Princípio máximo - Maximum principle

Nos campos matemáticos das equações diferenciais parciais e da análise geométrica , o princípio do máximo refere-se a uma coleção de resultados e técnicas de fundamental importância no estudo das equações diferenciais elípticas e parabólicas .

No caso mais simples, considere uma função de duas variáveis $u (x, y) de$ modo que

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0 .}

O princípio do máximo fraco , neste cenário, diz que para qualquer subconjunto precompacto aberta $M$ do domínio de $u$ , o máximo de $u$ sobre o encerramento da $M$ é alcançada na fronteira da $M$ . O princípio do máximo forte diz que, a menos que $u$ seja uma função constante, o máximo também não pode ser alcançado em qualquer lugar do próprio $M.$

Essas afirmações fornecem uma imagem qualitativa impressionante das soluções da equação diferencial dada. Essa imagem qualitativa pode ser estendida a muitos tipos de equações diferenciais. Em muitas situações, também se pode usar esses princípios de máximo para tirar conclusões quantitativas precisas sobre soluções de equações diferenciais, como o controle sobre o tamanho de seu gradiente . Não existe um princípio máximo único ou mais geral que se aplique a todas as situações ao mesmo tempo.

No campo da otimização convexa , há uma afirmação análoga que afirma que o máximo de uma função convexa em um conjunto convexo compacto é atingido na fronteira .

Intuição

Uma formulação parcial do princípio do máximo forte

Aqui, consideramos o caso mais simples, embora o mesmo pensamento possa ser estendido a cenários mais gerais. Seja $M$ um subconjunto aberto do espaço euclidiano e seja $u$ uma função $C 2$ em $M$ tal que

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} = 0}

onde para cada $i$ e $j$ entre 1 e $n$ , $a ij$ é uma função em $M$ com $a ij = a ji$ .

Corrigir alguns escolha de $x$ em $M$ . De acordo com o teorema espectral da álgebra linear, todos os autovalores da matriz $[a ij (x)]$ são reais, e há uma base ortonormal de $ℝ n$ consistindo em autovetores. Denote os autovalores por $λ i$ e os autovetores correspondentes por $v i$ , para $i$ de 1 a $n$ . Em seguida, a equação diferencial, no ponto $x$ , pode ser reformulada como

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} {\ Big |} _ {t = 0} {\ big (} u (x + tv_ {i}) {\ big)} = 0.}

A essência do princípio do máximo é a simples observação de que se cada autovalor for positivo (o que equivale a uma certa formulação de "elipticidade" da equação diferencial), então a equação acima impõe um certo equilíbrio das segundas derivadas direcionais da solução. Em particular, se uma das derivadas secundárias direcionais for negativa, então outra deve ser positiva. Em um ponto hipotético onde $u$ é maximizado, todas as segundas derivadas direcionais são automaticamente não positivas, e o "equilíbrio" representado pela equação acima requer que todas as segundas derivadas direcionais sejam iguais a zero.

Esse raciocínio elementar poderia representar uma formulação infinitesimal do princípio do máximo forte, que afirma, sob algumas suposições extras (como a continuidade de $a$ ), que $u$ deve ser constante se houver um ponto de $M$ onde $u$ é maximizado.

Observe que o raciocínio acima não é afetado se considerarmos a equação diferencial parcial mais geral

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x ^ {i}}} = 0,}

uma vez que o termo adicionado é automaticamente zero em qualquer ponto máximo hipotético. O raciocínio também não é afetado se considerarmos a condição mais geral

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x ^ {i}}} \ geq 0,}

em que se pode até notar o fenômeno extra de ter uma contradição absoluta se houver uma desigualdade estrita ( $> em$ vez de $\geq$ ) nesta condição no ponto máximo hipotético. Este fenômeno é importante na prova formal do princípio clássico do máximo fraco.

