Fórmula de Larmor - Larmor formula

Uma antena Yagi-Uda . As ondas de rádio podem ser irradiadas de uma antena acelerando os elétrons na antena. Este é um processo coerente , então a potência total irradiada é proporcional ao quadrado do número de elétrons em aceleração.

Em eletrodinâmica , a fórmula de Larmor é usada para calcular a potência total irradiada por uma carga pontual não relativística à medida que ela acelera. Foi derivado pela primeira vez por JJ Larmor em 1897, no contexto da teoria ondulatória da luz .

Quando qualquer partícula carregada (como um elétron , um próton ou um íon ) acelera, ela irradia energia na forma de ondas eletromagnéticas . Para velocidades que são pequenas em relação à velocidade da luz , a potência total irradiada é dada pela fórmula de Larmor:

${\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c}} \ left ({\ frac {\ dot {v}} {c} } \ right) ^ {2} = {2 \ over 3} {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}} = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}} {\ mbox {(unidades SI)}}}$

${\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {c ^ {3}}} {\ mbox {(unidades cgs)}}}$

onde ou é a aceleração adequada, é a carga e é a velocidade da luz. Uma generalização relativística é dada pelos potenciais de Liénard-Wiechert . ${\ displaystyle {\ dot {v}}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle c}$

Em qualquer sistema de unidades, a potência irradiada por um único elétron pode ser expressa em termos do raio do elétron clássico e da massa do elétron como:

${\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {m_ {e} r_ {e} a ^ {2}} {c}}}$

Uma implicação é que um elétron orbitando em torno de um núcleo, como no modelo de Bohr , deve perder energia, cair para o núcleo e o átomo deve entrar em colapso. Esse quebra-cabeça não foi resolvido até que a teoria quântica foi introduzida.

Derivação

Derivação 1: Abordagem matemática (usando unidades CGS)

Primeiro precisamos encontrar a forma dos campos elétricos e magnéticos. Os campos podem ser escritos (para uma derivação mais completa, veja o potencial de Liénard-Wiechert )

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = q \ left ({\ frac {\ mathbf {n} - {\ boldsymbol {\ beta}}} {\ gamma ^ {2} (1 - {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {n}) ^ {3} R ^ {2}}} \ right) _ {\ rm {ret}} + {\ frac {q} {c}} \ left ({\ frac {\ mathbf {n} \ times [(\ mathbf {n} - {\ boldsymbol {\ beta}}) \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}]} {(1 - {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {n}) ^ {3} R}} \ right) _ {\ rm {ret}}}$

e

${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {n} \ times \ mathbf {E},}$

onde é a velocidade da carga dividida por , é a aceleração da carga dividida por c , é um vetor unitário na direção, é a magnitude de , é a localização da carga e . Os termos à direita são avaliados no tempo retardado . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma = (1- \ beta ^ {2}) ^ {- 1/2}}$ ${\ displaystyle t _ {\ text {r}} = tR / c}$

O lado direito é a soma dos campos elétricos associados à velocidade e à aceleração da partícula carregada. O campo de velocidade depende apenas de enquanto o campo de aceleração depende de ambos e e da relação angular entre os dois. Como o campo de velocidade é proporcional a , ele diminui muito rapidamente com a distância. Por outro lado, o campo de aceleração é proporcional a , o que significa que diminui muito mais lentamente com a distância. Por causa disso, o campo de aceleração é representativo do campo de radiação e é responsável por transportar a maior parte da energia para longe da carga. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}}$${\ displaystyle 1 / R ^ {2}}$${\ displaystyle 1 / R}$

Podemos encontrar a densidade do fluxo de energia do campo de radiação calculando seu vetor de Poynting :

${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {c} {4 \ pi}} \ mathbf {E} _ {\ text {a}} \ times \ mathbf {B} _ {\ text {a}}, }$

onde os subscritos 'a' enfatizam que estamos pegando apenas o campo de aceleração. Substituindo na relação entre os campos magnético e elétrico, assumindo que a partícula instantaneamente em repouso no tempo e simplificando dá ${\ displaystyle t _ {\ text {r}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi c}} \ left | {\ frac {\ mathbf {n} \ times (\ mathbf {n} \ times {\ ponto {\ boldsymbol {\ beta}}})} {R}} \ right | ^ {2} \ mathbf {n}.}$

