Forma polar Gorman - Gorman polar form

A forma polar de Gorman é uma forma funcional para funções de utilidade indireta na economia .

Motivação

A teoria do consumidor padrão é desenvolvida para um único consumidor. O consumidor tem uma função de utilidade, a partir da qual suas curvas de demanda podem ser calculadas. Assim, é possível prever o comportamento do consumidor em determinadas condições, variações de preço ou renda. Mas, na realidade, existem muitos consumidores diferentes, cada um com sua própria função de utilidade e curva de demanda. Como podemos usar a teoria do consumidor para prever o comportamento de uma sociedade inteira? Uma opção é representar uma sociedade inteira como um único "mega consumidor", que possui uma função de utilidade agregada e uma curva de demanda agregada. Mas em que casos é realmente possível representar uma sociedade inteira como um único consumidor?

Formalmente: considere uma economia com consumidores, cada um dos quais tem uma função de demanda que depende de sua renda e do sistema de preços: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m ^ {i}}$

${\ displaystyle x ^ {i} (p, m ^ {i})}$

A demanda agregada da sociedade é, em geral, função do sistema de preços e de toda a distribuição das rendas:

${\ displaystyle X (p, m ^ {1}, \ dots, m ^ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x ^ {i} (p, m ^ {i}) }}$

Para representar toda a sociedade como um único consumidor, a demanda agregada deve ser função apenas dos preços e da renda total , independentemente de sua distribuição:

${\ displaystyle X (p, m ^ {1}, \ dots, m ^ {n}) = X (p, \ sum _ {i = 1} ^ {n} {m ^ {i}})}$

Em que condições é possível representar a demanda agregada dessa forma?

Os primeiros resultados de Antonelli (1886) e Nataf (1953) mostraram que, supondo que todos os indivíduos enfrentam os mesmos preços em um mercado, suas curvas de consumo de renda e suas curvas de Engel (gasto em função da renda) deveriam ser retas paralelas. Isso significa que podemos calcular uma curva de renda-consumo de uma sociedade inteira apenas somando as curvas dos consumidores. Em outras palavras, suponha que toda a sociedade receba uma determinada renda. Essa renda é de alguma forma distribuída entre os membros da sociedade, então cada membro seleciona seu consumo de acordo com sua curva de renda-consumo. Se as curvas forem todas retas paralelas, a demanda agregada da sociedade será independente da distribuição de renda entre os agentes .

A forma de Gorman da função dispêndio

O primeiro artigo publicado de Gorman em 1953 desenvolveu essas idéias a fim de responder à questão de representar uma sociedade por um único indivíduo. Em 1961, Gorman publicou um pequeno artigo de quatro páginas na Metroeconomica que derivou uma expressão explícita para a forma funcional das preferências que dão origem às curvas lineares de Engel. A função de gasto de cada consumidor (a quantidade de dinheiro necessária para atingir um certo nível de utilidade em um determinado sistema de preços) deve ser linear em utilidade: ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle e ^ {i} \ left (p, u ^ {i} \ right) = f ^ {i} (p) + g (p) \ cdot u ^ {i}}$ ,

onde ambos e são homogêneos de grau um em preços ( , um vetor). Esta condição de homogeneidade garante que dá curvas de Engel linear. ${\ displaystyle f ^ {i} \ left (p \ right)}$${\ displaystyle g \ left (p \ right)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle e ^ {i} \ left (p, u \ right)}$

${\ displaystyle f ^ {i} \ left (p \ right)}$ e tenham boas interpretações: é o gasto necessário para atingir um nível de utilidade de referência de zero para cada indivíduo ( ), enquanto é o índice de preços que esvazia o excesso de receita em dinheiro necessário para atingir um nível de utilidade . É importante observar que é igual para todos os indivíduos em uma sociedade, portanto, as curvas de Engel para todos os consumidores são paralelas. ${\ displaystyle g \ left (p \ right)}$${\ displaystyle f ^ {i} \ left (p \ right)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle g \ left (p \ right)}$${\ displaystyle e ^ {i} \ left (p, u \ right) -f ^ {i} (p)}$${\ displaystyle {\ bar {u}}}$${\ displaystyle g \ left (p \ right)}$

A forma de Gorman da função de utilidade indireta

Inverter esta fórmula dá a função de utilidade indireta (utilidade em função do preço e renda):

${\ displaystyle v ^ {i} \ left (p, m ^ {i} \ right) = {\ frac {m ^ {i} -f ^ {i} (p)} {g (p)}}}$ ,

onde é o valor da renda disponível para o indivíduo e equivale ao gasto ( ) na equação anterior. Isso é o que Gorman chamou de "a forma polar da função de utilidade subjacente". O uso do termo polar por Gorman referia-se à ideia de que a função de utilidade indireta pode ser vista como usando coordenadas polares em vez de cartesianas (como nas funções de utilidade direta) para descrever a curva de indiferença. Aqui, renda ( ) é análogo ao raio e preços ( ) a um ângulo. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle e ^ {i} \ left (p, u ^ {i} \ right)}$${\ displaystyle m ^ {i}}$${\ displaystyle p}$

Exemplos

Dois tipos de preferências que possuem a forma polar Gorman são:

Utilitários quasilineares

Quando a função de utilidade do agente tem a forma: ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle u_ {i} (x, m) = u_ {i} (x) + m}$

a função de utilidade indireta tem (assumindo uma solução interior) a forma:

${\ displaystyle v_ {i} (p, m) = v_ {i} (p) + m}$

que é um caso especial do formulário Gorman.

