Equação de Lane-Emden - Lane–Emden equation

Soluções da equação de Lane-Emden para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Na astrofísica , a equação de Lane-Emden é uma forma adimensional da equação de Poisson para o potencial gravitacional de um fluido newtoniano autogravitante, esfericamente simétrico e politrópico . Recebeu o nome dos astrofísicos Jonathan Homer Lane e Robert Emden . A equação lê

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left ({\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}} \ direita) + \ theta ^ {n} = 0,}$

onde é um raio adimensional e está relacionado à densidade e, portanto, à pressão, por densidade central . O índice é o índice politrópico que aparece na equação de estado politrópica, ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$${\ displaystyle \ rho _ {c}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle P = K \ rho ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \,}$

onde e são a pressão e a densidade, respectivamente, e é uma constante de proporcionalidade. As condições de contorno padrão são e . As soluções, portanto, descrevem a execução de pressão e densidade com raio e são conhecidas como politropos de índice . Se um fluido isotérmico (índice politrópico tende ao infinito) é usado em vez de um fluido politrópico, obtém -se a equação de Emden – Chandrasekhar . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ theta (0) = 1}$${\ displaystyle \ theta '(0) = 0}$${\ displaystyle n}$

Formulários

Fisicamente, o equilíbrio hidrostático conecta o gradiente do potencial, a densidade e o gradiente da pressão, enquanto a equação de Poisson conecta o potencial com a densidade. Assim, se tivermos outra equação que dita como a pressão e a densidade variam entre si, podemos chegar a uma solução. A escolha particular de um gás politrópico conforme dado acima torna a declaração matemática do problema particularmente sucinta e leva à equação de Lane-Emden. A equação é uma aproximação útil para esferas autogravitantes de plasma, como estrelas, mas normalmente é uma suposição bastante limitante.

Derivação

Do equilíbrio hidrostático

Considere um fluido autogravitante e esférico simétrico em equilíbrio hidrostático . A massa é conservada e, portanto, descrita pela equação de continuidade

${\ displaystyle {\ frac {dm} {dr}} = 4 \ pi r ^ {2} \ rho}$

onde é uma função de . A equação do equilíbrio hidrostático é ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} = - {\ frac {Gm} {r ^ {2}}}}$

onde também é uma função de . Diferenciar novamente dá ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} \ right) & = {\ frac {2Gm} {r ^ {3}}} - {\ frac {G} {r ^ {2}}} {\ frac {dm} {dr}} \\ & = - {\ frac {2} {\ rho r}} {\ frac {dP} {dr}} - 4 \ pi G \ rho \ end {alinhado}}}$

onde a equação de continuidade foi usada para substituir o gradiente de massa. Multiplicando ambos os lados por e coletando as derivadas de à esquerda, pode-se escrever ${\ displaystyle r ^ {2}}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} \ right) + {\ frac { 2r} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} = {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {r ^ {2}} {\ rho}} {\ frac { dP} {dr}} \ right) = - 4 \ pi Gr ^ {2} \ rho}$

Dividir os dois lados por produz, em certo sentido, uma forma dimensional da equação desejada. Se, além disso, substituirmos a equação de estado politrópica por e , temos ${\ displaystyle r ^ {2}}$${\ displaystyle P = K \ rho _ {c} ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \ theta ^ {n + 1}}$${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} K \ rho _ {c} ^ {\ frac {1} { n}} (n + 1) {\ frac {d \ theta} {dr}} \ right) = - 4 \ pi G \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$

Reunindo as constantes e substituindo , onde ${\ displaystyle r = \ alpha \ xi}$

${\ displaystyle \ alpha ^ {2} = (n + 1) K \ rho _ {c} ^ {{\ frac {1} {n}} - 1} / 4 \ pi G,}$

temos a equação de Lane-Emden,

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left ({\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}} \ direita) + \ theta ^ {n} = 0}$

Da equação de Poisson

Equivalentemente, pode-se começar com a equação de Poisson ,

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {d \ Phi} {dr}} \ right) = 4 \ pi G \ rho}$

Pode-se substituir o gradiente do potencial usando o equilíbrio hidrostático, via

${\ displaystyle {\ frac {d \ Phi} {dr}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}}}$

que novamente produz a forma dimensional da equação de Lane-Emden.

