluto. Giuseppe Peano e Mario Pieri usaram a expressão movimento para a congruência de pares de pontos. Alessandro Padoa celebrou a redução das noções primitivas a meros pontos e movimentos em seu relatório para o Congresso Internacional de Filosofia de 1900 . Foi nesse congresso que Bertrand Russell foi exposto à lógica continental por meio de Peano. Em seu livro Principles of Mathematics (1903), Russell considerou um movimento como uma isometria euclidiana que preserva a orientação .

Em 1914 DMY Sommerville usou a ideia de um movimento geométrico para estabelecer a ideia de distância na geometria hiperbólica quando escreveu Elements of Non-Euclidean Geometry . Ele explica:

Por movimento ou deslocamento no sentido geral não se entende uma mudança de posição de um único ponto ou qualquer figura limitada, mas um deslocamento de todo o espaço, ou, se estivermos lidando com apenas duas dimensões, de todo o plano. Um movimento é uma transformação que muda cada ponto P em outro ponto P ′ de tal forma que as distâncias e ângulos permanecem inalterados.

Axiomas de movimento

László Rédei dá como axiomas do movimento:

1. Qualquer movimento é um mapeamento um-para-um do espaço R sobre si mesmo, de modo que cada três pontos em uma linha serão transformados em (três) pontos em uma linha.
2. O mapeamento idêntico do espaço R é um movimento.
3. O produto de dois movimentos é um movimento.
4. O mapeamento inverso de um movimento é um movimento.
5. Se tivermos dois planos A, A 'duas retas g, g' e dois pontos P, P 'tais que P está em g, g está em A, P' está em g 'e g' está em A ', então existem um mapeamento de movimento de A para A ', g para g' e P para P '
6. Há um plano A, uma linha ge um ponto P tal que P está em ge g está em A, então existem quatro movimentos mapeando A, ge P em si mesmos, respectivamente, e não mais do que dois desses movimentos podem tenha cada ponto de g como um ponto fixo, embora haja um deles (isto é, a identidade) para o qual cada ponto de A é fixo.
7. Existem três pontos A, B, P na linha g tal que P está entre A e B e para cada ponto C (P desigual) entre A e B há um ponto D entre C e P para o qual nenhum movimento com P fixo pode ser encontrado um ponto que mapeará C em um ponto situado entre D e P.

Os axiomas 2 a 4 implicam que os movimentos formam um grupo

Axioma 5 que há um movimento que mapeia cada linha para cada linha

Notas e referências

• Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis , Euclidean motion p 34, movimento direto p 36, movimento oposto p 36, movimento esférico p 279, movimento hiperbólico p 306, Clarendon Press , ISBN  0-19-853447-7 .
• Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) Geometria e Topologia , Cambridge University Press , ISBN  0-521-61325-6 , MR 2194744 .

links externos

• Movimento. IP Egorov (originador), Encyclopedia of Mathematics .
• Grupo de moções. IP Egorov (originador), Encyclopedia of Mathematics .