Se deixarmos o ângulo entre a aceleração e o vetor de observação ser igual a , e introduzirmos a aceleração , então a potência irradiada por unidade de ângulo sólido é ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} c}$

${\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi c}} {\ frac {\ sin ^ {2} (\ theta) \, a ^ {2}} {c ^ {2}}}.}$

A potência total irradiada é encontrada integrando essa quantidade em todos os ângulos sólidos (ou seja, sobre e ). Isto dá ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {c ^ {3}}},}$

que é o resultado de Larmor para uma carga acelerada não relativística. Relaciona a potência irradiada pela partícula à sua aceleração. Isso mostra claramente que quanto mais rápido a carga acelera, maior será a radiação. Seria de se esperar isso, já que o campo de radiação depende da aceleração.

Derivação 2: abordagem de Edward M. Purcell

A derivação completa pode ser encontrada aqui.

Aqui está uma explicação que pode ajudar a entender a página acima.

Esta abordagem é baseada na velocidade finita da luz. Uma carga que se move com velocidade constante tem um campo elétrico radial (à distância da carga), sempre emergindo da posição futura da carga, e não há componente tangencial do campo elétrico . Esta posição futura é completamente determinística, desde que a velocidade seja constante. Quando a velocidade da carga muda, (digamos que ela salta para trás durante um curto período de tempo), a posição futura "salta", portanto, a partir desse momento, o campo elétrico radial emerge de uma nova posição. Dado o fato de que o campo elétrico deve ser contínuo, uma componente tangencial diferente de zero do campo elétrico aparece, que diminui como (ao contrário da componente radial que diminui como ). ${\ displaystyle E_ {r}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (E_ {t} = 0)}$${\ displaystyle E_ {r}}$${\ displaystyle E_ {t}}$${\ displaystyle 1 / R}$${\ displaystyle 1 / R ^ {2}}$

Portanto, a grandes distâncias da carga, o componente radial é desprezível em relação ao componente tangencial e, além disso, os campos que se comportam como não podem irradiar, porque o vetor de Poynting associado a eles se comportará como . ${\ displaystyle 1 / R ^ {2}}$${\ displaystyle 1 / R ^ {4}}$

O componente tangencial sai (unidades SI):

${\ displaystyle E_ {t} = {{ea \ sin (\ theta)} \ over {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2} R}}.}$

E para obter a fórmula de Larmour, deve-se integrar sobre todos os ângulos, a uma grande distância da carga, o vetor de Poynting associado , que é: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle E_ {t}}$

${\ displaystyle \ mathbf {S} = {E_ {t} ^ {2} \ over \ mu _ {0} c} \ mathbf {\ hat {r}} = {{e ^ {2} a ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta)} \ over {16 \ pi ^ {2} \ varepsilon _ {0} c ^ {3} R ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {r}}}$

dando (unidades SI)

${\ displaystyle P = {{e ^ {2} a ^ {2}} \ over {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}}.}$

Isso é matematicamente equivalente a:

${\ displaystyle P = {{\ mu _ {0} e ^ {2} a ^ {2}} \ over {6 \ pi c}}.}$

Desde então , recuperamos o resultado citado no início do artigo, a saber ${\ displaystyle c ^ {2} = 1 / \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}}$

${\ displaystyle P = {2 \ over 3} {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}} = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}}.}$

Generalização relativística

Forma covariante

Escrito em termos de momento, p , a fórmula não relativística de Larmor é (em unidades CGS)

${\ displaystyle P = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {3}}} | {\ dot {\ mathbf {p}}} | ^ {2}.}$

O poder P pode ser mostrado como invariante de Lorentz . Qualquer generalização relativística da fórmula de Larmor deve, portanto, relacionar P a alguma outra quantidade invariante de Lorentz. A quantidade que aparece na fórmula não relativística sugere que a fórmula relativisticamente correta deve incluir o escalar de Lorentz encontrado tomando o produto interno da aceleração de quatro a ^μ = dp ^μ / d τ consigo mesmo [aqui p ^μ = (γ mc , γ m v ) é o quatro momentum ]. A generalização relativística correta da fórmula de Larmor é (em unidades CGS) ${\ displaystyle | {\ dot {\ mathbf {p}}} | ^ {2}}$