Soluções exatas

Para um determinado valor do índice politrópico , denote a solução para a equação de Lane-Emden como . Em geral, a equação de Lane-Emden deve ser resolvida numericamente para encontrar . Existem soluções exatas, analíticas para determinados valores de , em particular: . Para entre 0 e 5, as soluções são contínuas e finitas em extensão, com o raio da estrela dado por , onde . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ theta _ {n} (\ xi)}$${\ displaystyle \ theta _ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 0,1,5}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle R = \ alpha \ xi _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {n} (\ xi _ {1}) = 0}$

Para uma determinada solução , o perfil de densidade é dado por ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$

${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta _ {n} ^ {n}}$ .

A massa total da estrela do modelo pode ser encontrada integrando a densidade sobre o raio, de 0 a . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ xi _ {1}}$

A pressão pode ser encontrada usando a equação de estado politrópica , ou seja, ${\ displaystyle P = K \ rho ^ {1 + {\ frac {1} {n}}}}$

${\ displaystyle P = K \ rho _ {c} ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \ theta _ {n} ^ {n + 1}}$

Finalmente, se o gás é ideal , a equação de estado é , onde está a constante de Boltzmann e o peso molecular médio. O perfil de temperatura é então dado por ${\ displaystyle P = k_ {B} \ rho T / \ mu}$${\ displaystyle k_ {B}}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle T = {\ frac {K \ mu} {k_ {B}}} \ rho _ {c} ^ {1 / n} \ theta _ {n}}$

Em casos esfericamente simétricos, a equação de Lane-Emden é integrável para apenas três valores do índice politrópico . ${\ displaystyle n}$

Para n = 0

Se , a equação se torna ${\ displaystyle n = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} \ direita) + 1 = 0}$

Reorganizar e integrar uma vez dá

${\ displaystyle \ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} = C_ {1} - {\ frac {1} {3}} \ xi ^ {3}}$

Dividir os dois lados e integrar novamente dá ${\ displaystyle \ xi ^ {2}}$

${\ displaystyle \ theta (\ xi) = C_ {0} - {\ frac {C_ {1}} {\ xi}} - {\ frac {1} {6}} \ xi ^ {2}}$

As condições de contorno e implicam que as constantes de integração são e . Portanto, ${\ displaystyle \ theta (0) = 1}$${\ displaystyle \ theta '(0) = 0}$${\ displaystyle C_ {0} = 1}$${\ displaystyle C_ {1} = 0}$

${\ displaystyle \ theta (\ xi) = 1 - {\ frac {1} {6}} \ xi ^ {2}}$

Para n = 1

Quando , a equação pode ser expandida na forma ${\ displaystyle n = 1}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {d \ xi ^ {2}}} + {\ frac {2} {\ xi}} {\ frac {d \ theta} {d \ xi} } + \ theta = 0}$

Um assume uma solução de série de potência:

${\ displaystyle \ theta (\ xi) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ xi ^ {n}}$

Isso leva a um relacionamento recursivo para os coeficientes de expansão:

${\ displaystyle a_ {n + 2} = - {\ frac {a_ {n}} {(n + 3) (n + 2)}}}$

Esta relação pode ser resolvida levando à solução geral:

${\ displaystyle \ theta (\ xi) = a_ {0} {\ frac {\ sin \ xi} {\ xi}} + a_ {1} {\ frac {\ cos \ xi} {\ xi}}}$

A condição de contorno para um politropo físico exige que as . Isso requer que , conduzindo assim à solução: ${\ displaystyle \ theta (\ xi) \ rightarrow 1}$${\ displaystyle \ xi \ rightarrow 0}$${\ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = 0}$

${\ displaystyle \ theta (\ xi) = {\ frac {\ sin \ xi} {\ xi}}}$

Para n = 5

Começamos com a equação de Lane-Emden:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} \ direita) + \ theta ^ {5} = 0}$

Reescrevendo para produz: ${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + {\ frac {\ xi ^ {2}} {3}} \ right ) ^ {3/2} {\ frac {2 \ xi} {3}} = {\ frac {\ xi ^ {3}} {3 \ left [1 + {\ frac {\ xi ^ {2}} { 3}} \ right] ^ {3/2}}}}$