Não aplicabilidade do princípio do máximo forte

No entanto, o raciocínio acima não se aplica mais se considerarmos a condição

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x ^ {i}}} \ leq 0,}

já que agora a condição de "equilíbrio", conforme avaliada em um ponto máximo hipotético de $u$ , apenas diz que uma média ponderada de quantidades manifestamente não positivas é não positiva. Isso é trivialmente verdadeiro e, portanto, não se pode tirar nenhuma conclusão não trivial disso. Isso se reflete em uma série de exemplos concretos, como o fato de que

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} {\ big (} -x ^ {2} -y ^ {2} {\ big)} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial y ^ {2}}} {\ big (} -x ^ {2} -y ^ {2} {\ big)} \ leq 0,}

e em qualquer região aberta contendo a origem, a função $- x 2 - y 2$ certamente tem um máximo.

O princípio clássico do máximo fraco para PDE elíptico linear

A ideia essencial

Seja $M$ um subconjunto aberto do espaço euclidiano. Se uma função suave é maximizada em um ponto $p$ , então uma automaticamente tem: ${\ displaystyle u: M \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle (du) (p) = 0}$
${\ displaystyle (\ nabla ^ {2} u) (p) \ leq 0,}$ como uma desigualdade de matriz.

Pode-se ver uma equação diferencial parcial como a imposição de uma relação algébrica entre as várias derivadas de uma função. Portanto, se $u$ é a solução de uma equação diferencial parcial, então é possível que as condições acima na primeira e na segunda derivadas de $u$ formem uma contradição com essa relação algébrica. Esta é a essência do princípio do máximo. Claramente, a aplicabilidade desta ideia depende fortemente da equação diferencial parcial particular em questão.

Por exemplo, se $u$ resolver a equação diferencial

{\ displaystyle \ Delta u = | du | ^ {2} +2,}

então é claramente impossível ter e em qualquer ponto do domínio. Portanto, seguindo a observação acima, é impossível para $u$ assumir um valor máximo. Se, em vez disso, $u$ resolvesse a equação diferencial, então não haveria tal contradição, e a análise dada até agora não implica nada de interessante. Se $u$ resolvesse a equação diferencial , a mesma análise mostraria que $u$ não pode assumir um valor mínimo. ${\ displaystyle \ Delta u \ leq 0}$ ${\ displaystyle du = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta u = | du | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta u = | du | ^ {2} -2,}$

A possibilidade de tal análise não se limita nem mesmo às equações diferenciais parciais. Por exemplo, se é uma função tal que ${\ displaystyle u: M \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ Delta u- | du | ^ {4} = \ int _ {M} e ^ {u (x)} \, dx,}

que é uma espécie de equação diferencial "não local", então a positividade estrita automática do lado direito mostra, pela mesma análise acima, que $u$ não pode atingir um valor máximo.

Existem muitos métodos para estender a aplicabilidade desse tipo de análise de várias maneiras. Por exemplo, se $u$ é uma função harmônica, então o tipo de contradição acima não ocorre diretamente, uma vez que a existência de um ponto $p$ onde não está em contradição com o requisito em todos os lugares. No entanto, pode-se considerar, para um número real arbitrário $s$ , a função $u$ $s$ definida por ${\ displaystyle \ Delta u (p) \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ Delta u = 0}$

{\ displaystyle u_ {s} (x) = u (x) + se ^ {x_ {1}}.}

É fácil ver que

{\ displaystyle \ Delta u_ {s} = se ^ {x_ {1}}.}

Pela análise acima, se então $u$ $s$ não pode atingir um valor máximo. Pode-se desejar considerar o limite como $s$ a 0 para concluir que $u$ também não pode atingir um valor máximo. No entanto, é possível que o limite pontual de uma sequência de funções sem máximos tenha um máximo. No entanto, se $M$ tem uma fronteira tal que $M$ junto com sua fronteira é compacta, então supondo que $u$ pode ser continuamente estendido até a fronteira, segue-se imediatamente que tanto $u$ quanto $u$ $s$ atingem um valor máximo em Uma vez que mostramos que $u$ $s$ , como uma função em $M$ , não tem um máximo, segue-se que o ponto máximo de $u$ $s$ , para qualquer $s$ , está ligado Pela compactação sequencial disso segue-se que o máximo de $u$ é atingido em Este é o princípio do máximo fraco para funções harmônicas. Isto não significa, por si só, excluir a possibilidade de que o máximo de $u$ também é atingido em algum lugar $M$ . Esse é o conteúdo do "princípio do máximo forte", que requer uma análise mais aprofundada. ${\ displaystyle s> 0}$ ${\ displaystyle M \ cup \ parcial M.}$ ${\ displaystyle \ parcial M.}$ ${\ displaystyle \ parcial M,}$ ${\ displaystyle \ parcial M.}$

