Estrutura Haefliger - Haefliger structure

Em matemática, uma estrutura Haefliger em um espaço topológico é uma generalização de uma foliação de uma variedade, introduzida por André Haefliger  ( 1970 , 1971 ). Qualquer foliação em uma variedade induz uma estrutura Haefliger, que determina exclusivamente a foliação.

Definição

Uma estrutura Haefliger em um espaço X é determinada por um cociclo Haefliger . Um cociclo de codimensão - q Haefliger consiste em uma cobertura de X por conjuntos abertos U _α , juntamente com mapas contínuos Ψ _αβ de U _α ∩ U _β para o feixe de germes de difeomorfismos locais de , satisfazendo a condição de 1-cociclo ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$

${\ displaystyle \ displaystyle \ Psi _ {\ gamma \ alpha} (u) = \ Psi _ {\ gamma \ beta} (u) \ Psi _ {\ beta \ alpha} (u)}$ para ${\ displaystyle u \ in U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} \ cap U _ {\ gamma}.}$

Mais geralmente, as estruturas C ^r , PL, analíticas e Haefliger contínuas são definidas pela substituição de feixes de germes de difeomorfismos lisos pelos feixes apropriados.

Estrutura Haefliger e folheações

Uma codimensão- q foliação pode ser especificada por uma cobertura de X por conjuntos abertos U _α , juntamente com uma submersão φ _α de cada conjunto aberto U _α a , de modo que para cada α, β haja um mapa Φ _αβ de U _α ∩ U _β para difeomorfismos locais com ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$

${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} (v) = \ Phi _ {\ alpha, \ beta} (u) (\ phi _ {\ beta} (v))}$

sempre que v estiver próximo o suficiente de u . O cociclo Haefliger é definido por

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha, \ beta} (u) =}$germe de em u .${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha, \ beta} (u)}$

Uma vantagem das estruturas Haefliger sobre as folheações é que elas são fechadas sob retrocessos. Se f é um mapa contínuo de X para Y, então pode-se retirar as folheações em Y, desde que f seja transversal à foliação, mas se f não for transversal, a retração pode ser uma estrutura de Haefliger que não seja uma foliação.

Classificando espaço

Duas estruturas Haefliger em X são chamadas de concordantes se forem as restrições das estruturas Haefliger em X × [0,1] a X × 0 e X × 1.

Se f é um mapa contínua de X para Y , então há uma retirada sob f de estruturas HAEFLIGER em Y para estruturas HAEFLIGER em X .

Há um espaço de classificação para estruturas codimensionais - q Haefliger que possui uma estrutura Haefliger universal no seguinte sentido. Para qualquer espaço topológico X e mapa de contínuo a partir de X para a retirada da estrutura universal Haefliger é uma estrutura Haefliger em X . Para espaços topológicos bem comportados X isso induz uma correspondência 1: 1 entre classes de homotopia de mapas de X a e classes de concordância de estruturas de Haefliger. ${\ displaystyle B \ Gamma _ {q}}$${\ displaystyle B \ Gamma _ {q}}$${\ displaystyle B \ Gamma _ {q}}$

Referências

• Anosov, DV (2001) [1994], "Haefliger structure" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Haefliger, André (1970). "Feuilletages sur les variétés ouvertes" . Topologia . 9 : 183–194. doi : 10.1016 / 0040-9383 (70) 90040-6 . ISSN  0040-9383 . MR  0263104 .
• Haefliger, André (1971). “Homotopia e integrabilidade”. Manifolds - Amsterdam 1970 (Proc. Nuffic Summer School) . Lecture Notes in Mathematics, vol. 197. 197 . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . pp. 133–163. doi : 10.1007 / BFb0068615 . MR  0285027 .