Parâmetros Lamé - Lamé parameters

Na mecânica contínua , os parâmetros de Lamé (também chamados de coeficientes de Lamé , constantes de Lamé ou módulos de Lamé ) são duas grandezas dependentes do material denotadas por λ e μ que surgem nas relações deformação - tensão . Em geral, λ e μ são individualmente referidos como o primeiro parâmetro de Lamé e o segundo parâmetro de Lamé , respectivamente. Outros nomes às vezes são empregados para um ou ambos os parâmetros, dependendo do contexto. Por exemplo, o parâmetro μ é referido na dinâmica de fluidos como a viscosidade dinâmica de um fluido (não as mesmas unidades); enquanto que, no contexto da elasticidade , μ é chamado de módulo de cisalhamento e às vezes é denotado por G em vez de μ . Normalmente, a notação G é pareada com o uso do módulo E de Young , e a notação μ é pareada com o uso de λ .

Em materiais homogêneos e isotrópicos , eles definem a lei de Hooke em 3D,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = 2 \ mu {\ boldsymbol {\ varepsilon}} + \ lambda \; \ mathrm {tr} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) I,}$

onde σ é a tensão , ε o tensor de deformação , I a matriz identidade e tr a função traço . A lei de Hooke pode ser escrita em termos de componentes tensores usando notação de índice como

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu E_ {ij} + \ lambda \ delta _ {ij} E_ {kk},}$

onde σ _ij é o tensor de tensão, E _ij o tensor de deformação e δ _ij o delta de Kronecker .

Os dois parâmetros juntos constituem uma parametrização dos módulos elásticos para meios isotrópicos homogêneos, popular na literatura matemática e, portanto, relacionados aos outros módulos elásticos ; por exemplo, o módulo de bulk pode ser expresso como K = λ + 2/3μ . As relações para outros módulos são encontradas na linha ( λ , G ) da tabela de conversões no final deste artigo.

Embora o módulo de cisalhamento, μ , deva ser positivo, o primeiro parâmetro de Lamé, λ , pode ser negativo, em princípio; no entanto, para a maioria dos materiais também é positivo.

Os parâmetros têm o nome de Gabriel Lamé . Eles têm a mesma dimensão que a tensão e geralmente são dados na unidade de pressão [Pa].

Leitura adicional

• K. Feng, Z.-C. Shi, Mathematical Theory of Elastic Structures , Springer New York, ISBN  0-387-51326-4 , (1981)
• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin, The Rock Physics Handbook , Cambridge University Press (brochura), ISBN  0-521-54344-4 , (2003)
• WS Slaughter, The Linearized Theory of Elasticity , Birkhäuser, ISBN  0-8176-4117-3 , (2002)

Referências

Fórmulas de conversão
Os materiais elásticos lineares isotrópicos homogêneos têm suas propriedades elásticas determinadas exclusivamente por quaisquer dois módulos entre eles; assim, dados quaisquer dois, qualquer outro módulo de elasticidade pode ser calculado de acordo com essas fórmulas.
	${\ displaystyle K = \,}$	${\ displaystyle E = \,}$	${\ displaystyle \ lambda = \,}$	${\ displaystyle G = \,}$	${\ displaystyle \ nu = \,}$	${\ displaystyle M = \,}$	Notas
${\ displaystyle (K, \, E)}$			${\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-E} {6K}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$
${\ displaystyle (K, \, \ lambda)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9K (K- \ lambda)} {3K- \ lambda}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3 (K- \ lambda)} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {3K- \ lambda}}}$	${\ displaystyle 3K-2 \ lambda \,}$
${\ displaystyle (K, \, G)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9KG} {3K + G}}}$	${\ displaystyle K - {\ tfrac {2G} {3}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${\ displaystyle K + {\ tfrac {4G} {3}}}$
${\ displaystyle (K, \, \ nu)}$		${\ displaystyle 3K (1-2 \ nu) \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K \ nu} {1+ \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (1-2 \ nu)} {2 (1+ \ nu)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3K (1- \ nu)} {1+ \ nu}}}$
${\ displaystyle (K, \, M)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9K (MK)} {3K + M}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-M} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3 (MK)} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-M} {3K + M}}}$
${\ displaystyle (E, \, \ lambda)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E + 3 \ lambda + R} {6}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {E-3 \ lambda + R} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2 \ lambda} {E + \ lambda + R}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E- \ lambda + R} {2}}}$	${\ displaystyle R = {\ sqrt {E ^ {2} +9 \ lambda ^ {2} + 2E \ lambda}}}$
${\ displaystyle (E, \, G)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {E} {2G}} - 1}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${\ displaystyle (E, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E} {3 (1-2 \ nu)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {E \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E} {2 (1+ \ nu)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {E (1- \ nu)} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}}$
${\ displaystyle (E, \, M)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3M-E + S} {6}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {M-E + S} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3M + ES} {8}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E-M + S} {4M}}}$		${\ displaystyle S = \ pm {\ sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM}}}$ Existem duas soluções válidas. O sinal de mais leva a .${\ displaystyle \ nu \ geq 0}$ O sinal de menos leva a .${\ displaystyle \ nu \ leq 0}$
${\ displaystyle (\ lambda, \, G)}$	${\ displaystyle \ lambda + {\ tfrac {2G} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (3 \ lambda + 2G)} {\ lambda + G}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}}}$	${\ displaystyle \ lambda + 2G \,}$
${\ displaystyle (\ lambda, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu)} {3 \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1-2 \ nu)} {2 \ nu}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1- \ nu)} {\ nu}}}$	Não pode ser usado quando ${\ displaystyle \ nu = 0 \ Leftrightarrow \ lambda = 0}$
${\ displaystyle (\ lambda, \, M)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M + 2 \ lambda} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {(M- \ lambda) (M + 2 \ lambda)} {M + \ lambda}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {M- \ lambda} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {M + \ lambda}}}$
${\ displaystyle (G, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2G (1+ \ nu)} {3 (1-2 \ nu)}}}$	${\ displaystyle 2G (1+ \ nu) \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2G \ nu} {1-2 \ nu}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {2G (1- \ nu)} {1-2 \ nu}}}$
${\ displaystyle (G, \, M)}$	${\ displaystyle M - {\ tfrac {4G} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (3M-4G)} {MG}}}$	${\ displaystyle M-2G \,}$		${\ displaystyle {\ tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${\ displaystyle (\ nu, \, M)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M (1+ \ nu)} {3 (1- \ nu)}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {1- \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M \ nu} {1- \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M (1-2 \ nu)} {2 (1- \ nu)}}}$