Teorema de Mazur-Ulam - Mazur–Ulam theorem

Em matemática, o teorema de Mazur-Ulam afirma que se e são espaços normados sobre R e o mapeamento${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle f \ dois pontos V \ a W}$

é uma isometria sobrejetiva , então é afim . ${\ displaystyle f}$

Recebeu o nome de Stanisław Mazur e Stanisław Ulam em resposta a uma questão levantada por Stefan Banach . Para espaços estritamente convexos, o resultado é verdadeiro e fácil, mesmo para isometrias que não são necessariamente sobrejetivas. Neste caso, para any and in , e para any in , denotando , tem-se que é o elemento único de , portanto, sendo injetivo, é o elemento único de , a saber . Portanto, é um mapa afim. Esse argumento falha no caso geral, porque em um espaço normalizado que não é estritamente convexo, duas bolas tangentes podem se encontrar em alguma região convexa plana de seu limite, não apenas em um único ponto. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle r: = \ | uv \ | _ {V} = \ | f (u) -f (v) \ | _ {W}}$${\ displaystyle tu + (1-t) v}$${\ displaystyle {\ bar {B}} (v, tr) \ cap {\ bar {B}} (u, (1-t) r)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (tu + (1-t) v)}$${\ displaystyle f {\ big (} {\ bar {B}} (v, tr) \ cap {\ bar {B}} (u, (1-t) r {\ big)} = f {\ big ( } {\ bar {B}} (v, tr) {\ big)} \ cap f {\ big (} {\ bar {B}} (u, (1-t) r {\ big)} = {\ bar {B}} {\ big (} f (v), tr {\ big)} \ cap {\ bar {B}} {\ big (} f (u), (1-t) r {\ big) }}$${\ displaystyle tf (u) + (1-t) f (v)}$${\ displaystyle f}$

Referências

• Richard J. Fleming; James E. Jamison (2003). Isometrias em Espaços de Banach: Espaços de Função . CRC Press . p. 6. ISBN   1-58488-040-6 .
• Stanisław Mazur ; Stanisław Ulam (1932). "Sur les transformations isométriques d'espaces vectoriels normés". CR Acad. Sci. Paris . 194 : 946–948. CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
• Jussi Väisälä (2003). "Uma prova do teorema de Mazur-Ulam". The American Mathematical Monthly . 110 (7): 633–635.

links externos

• Nica, Bogdan (2013). "Uma prova do teorema de Mazur-Ulam assumindo que f é bijetivo". arXiv : 1306,2380 . Citar diário requer |journal= ( ajuda )
• Väisälä, Jussi. "Uma prova do teorema de Mazur-Ulam" (PDF) . Arquivado do original (PDF) em 16 de maio de 2018. CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )

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