Diferenciar em relação a ξ leva a:

${\ displaystyle \ theta ^ {5} = {\ frac {\ xi ^ {2}} {\ left [1 + {\ frac {\ xi ^ {2}} {3}} \ right] ^ {3/2 }}} + {\ frac {3 \ xi ^ {2}} {9 \ left [1 + {\ frac {\ xi ^ {2}} {3}} \ right] ^ {5/2}}} = {\ frac {9} {9 \ left [1 + {\ frac {\ xi ^ {2}} {3}} \ right] ^ {5/2}}}}$

Reduzido, passamos por:

${\ displaystyle \ theta ^ {5} = {\ frac {1} {\ left [1 + {\ frac {\ xi ^ {2}} {3}} \ right] ^ {5/2}}}}$

Portanto, a equação de Lane-Emden tem a solução

${\ displaystyle \ theta (\ xi) = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ xi ^ {2} / 3}}}}$

quando . Esta solução é finita em massa, mas infinita em extensão radial e, portanto, o politropo completo não representa uma solução física. Chandrasekhar acreditou por muito tempo que encontrar outra solução para "é complicado e envolve integrais elípticas". ${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle n = 5}$

Solução de Srivastava

Em 1962, Sambhunath Srivastava encontrou uma solução explícita quando . Sua solução é dada por ${\ displaystyle n = 5}$

${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ sin (\ ln {\ sqrt {\ xi}})} {{\ sqrt {\ xi}} [3-2 \ sin ^ {2} (\ ln {\ sqrt {\XI }})]}},}$

e a partir desta solução, uma família de soluções pode ser obtida usando a transformação de homologia. Uma vez que esta solução não satisfaz as condições na origem (na verdade, ela é oscilatória com amplitudes crescendo indefinidamente conforme a origem se aproxima), esta solução pode ser usada em modelos estelares compostos. ${\ displaystyle \ theta (\ xi) \ rightarrow {\ sqrt {A}} \, \ theta (A \ xi)}$

Soluções analíticas

Nas aplicações, o papel principal desempenha soluções analíticas que são expressas pela série de potências convergentes expandida em torno de algum ponto inicial. Normalmente, o ponto de expansão é , que também é um ponto singular (singularidade fixa) da equação, e são fornecidos alguns dados iniciais no centro da estrela. Pode-se comprovar que a equação possui a série convergente de potências / solução analítica em torno da origem da forma. ${\ displaystyle \ xi = 0}$${\ displaystyle \ theta (0)}$

${\ displaystyle \ theta (\ xi) = \ theta (0) - {\ frac {\ theta (0) ^ {n}} {6}} \ xi ^ {2} + O (\ xi ^ {3}) , \ quad \ xi \ approx 0}$ .

Solução numérica para solução analítica da equação Lane-Emden no plano complexo para , . Duas singularidades móveis no eixo imaginário são visíveis. Eles limitam o raio de convergência da solução analítica em torno da origem. Para diferentes valores de dados iniciais e a localização das singularidades é diferente, ainda assim, eles estão localizados simetricamente no eixo imaginário. ${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle \ theta (0) = 2}$${\ displaystyle p}$

O raio de convergência desta série é limitado devido à existência de duas singularidades no eixo imaginário no plano complexo . Essas singularidades estão localizadas simetricamente em relação à origem. Sua posição muda quando mudamos os parâmetros das equações e a condição inicial , e por isso são chamados de singularidades móveis devido à classificação das singularidades das equações diferenciais ordinárias não lineares no plano complexo de Paul Painlevé . Uma estrutura semelhante de singularidades aparece em outras equações não lineares que resultam da redução do operador de Laplace na simetria esférica, por exemplo, a equação da esfera isotérmica. ${\ displaystyle \ theta (0)}$

As soluções analíticas podem ser estendidas ao longo da linha real pelo procedimento de continuação analítica , resultando no perfil completo da estrela ou núcleos de nuvem molecular . Duas soluções analíticas com os círculos de convergência sobrepostos também podem ser combinadas na sobreposição para a solução de domínio maior, que é um método comumente usado de construção de perfis de propriedades requeridas.

A solução em série também é usada na integração numérica da equação. É usado para deslocar os dados iniciais da solução analítica ligeiramente para longe da origem, pois na origem os métodos numéricos falham devido à singularidade da equação.

