Pêndulo Furuta - Furuta pendulum

Pêndulo Invertido Rotacional: Exemplo pedagógico clássico de aplicação da teoria de controle

O pêndulo Furuta , ou pêndulo invertido rotacional, consiste em um braço acionado que gira no plano horizontal e um pêndulo preso a esse braço que é livre para girar no plano vertical. Foi inventado em 1992 no Instituto de Tecnologia de Tóquio por Katsuhisa Furuta e seus colegas. É um exemplo de um oscilador não linear complexo de interesse na teoria do sistema de controle . O pêndulo está subactuado e extremamente não linear devido às forças gravitacionais e ao acoplamento decorrente de Coriolis e forças centrípetas . Desde então, dezenas, possivelmente centenas de artigos e teses usaram o sistema para demonstrar leis de controle lineares e não lineares. O sistema também foi objeto de dois textos.

Equações de movimento

Apesar da grande atenção que o sistema tem recebido, muito poucas publicações derivam (ou usam) a dinâmica completa com sucesso. Muitos autores consideraram a inércia rotacional do pêndulo apenas para um único eixo principal (ou a negligenciaram completamente). Em outras palavras, o tensor de inércia possui apenas um único elemento diferente de zero (ou nenhum), e os dois termos diagonais restantes são zero. É possível encontrar um sistema de pêndulo onde o momento de inércia em um dos três eixos principais é aproximadamente zero, mas não dois.

Alguns autores consideraram pêndulos simétricos delgados onde os momentos de inércia para dois dos eixos principais são iguais e o momento de inércia restante é zero. Das dezenas de publicações pesquisadas para este wiki, apenas um único artigo de conferência e jornal foi encontrado para incluir todos os três principais termos inerciais do pêndulo. Ambos os artigos usaram uma formulação Lagrangiana, mas cada um continha pequenos erros (presumivelmente tipográficos).

As equações de movimento apresentadas aqui são um extrato de um artigo sobre a dinâmica do pêndulo Furuta derivado da Universidade de Adelaide .

Definições

Fig. 1: Esquema do sistema de pêndulo invertido rotativo único.

Considere o pêndulo invertido rotacional montado em um motor CC, conforme mostrado na Fig. 1. O motor CC é usado para aplicar um torque ao braço 1. O elo entre o braço 1 e o braço 2 não é acionado, mas livre para girar. Os dois braços têm comprimentos e . Os braços têm massas e que estão localizados em e , respectivamente, que são os comprimentos do ponto de rotação do braço até seu centro de massa. Os braços têm tensores de inércia e (em torno do centro de massa dos braços, respectivamente). Cada junta de rotação é viscamente amortecida com coeficientes de amortecimento e , onde está o amortecimento fornecido pelos rolamentos do motor e é o amortecimento decorrente do acoplamento do pino entre o Braço 1 e o Braço 2. ${\ displaystyle \ tau _ {1}}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle l_ {1}}$${\ displaystyle l_ {2}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} _ {2}}$${\ displaystyle b_ {1}}$${\ displaystyle b_ {2}}$${\ displaystyle b_ {1}}$${\ displaystyle b_ {2}}$

Um sistema de coordenadas à direita foi usado para definir as entradas, estados e os sistemas de coordenadas cartesianas 1 e 2. Os eixos de coordenadas do braço 1 e braço 2 são os eixos principais, de modo que os tensores de inércia são diagonais.

A rotação angular do braço 1,, é medida no plano horizontal onde uma direção anti-horária (quando vista de cima) é positiva. A rotação angular do braço 2,, é medida no plano vertical onde uma direção anti-horária (quando vista de frente) é positiva. Quando o braço está pendurado na posição de equilíbrio estável . ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta _ {2} = 0}$

O torque que o servo-motor aplica ao braço 1,, é positivo no sentido anti-horário (quando visto de cima). Um torque de perturbação,, é experimentado pelo Braço 2, onde uma direção anti-horária (quando vista de frente) é positiva. ${\ displaystyle \ tau _ {1}}$${\ displaystyle \ tau _ {2}}$

Suposições

Antes de derivar a dinâmica do sistema, várias suposições devem ser feitas. Estes são:

• O eixo do motor e o braço 1 são considerados rigidamente acoplados e infinitamente rígidos.
• O braço 2 é considerado infinitamente rígido.
• Os eixos coordenados de Arm1 e Arm 2 são os eixos principais, de modo que os tensores de inércia são diagonais.
• A inércia do rotor do motor é considerada desprezível. No entanto, este termo pode ser facilmente adicionado ao momento de inércia do Braço 1.
• Apenas o amortecimento viscoso é considerado. Todas as outras formas de amortecimento (como Coulomb) foram negligenciadas; no entanto, é um exercício simples adicioná-lo à DE que rege final.

