norma ideal - Ideal norm

Em álgebra comutativa , a norma de um ideal é uma generalização de uma norma de um elemento no campo extensão. É particularmente importante na teoria dos números, uma vez que mede o tamanho de um ideal de uma complicada anel número em termos de um ideal em um anel menos complicado. Quando o anel número menos complicado é tomado como sendo o anel de números inteiros , Z , em seguida, a norma de um ideal diferente de zero que de um anel número R é simplesmente o tamanho do finito anel quociente P / I .

norma relativa

Deixe Um ser um domínio Dedekind com campo de fracções de K e fecho integral de B em um finito extensão separável L de K . (isto implica que B é também um domínio Dedekind.) Deixa e ser os grupos ideais de A e B , respectivamente (isto é, os conjuntos de não nulos ideais fraccionais .) Seguindo a técnica desenvolvida por Jean-Pierre Serre o, mapa norma${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {A}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {B}}$

${\ Displaystyle N_ {B / A} \ cólon {\ mathcal {I}} _ {B} \ a {\ mathcal {I}} _ {A}}$

é o homomorfismo único grupo que satisfaz

${\ Displaystyle N_ {B / A} ({\ mathfrak {q}}) = {\ mathfrak {p}} ^ {[B / {\ mathfrak {q}}: A / {\ mathfrak {p}}]} }$

para todos os ideais primos diferentes de zero de B , onde é o ideal nobre de A deitado abaixo . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {q}} \ tampão A}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$

Alternativamente, para qualquer um pode equivalentemente definir a ser o ideal fraccionada de uma gerado pelo conjunto de normas de campo de elementos de B .${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} \ in {\ mathcal {I}} _ {B}}$${\ Displaystyle N_ {B / A} ({\ mathfrak {b}})}$${\ Displaystyle \ {N_ {L / K} (x) | x \ in {\ mathfrak {b}} \}}$

Para , a pessoa tem , onde . A norma ideal de um ideal principal é, portanto, compatível com a norma campo de um elemento:${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ in {\ mathcal {I}} _ {A}}$${\ Displaystyle N_ {B / A} ({\ mathfrak {a}} B) = {\ mathfrak {a}} ^ {n}}$${\ Displaystyle n = [L: K]}$${\ Displaystyle N_ {B / A} (xB) = N_ {L / K} (x) Um.}$

Vamos ser uma extensão de Galois de campos de número com anel de inteiros . Então o anterior aplica-se com , e para qualquer temos ${\ Displaystyle L / K}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} \ subconjunto {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle A = {\ mathcal {O}} _ {K}, B = {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} \ em {\ mathcal {I}} _ {{\ mathcal {O}} _ {L}}}$

${\ Displaystyle N _ {{\ mathcal {O}} _ {G} / {\ mathcal {O}} _ {K}} ({\ mathfrak {b}}) = {\ mathcal {O}} _ {K} \ tampão \ prod _ {\ sigma \ no \ operatorname {Gl} (L / K)} \ sigma ({\ mathfrak {b}}),}$

que é um elemento de . A notação é por vezes abreviado para , um abuso de notação , que é compatível com a também escrever para a norma campo, como descrito acima. ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {{\ mathcal {O}} _ {K}}}$${\ Displaystyle N _ {{\ mathcal {O}} _ {G} / {\ mathcal {O}} _ {K}}}$${\ Displaystyle N_ {L / K}}$${\ Displaystyle N_ {L / K}}$

No caso , é razoável usar números racionais positivos como a gama de desde tem trivial grupo ideal classe e grupo da unidade , assim que cada ideal fraccionada diferente de zero de é gerado por um número racional positivo unicamente determinada. Através desta convenção a norma relativa a partir de baixo para coincide com a norma absoluta definida abaixo. ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle N _ {{\ mathcal {O}} _ {G} / \ mathbb {Z}} \,}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ {\ pm 1 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q}}$

norma absoluta

Vamos ser um campo de número com anel de inteiros , e um ideal diferente de zero (integral) da . A norma absoluta de é ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$

${\ Displaystyle N ({\ mathfrak {a}}): = \ esquerda [{\ mathcal {O}} _ {G}: {\ mathfrak {a}} \ direita] = \ esquerda | {\ mathcal {O} } _ {L} / {\ mathfrak {a}} \ right |. \,}$

Por convenção, a norma do ideal de zero é considerado como sendo zero.

Se é um ideal principal, então .${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = (a)}$${\ Displaystyle N ({\ mathfrak {a}}) = \ left | N_ {L / \ mathbb {Q}} (a) \ right |}$

A norma é completamente multiplicativa : se e são ideais de , então . Assim, a norma absoluta estende-se exclusivamente a um grupo homomorphism ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$${\ Displaystyle N ({\ mathfrak {a}} \ cdot {\ mathfrak {b}}) = N ({\ mathfrak {a}}) N ({\ mathfrak {b}})}$

${\ Displaystyle N \ cólon {\ mathcal {I}} _ {{\ mathcal {O}} _ {L}} \ a \ mathbb {Q} {_> 0} ^ {\ vezes},}$

definido para todos os ideais fracionários diferentes de zero de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$

A norma de um ideal pode ser usado para dar um limite superior sobre a norma campo do elemento diferente de zero menor contém: existe sempre um diferente de zero para o qual ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ Displaystyle a \ in {\ mathfrak {a}}}$

${\ Displaystyle \ left | N_ {L / \ mathbb {Q}} (a) \ right | \ leq \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {s} {\ sqrt {\ deixou | \ Delta _ {L} \ right |}} N ({\ mathfrak {a}}),}$

onde é o discriminante de e é o número de pares de (não-real) embeddings complexos de L em (o número de lugares complexos de L ).${\ Displaystyle \ Delta _ {L}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Veja também

• norma campo
• função zeta de Dedekind

Referências