Número Leyland - Leyland number
Na teoria dos números , um número de Leyland é um número da forma
onde x e y são números inteiros maior que 1. São nomeados após o matemático Paul Leyland . Os primeiros números de Leyland são
- 8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320 , 368 , 512 , 593 , 945 , 1124 (sequência A076980 no OEIS ).
O requisito de que x e y sejam maiores que 1 é importante, pois sem ele todo número inteiro positivo seria um número de Leyland na forma x 1 + 1 x . Além disso, por causa da propriedade comutativa de adição, a condição x ≥ y é geralmente adicionada para evitar a dupla cobertura do conjunto de números de Leyland (então temos 1 < y ≤ x ).
Primos de Leyland
Um primo de Leyland é um número de Leyland que também é primo. Os primeiros primos são:
- 17 , 593 , 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (sequência A094133 no OEIS )
correspondendo a
- 3 2 +2 3 , 9 2 +2 9 , 15 2 +2 15 , 21 2 +2 21 , 33 2 +2 33 , 24 5 +5 24 , 56 3 +3 56 , 32 15 +15 32 .
Também se pode fixar o valor de y e considerar a sequência de valores de x que dá primos de Leyland, por exemplo x 2 + 2 x é primo para x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, .. . ( OEIS : A064539 ).
Em novembro de 2012, o maior número de Leyland que provou ser primo era 5122 6753 + 6753 5122 com 25050 dígitos. De janeiro de 2011 a abril de 2011, foi o maior primo cuja primalidade foi provada pela prova de primalidade da curva elíptica . Em dezembro de 2012, isso foi melhorado, comprovando a primalidade dos dois números 3110 63 + 63 3110 (5596 dígitos) e 8656 2929 + 2929 8656 (3.0008 dígitos), o último dos quais ultrapassou o recorde anterior. Existem muitos primos prováveis maiores , como 314738 9 + 9 314738 , mas é difícil provar a primalidade de grandes números de Leyland. Paul Leyland escreve em seu site: "Mais recentemente, percebeu-se que números dessa forma são casos de teste ideais para programas de teste de primalidade de propósito geral. Eles têm uma descrição algébrica simples, mas nenhuma propriedade ciclotômica óbvia que algoritmos de propósito especial possam explorar."
Existe um projeto chamado XYYXF para fatorar números compostos de Leyland.
Atualmente, o maior número primo provável de Leyland conhecido é 81650 54369 +54369 81650 (386.642 dígitos). Este provável primo foi encontrado por Yusuf AttarBashi, em junho de 2021.
Número de Leyland de segundo tipo
Um número de Leyland de segundo tipo é um número da forma
onde x e y são inteiros maiores que 1. Os primeiros desses números são:
- 0, 1, 7 , 17 , 28, 79 , 118, 192, 399, 431 , 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... (sequência A045575 no OEIS )
Um número primo de Leyland do segundo tipo é um número de Leyland do segundo tipo que também é primo. Os primeiros primos são:
- 7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (sequência A123206 no OEIS )
Para os prováveis primos, consulte Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, pesquisa PRP Top Records.