O uso da função específica acima não era essencial. Tudo o que importava era ter uma função que se estendesse continuamente até a fronteira e cujo laplaciano fosse estritamente positivo. Então, poderíamos ter usado, por exemplo, ${\ displaystyle e ^ {x_ {1}}}$

{\ displaystyle u_ {s} (x) = u (x) + s | x | ^ {2}}

com o mesmo efeito.

O princípio do máximo forte clássico para PDE elíptico linear

Resumo da prova

Seja $M$ um subconjunto aberto do espaço euclidiano. Let ser uma função de duas vezes-diferenciável que atinge o seu valor máximo $C$ . Suponha que ${\ displaystyle u: M \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {i} \ parcial x ^ {j}}} + b_ {i} {\ frac {\ parcial u} { \ parcial x ^ {i}}} \ geq 0.}

Suponha que se possa encontrar (ou provar a existência de):

um compacto subconjunto $Ω$ de $H$ , com um interior não vazio, de tal forma que $u (x) < C$ para todos os $x$ no interior de $Ω$ , e de tal modo que existe $x 0$ sobre o limite de $Ω$ com $u (x 0) = C$ .
uma função contínua que é duas vezes diferenciável no interior de $Ω$ e com ${\ displaystyle h: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} h} {\ parcial x ^ {i} \ parcial x ^ {j}}} + b_ {i} {\ frac {\ parcial h} { \ parcial x ^ {i}}} \ geq 0,}

e tal que um tem

u + h \leq C

na fronteira de

Ω

com

h (x 0) = 0

Então $L (u + h - C) \geq 0$ em $Ω$ com $u + h - C \leq 0$ na fronteira de $Ω$ ; de acordo com o princípio do máximo fraco, tem-se $u + h - C \leq 0$ em $Ω$ . Isso pode ser reorganizado para dizer

{\ displaystyle - {\ frac {u (x) -u (x_ {0})} {| x-x_ {0} |}} \ geq {\ frac {h (x) -h (x_ {0}) } {| x-x_ {0} |}}}

para todo $x$ em $Ω$ . Se pudermos fazer a escolha de $h de$ modo que o lado direito tenha uma natureza manifestamente positiva, isso contradirá o fato de que $x 0$ é um ponto máximo de $u$ em $M$ , de modo que seu gradiente deve desaparecer.

Prova

O "programa" acima pode ser executado. Escolha $Ω$ para ser um anel esférico; um seleciona seu centro $x c$ para ser um ponto mais próximo do conjunto fechado $u -1 (C) do$ que para o conjunto fechado $\partial M$ , e o raio externo $R$ é selecionado para ser a distância deste centro a $u -1 (C)$ ; seja $x 0$ um ponto neste último conjunto que dá conta da distância. O raio interno $ρ$ é arbitrário. Definir

{\ displaystyle h (x) = \ varepsilon {\ Big (} e ^ {- \ alpha | x-x _ {\ text {c}} | ^ {2}} - e ^ {- \ alpha R ^ {2} }{\Grande )}.}

Agora, a fronteira de $Ω$ consiste em duas esferas; na esfera externa, tem-se $h = 0$ ; devido à seleção de $R$ , tem-se $u \leq C$ nesta esfera e, portanto, $u + h - C \leq 0$ nesta parte da fronteira, junto com o requisito $h (x 0) = 0$ . Na esfera interna, temos $u < C$ . Devido à continuidade de $u$ e à compactação da esfera interna, pode-se selecionar $δ > 0$ tal que $u + δ < C$ . Visto que $h$ é constante nesta esfera interna, pode-se selecionar $ε > 0$ tal que $u + h \leq C$ na esfera interna e, portanto, em toda a fronteira de $Ω$ .