Soluções numéricas

Em geral, as soluções são encontradas por integração numérica. Muitos métodos padrão requerem que o problema seja formulado como um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem . Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} = - {\ frac {\ varphi} {\ xi ^ {2}}} \\ [6pt] & {\ frac {d \ varphi} {d \ xi}} = \ theta ^ {n} \ xi ^ {2} \ end {alinhado}}}$

Aqui, é interpretado como a massa adimensional, definida por . As condições iniciais relevantes são e . A primeira equação representa o equilíbrio hidrostático e a segunda representa a conservação de massa. ${\ displaystyle \ varphi (\ xi)}$${\ displaystyle m (r) = 4 \ pi \ alpha ^ {3} \ rho _ {c} \ varphi (\ xi)}$${\ displaystyle \ varphi (0) = 0}$${\ displaystyle \ theta (0) = 1}$

Variáveis ​​homólogas

Equação invariante de homologia

Sabe-se que se é uma solução da equação de Lane-Emden, então ela é . As soluções relacionadas dessa maneira são chamadas de homólogas ; o processo que os transforma é a homologia . Se escolhermos variáveis ​​que são invariáveis ​​à homologia, podemos reduzir a ordem da equação de Lane-Emden em um. ${\ displaystyle \ theta (\ xi)}$${\ displaystyle C ^ {2 / n + 1} \ theta (C \ xi)}$

Existe uma variedade de tais variáveis. Uma escolha adequada é

${\ displaystyle U = {\ frac {d \ log m} {d \ log r}} = {\ frac {\ xi ^ {3} \ theta ^ {n}} {\ varphi}}}$

e

${\ displaystyle V = {\ frac {d \ log P} {d \ log r}} = (n + 1) {\ frac {\ varphi} {\ xi \ theta}}}$

Podemos diferenciar os logaritmos dessas variáveis ​​em relação a , o que dá ${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {U}} {\ frac {dU} {d \ xi}} = {\ frac {1} {\ xi}} (3-n (n + 1) ^ {- 1 } VU)}$

e

${\ displaystyle {\ frac {1} {V}} {\ frac {dV} {d \ xi}} = {\ frac {1} {\ xi}} (- 1-U- (n + 1) ^ { -1} V)}$ .

Finalmente, podemos dividir essas duas equações para eliminar a dependência de , o que deixa ${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dU}} = - {\ frac {V} {U}} \ left ({\ frac {U + (n + 1) ^ {- 1} V-1} {U + n (n + 1) ^ {- 1} V-3}} \ direita)}$

Esta é agora uma única equação de primeira ordem.

Topologia da equação invariante de homologia

A equação invariante de homologia pode ser considerada como o par autônomo de equações

${\ displaystyle {\ frac {dU} {d \ log \ xi}} = - U (U + n (n + 1) ^ {- 1} V-3)}$

e

${\ displaystyle {\ frac {dV} {d \ log \ xi}} = V (U + (n + 1) ^ {- 1} V-1).}$

O comportamento das soluções para essas equações pode ser determinado por análise de estabilidade linear. Os pontos críticos da equação (onde ) e os autovalores e autovetores da matriz Jacobiana estão tabulados a seguir. ${\ displaystyle dV / d \ log \ xi = dU / d \ log \ xi = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {| l | l | l |} \ hline {\ text {Ponto crítico}} & {\ text {Autovalores}} & {\ text {Autovetores}} \\\ hline (0 , 0) & 3, -1 & (1,0), (0,1) \\ (3,0) & - 3,2 & (1,0), (- 3n, 5 + 5n) \\ (0, n +1) & 1,3-n & (0,1), (2-n, 1 + n) \\\ esquerda ({\ dfrac {n-3} {n-1}}, 2 {\ dfrac {n + 1} {n-1}} \ right) & {\ dfrac {n-5 \ pm \ Delta _ {n}} {2-2n}} & (1-n \ mp \ Delta _ {n}, 4 + 4n) \\\ hline \ end {array}}}$

Veja também

• Equação de Emden-Chandrasekhar
• Equação da anã branca de Chandrasekhar

Referências

Leitura adicional

links externos

• Weisstein, Eric W. "Lane-Emden Differential Equation" . MathWorld .