Pode-se demonstrar que este produto interno é dado por

${\ displaystyle {\ frac {dp _ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dp ^ {\ mu}} {d \ tau}} = \ beta ^ {2} \ left ({\ frac { dp} {d \ tau}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {d {\ mathbf {p}}} {d \ tau}} \ right) ^ {2},}$

e assim, no limite β ≪ 1 , ele se reduz a , reproduzindo assim o caso não relativístico. ${\ displaystyle - | {\ dot {\ mathbf {p}}} | ^ {2}}$

Forma não covariante

O produto interno acima também pode ser escrito em termos de β e sua derivada de tempo. Então, a generalização relativística da fórmula de Larmor é (em unidades CGS)

Este é o resultado de Liénard, que foi obtido pela primeira vez em 1898. Isso significa que quando o fator de Lorentz está muito próximo de um (isto é ), a radiação emitida pela partícula é provavelmente desprezível. No entanto, à medida que a radiação cresce , a partícula tenta perder sua energia na forma de ondas EM. Além disso, quando a aceleração e a velocidade são ortogonais, a potência é reduzida por um fator de , ou seja, o fator se torna . Quanto mais rápido o movimento se torna, maior é a redução. ${\ displaystyle \ gamma ^ {6}}$ ${\ textstyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ beta \ ll 1}$${\ displaystyle \ beta \ rightarrow 1}$${\ displaystyle \ gamma ^ {6}}$${\ displaystyle 1- \ beta ^ {2} = 1 / \ gamma ^ {2}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {6}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {4}}$

Podemos usar o resultado de Liénard para prever que tipo de perdas de radiação esperar em diferentes tipos de movimento.

Distribuição angular

A distribuição angular da potência irradiada é dada por uma fórmula geral, aplicável quer a partícula seja relativística ou não. Em unidades CGS, esta fórmula é

${\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi c}} {\ frac {| \ mathbf {\ hat {n}} \ times [ (\ mathbf {\ hat {n}} - {\ boldsymbol {\ beta}}) \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}}] | ^ {2}} {(1- \ mathbf {\ hat {n}} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}}) ^ {5}}},}$

onde é um vetor unitário apontando da partícula em direção ao observador. No caso de movimento linear (velocidade paralela à aceleração), isso simplifica para ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {4 \ pi c ^ {3}}} {\ frac {\ sin ^ { 2} \ theta} {(1- \ beta \ cos \ theta) ^ {5}}},}$

onde está o ângulo entre o observador e o movimento da partícula. ${\ displaystyle \ theta}$

Problemas e implicações

Reação de radiação

A radiação de uma partícula carregada carrega energia e momento. A fim de satisfazer a conservação de energia e momento, a partícula carregada deve sofrer um recuo no momento da emissão. A radiação deve exercer uma força adicional na partícula carregada. Essa força é conhecida como força de Abraham – Lorentz no limite não relativístico e força de Abraham – Lorentz – Dirac no cenário relativístico.

Física atômica

Um elétron clássico no modelo de Bohr orbitando um núcleo experimenta aceleração e deve irradiar. Conseqüentemente, o elétron perde energia e o elétron deve eventualmente espiralar no núcleo. Os átomos, de acordo com a mecânica clássica, são consequentemente instáveis. Esta previsão clássica é violada pela observação de órbitas de elétrons estáveis. O problema é resolvido com uma descrição da mecânica quântica da física atômica , inicialmente fornecida pelo modelo de Bohr. Soluções clássicas para a estabilidade de orbitais de elétrons podem ser demonstradas usando condições de não radiação e de acordo com leis físicas conhecidas.

Veja também

• Teoria atômica
• Radiação de ciclotron
• Equação de onda eletromagnética
• Equações de Maxwell no espaço-tempo curvo
• Reação de radiação
• Equação de onda
• Teoria do absorvedor de Wheeler-Feynman

Notas

Referências

• J. Larmor, "Em uma teoria dinâmica do meio elétrico e luminífero", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205-300 (terceiro e último em uma série de artigos com o mesmo nome).
• Jackson, John D. (1998). Eletrodinâmica Clássica (3ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X. (Seção 14.2ff)
• Misner, Charles; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitação . São Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.