Cálculo direto mostra

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} h} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ parcial h} {\ parcial x ^ {i}}} = \ varejpsilon \ alpha e ^ {- \ alpha | x-x _ {\ text {c}} | ^ {2}} \ left (4 \ alpha \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (x) {\ big (} x ^ {i} -x _ {\ text {c}} ^ {i} {\ big)} {\ big (} x ^ {j} -x_ {\ text {c}} ^ {j} {\ big)} - 2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} -2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ { i} {\ big (} x ^ {i} -x _ {\ text {c}} ^ {i} {\ big)} \ right).}

Existem várias condições sob as quais o lado direito pode ser garantido como não negativo; veja a declaração do teorema abaixo.

Por último, observe que a derivada direcional de $h$ em $x 0$ ao longo da linha radial apontando para dentro do anel é estritamente positiva. Tal como descrito acima no resumo, isto irá assegurar que um derivado direccional de $u$ a $x 0$ é diferente de zero, em contradição com $x 0$ sendo um ponto máximo de $u$ sobre o conjunto aberto $M$ .

Declaração do teorema

A seguir está a declaração do teorema nos livros de Morrey e Smoller, seguindo a declaração original de Hopf (1927):

Seja $M$ um subconjunto aberto do espaço euclidiano $ℝ n$ . Para cada $i$ e $j$ entre 1 e $n$ , sejam $a ij$ e $b i$ funções contínuas em $M$ com $a ij = a ji$ . Suponha que para todo $x$ em $M$ , a matriz simétrica $[a ij]$ é definida positiva. Se $L$ é um não constante $C 2$ função em $H$ tal que

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x ^ {i}}} \ geq 0}$

em $M$ , então $u$ não atinge um valor máximo em $M$ .

O ponto da suposição de continuidade é que as funções contínuas são limitadas em conjuntos compactos, o conjunto compacto relevante aqui sendo o anel esférico que aparece na prova. Além disso, pelo mesmo princípio, existe um número $λ$ tal que para todo $x$ no espaço anular, a matriz $[a ij (x)]$ tem todos os autovalores maiores ou iguais a $λ$ . Em seguida, considera-se $α$ , como aparece na prova, como sendo grande em relação a esses limites. Livro de Evans tem uma formulação ligeiramente mais fraca, na qual é assumido como sendo um número positivo $λ$ que é um limite inferior dos valores próprios de $[um -ij]$ para todos os $x$ em $H$ .

Essas suposições de continuidade claramente não são as mais gerais possíveis para que a prova funcione. Por exemplo, o que se segue é a declaração de Gilbarg e Trudinger do teorema, seguindo a mesma prova:

Seja $M$ um subconjunto aberto do espaço euclidiano $ℝ n$ . Para cada $i$ e $j$ entre 1 e $n$ , sejam $a ij$ e $b i$ funções em $M$ com $a ij = a ji$ . Suponha que para todo $x$ em $M$ , a matriz simétrica $[a ij]$ seja definida positiva e seja $λ (x)$ seu menor autovalor. Suponha que e sejam funções limitadas em $M$ para cada $i$ entre 1 e $n$ . Se $L$ é um não constante $C$ $2$ função em $H$ tal que ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a_ {ii}} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {| b_ {i} |} {\ lambda}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x ^ {i}}} \ geq 0}$

em $M$ , então $u$ não atinge um valor máximo em $M$ .

Não se pode estender ingenuamente essas afirmações à equação elíptica linear geral de segunda ordem, como já visto no caso unidimensional. Por exemplo, a equação diferencial ordinária $y ″ + 2 y = 0$ tem soluções senoidais, que certamente possuem máximos interiores. Isso se estende ao caso de dimensão superior, onde frequentemente se tem soluções para as equações de "autofunção" $Δ u + cu = 0$ que têm máximos internos. O sinal de c é relevante, como também visto no caso unidimensional; por exemplo, as soluções para $y ″ - 2 y = 0$ são exponenciais, e o caráter dos máximos de tais funções é bastante diferente daquele das funções senoidais.

Veja também

Notas

Referências

Artigos de pesquisa

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Livros didáticos

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