Na verdade, a função de demanda marshalliana para o bem não linear de consumidores com utilidades quase-lineares não depende de forma alguma da receita (neste caso quase-linear, a demanda para o bem linear é linear na receita):

${\ displaystyle x_ {i} (p, m) = (- dv (p) / dm) / (v (p) / dp_ {i}) = - 1 / (dv (p) / dp_ {i}) = (v_ {i} ') ^ {- 1} (p) = v_ {i}' (p) ^ {- 1}}$

Portanto, a função de demanda agregada para o bem não linear também não depende da renda:

${\ displaystyle X (p, M) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {(v_ {i} ') ^ {- 1} (p)}}$

Toda a sociedade pode ser representada por um único agente representativo com função de utilidade quase-linear:

${\ displaystyle U (x, m) = U (x) + m}$

onde a função satisfaz a igualdade: ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle (U ') ^ {- 1} (p) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {(v_ {i}') ^ {- 1} (p)}}$

No caso especial em que todos os agentes têm a mesma função de utilidade , a função de utilidade agregada é: ${\ displaystyle u (x, m) = u (x) + m}$

${\ displaystyle U (x, M) = n \ cdot u ({x \ over n}) + M}$

Preferências homotéticas

A função de utilidade indireta tem a forma:

${\ displaystyle v (p, m_ {i}) = v (p) \ cdot m}$

que também é um caso especial da forma Gorman.

Particularmente: linear, utilitários Leontief e Cobb-Douglas são homotéticos e, portanto, têm a forma Gorman.

Prova de linearidade e igualdade de inclinação das curvas de Engel

Para provar que as curvas de Engel de uma função na forma polar de Gorman são lineares , aplique a identidade de Roy à função de utilidade indireta para obter uma função de demanda marshalliana para um indivíduo ( ) e um bem ( ): ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle x_ {n} ^ {i} (p, m ^ {i}) = - {\ frac {\ frac {\ parcial v ^ {i} (p, m ^ {i})} {\ parcial p_ {n}}} {\ frac {\ parcial v ^ {i} (p, m ^ {i})} {\ parcial m ^ {i}}}} = {\ frac {\ parcial f ^ {i} ( p)} {\ parcial p_ {n}}} + {\ frac {\ parcial g (p)} {\ parcial p_ {n}}} \ cdot {\ frac {mf ^ {i} (p)} {g (p)}}}$

Isso é linear em renda ( ), de modo que a mudança na demanda de um indivíduo por alguma mercadoria em relação a uma mudança na renda desse indivíduo,, não depende da renda e, portanto, as curvas de Engel são lineares. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial x_ {n} ^ {i} (p, m ^ {i})} {\ partial m}} = {\ frac {\ frac {\ partial g (p)} {\ parcial p_ {n}}} {g (p)}}}$

Além disso, como essa mudança não depende de variáveis específicas de qualquer indivíduo, as inclinações das curvas de Engel de diferentes indivíduos são iguais.

Aplicativo

Muitas aplicações da forma polar de Gorman estão resumidas em vários textos e no artigo de Honohan e Neary. Essas aplicações incluem a facilidade de estimativa de e em certos casos. Mas a aplicação mais importante é para o teórico da economia, na medida em que permite ao pesquisador tratar uma sociedade de indivíduos que maximizam a utilidade como um único indivíduo. Em outras palavras, sob essas condições, um mapeamento de indiferença da comunidade tem a garantia de existir. ${\ displaystyle f ^ {i} (p)}$${\ displaystyle g (p)}$

Veja também

• Demanda agregada
• Agente representativo

Referências

• Antonelli, GB (1886). Sulla Teoria Matematica dell'Economia Politica . Pisa. Tradução para o inglês em Chipman, JS; Hurwicz, L .; Richter, MK; et al., eds. (1971). Preferências, utilidade e demanda: um simpósio de Minnesota . Nova York: Harcourt Brace Jovanovich. pp. 333–360.
• Gorman, WM (1961). "Em uma classe de campos de preferência". Metroeconomica . 13 (2): 53–56. doi : 10.1111 / j.1467-999X.1961.tb00819.x .
• Nataf, A. (1953). "Sur des questions d'agrégation en économétrie". Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris . 2, Fasc. Vol. 4: 5-61.