Equações não lineares de movimento

As equações não lineares de movimento são dadas por

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {1} \ left (J_ {1zz} + m_ {1} l_ {1} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} ^ {2} + ( J_ {2yy} + m_ {2} l_ {2} ^ {2}) \ sin ^ {2} (\ theta _ {2}) + J_ {2xx} \ cos ^ {2} (\ theta _ {2} ) \ right) + {\ ddot {\ theta}} _ {2} m_ {2} L_ {1} l_ {2} \ cos (\ theta _ {2}) - m_ {2} L_ {1} l_ { 2} \ sin (\ theta _ {2}) {\ dot {\ theta}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {\ theta}} _ {1} {\ dot {\ theta}} _ {2} \ sin (2 \ theta _ {2}) (m_ {2} l_ {2} ^ {2} + J_ {2yy} -J_ {2xx}) + b_ {1} {\ ponto {\ theta} } _ {1} = \ tau _ {1}}$

e

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {1} m_ {2} L_ {1} l_ {2} \ cos (\ theta _ {2}) + {\ ddot {\ theta}} _ {2} (m_ {2} l_ {2} ^ {2} + J_ {2zz}) + 1/2 {\ ponto {\ theta}} _ {1} ^ {2} \ sin (2 \ theta _ {2}) (-m_ {2} l_ {2} ^ {2} -J_ {2yy} + J_ {2xx}) + b_ {2} {\ dot {\ theta}} _ {2} + gm_ {2} l_ {2 } \ sin (\ theta _ {2}) = \ tau _ {2}}$

Simplificações

A maioria dos pêndulos Furuta tende a ter braços longos e delgados, de forma que o momento de inércia ao longo do eixo dos braços é desprezível. Além disso, a maioria dos braços tem simetria rotacional de forma que os momentos de inércia em dois dos eixos principais são iguais. Assim, os tensores de inércia podem ser aproximados da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} _ {1} = diag [J_ {1xx}, J_ {1yy}, J_ {1zz}] = diag [0, J_ {1}, J_ {1}]}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} _ {2} = diag [J_ {2xx}, J_ {2yy}, J_ {2zz}] = diag [0, J_ {2}, J_ {2}]}$

Outras simplificações são obtidas fazendo as seguintes substituições. O momento de inércia total do braço 1 em torno do ponto de pivô (usando o teorema do eixo paralelo) é . O momento total de inércia do Braço 2 em relação ao seu ponto de pivô é . Finalmente, defina o momento total de inércia que o rotor do motor experimenta quando o pêndulo (Braço 2) está em sua posição de equilíbrio (pendurado verticalmente para baixo) ,. ${\ displaystyle {\ hat {J_ {1}}} = J_ {1} + m_ {1} l_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {J_ {2}}} = J_ {2} + m_ {2} l_ {2} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {J_ {0}}} = {\ hat {J}} _ {1} + m_ {2} L_ {1} ^ {2} = J_ {1} + m_ {1} l_ { 1} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} ^ {2}}$

Substituir as definições anteriores nos DEs que regem dá a forma mais compacta

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {1} \ left ({\ hat {J_ {0}}} + {\ hat {J_ {2}}} \ sin ^ {2} (\ theta _ { 2}) \ right) + {\ ddot {\ theta}} _ {2} m_ {2} L_ {1} l_ {2} \ cos (\ theta _ {2}) - m_ {2} L_ {1} l_ {2} \ sin (\ theta _ {2}) {\ dot {\ theta}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {\ theta}} _ {1} {\ dot {\ theta} } _ {2} \ sin (2 \ theta _ {2}) {\ hat {J_ {2}}} + b_ {1} {\ ponto {\ theta}} _ {1} = \ tau _ {1} }$

e

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {1} m_ {2} L_ {1} l_ {2} \ cos (\ theta _ {2}) + {\ ddot {\ theta}} _ {2} {\ hat {J_ {2}}} - 1/2 {\ dot {\ theta}} _ {1} ^ {2} \ sin (2 \ theta _ {2}) {\ hat {J_ {2}} } + b_ {2} {\ ponto {\ theta}} _ {2} + gm_ {2} l_ {2} \ sin (\ theta _ {2}) = \ tau _ {2}}$

Veja também

• Pêndulo invertido
• Pêndulo duplo invertido
• Pêndulo da roda de inércia
• Monociclo com equilíbrio automático

Referências

Leitura adicional

• Na Dinâmica do Pêndulo de Furuta
• O Pêndulo de Furuta: Um Modelo Não Linear Conservador para Teoria e Prática

links externos

• A Universidade de Adelaide
• Universidade de Toronto
• Universidade Estadual de Ohio
• Exemplo de pêndulo giratório invertido