Hahn – Exton q -função de Bessel -Hahn–Exton q-Bessel function

Em matemática, a função Hahn-Exton q -Bessel ou a terceira função Jackson q -Bessel é um q- analógico da função Bessel e satisfaz a equação de diferença Hahn-Exton q (Swarttouw ( 1992 )). Esta função foi introduzida por Hahn  ( 1953 ) em um caso especial e por Exton  ( 1983 ) em geral.

A função Hahn-Exton q -Bessel é dada por

${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q) = {\ frac {x ^ {\ nu} (q ^ {\ nu +1}; q) _ {\ infty}} {( q; q) _ {\ infty}}} \ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {k} q ^ {k (k + 1) / 2} x ^ {2k}} {(q ^ {\ nu +1}; q) _ {k} (q; q) _ {k}}} = {\ frac {(q ^ {\ nu +1}; q) _ {\ infty} } {(q; q) _ {\ infty}}} x ^ {\ nu} {} _ {1} \ phi _ {1} (0; q ^ {\ nu +1}; q, qx ^ {2 }).}$

${\ displaystyle \ phi}$é a função hipergeométrica básica .

Propriedades

Zeros

Koelink e Swarttouw provaram que possui um número infinito de zeros reais. Eles também provaram que para todas as raízes diferentes de zero de são reais (Koelink e Swarttouw ( 1994 )). Para mais detalhes, ver Abreu, Bustoz & Cardoso (2003) e Annaby & Mansour (2009) . Zeros da função Hahn-Exton q -Bessel aparecem em um análogo discreto do problema de Daniel Bernoulli sobre as vibrações livres de uma cadeia carregada ( Hahn (1953) , Exton (1983) ) ${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q)}$${\ displaystyle \ nu> -1}$${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q)}$erro harvtxt: sem destino: CITEREFAnnabyMansour2009 ( ajuda )

Derivados

Para a derivada (usual) e a derivada q de , consulte Koelink e Swarttouw ( 1994 ). A derivada q simétrica de é descrita em Cardoso ( 2016 ). ${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q)}$${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q)}$

Relação de recorrência

A função Hahn-Exton q -Bessel tem a seguinte relação de recorrência (ver Swarttouw ( 1992 )):

${\ displaystyle J _ {\ nu +1} ^ {(3)} (x; q) = \ left ({\ frac {1-q ^ {\ nu}} {x}} + x \ right) J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q) -J _ {\ nu -1} ^ {(3)} (x; q).}$

Representações Alternativas

Representação Integral

A função Hahn-Exton q -Bessel tem a seguinte representação integral (ver Ismail e Zhang ( 2016 )):

${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (z; q) = {\ frac {z ^ {\ nu}} {\ sqrt {\ pi \ log q ^ {- 2}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {x ^ {2}} {\ log q ^ {2}}} \ right)} {(q, -q ^ {\ nu +1/2} e ^ {ix}, - q ^ {1/2} z ^ {2} e ^ {ix}; q) _ {\ infty}}} \, dx.}$

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}; q) _ {\ infty}: = (a_ {1}; q) _ {\ infty} (a_ {2}; q) _ {\ infty} \ cdots (a_ {n}; q) _ {\ infty}.}$

Para uma representação integral de contorno, consulte Prellberg (1995) . erro harvtxt: sem alvo: CITEREFPrellberg1995 ( ajuda )

Representação Hipergeométrica

A função Hahn-Exton q -Bessel tem a seguinte representação hipergeométrica (ver Daalhuis ( 1994 )):

${\ displaystyle J _ {\ nu} ^ {(3)} (x; q) = x ^ {\ nu} {\ frac {(x ^ {2} q; q) _ {\ infty}} {(q; q) _ {\ infty}}} \ _ {1} \ phi _ {1} (0; x ^ {2} q; q, q ^ {\ nu +1}).}$

Isso converge rapidamente em . É também uma expansão assintótica para . ${\ displaystyle x \ to \ infty}$${\ displaystyle \ nu \ to \ infty}$

Referências

• Exton, Harold (1983), q - funções e aplicações hipergeométricas , Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-491-7, MR  0708496
• Hahn, Wolfgang (1953), "Die mechanische Deutung einer geometrischen Differenzengleichung", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (em alemão), 33 (8-9): 270-272, Bibcode : 1953ZaMM ... 33..270H , doi : 10.1002 / zamm.19530330811 , ISSN  0044-2267 , Zbl  0051.15502
• Swarttouw, René F. (1992), "Um teorema de adição e algumas fórmulas de produto para as funções Hahn-Exton q -Bessel", Canadian Journal of Mathematics , 44 (4): 867-879, doi : 10.4153 / CJM-1992- 052-6 , ISSN  0008-414X , MR  1178574
• Koelink, HT; Swarttouw, René F. (1994), "On the zeros of the Hahn-Exton q -Bessel function and associated q -Lommel polynomials", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 186 (3): 690-710, arXiv : math / 9703215 , Bibcode : 1997math ...... 3215K , doi : 10.1006 / jmaa.1994.1327 , S2CID  14382540
• Ismail, MEH; Zhang, R. (2018), "Integral and Series Representations of q -Polynomials and Functions: Part I", Analysis and Applications , 16 (2): 209–281, arXiv : 1604.08441 , doi : 10.1142 / S0219530517500129 , S2CID  119142457
• Daalhuis, ABO (1994), "Asymptotic Expansions for q -Gamma, q -Exponential, and q -Bessel functions." , Journal of Mathematical Analysis and Applications , 186 (3): 896-913, doi : 10.1006 / jmaa.1994.1339
• Swarttouw, René F. (1992), "The Hahn-Exton q -Bessel function" , Tese de PhD , Delft Technical University
• Abreu, LD; Bustoz, J .; Cardoso, JL (2003), "The Roots of the Third Jackson q -Bessel Function.", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences , 2003 (67): 4241–4248, doi : 10.1155 / S016117120320613X
• Cardoso, JL (2016), "A Few Properties of the Third Jackson q -Bessel Function.", Analysis Mathematica , 42 (4): 323–337, doi : 10.1007 / s10476-016-0402-8 , S2CID  126278001