Poço de potencial finito - Finite potential well

O poço de potencial finito (também conhecido como poço quadrado finito ) é um conceito da mecânica quântica . É uma extensão do poço de potencial infinito , no qual uma partícula está confinada a uma "caixa", mas que possui "paredes" de potencial finito . Ao contrário do poço de potencial infinito, existe uma probabilidade associada à partícula ser encontrada fora da caixa. A interpretação da mecânica quântica é diferente da interpretação clássica, onde se a energia total da partícula for menor que a barreira de energia potencial das paredes, ela não pode ser encontrada fora da caixa. Na interpretação quântica, há uma probabilidade diferente de zero da partícula estar fora da caixa, mesmo quando a energia da partícula é menor do que a barreira de energia potencial das paredes (cf tunelamento quântico ).

Partícula em uma caixa unidimensional

Para o caso unidimensional no eixo x , a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita como:

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} + V (x) \ psi = E \ psi \ quad (1)}$

Onde

${\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}}$,

${\ displaystyle h \,}$é a constante de Planck ,

${\ displaystyle m \,}$é a massa da partícula,

${\ displaystyle \ psi \,}$é a função de onda (com valor complexo) que queremos encontrar,

${\ displaystyle V \ left (x \ right) \,}$é uma função que descreve a energia potencial em cada ponto x , e

${\ displaystyle E \,}$é a energia , um número real, às vezes chamado de eigenenergia.

Para o caso da partícula em uma caixa unidimensional de comprimento L , o potencial está fora da caixa e zero para x entre e . A função de onda é considerada composta de diferentes funções de onda em diferentes faixas de x , dependendo se x está dentro ou fora da caixa. Portanto, a função de onda é definida como: ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle -L / 2}$${\ displaystyle L / 2}$

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {cases} \ psi _ {1}, & {\ mbox {if}} x <-L / 2 {\ mbox {(a região fora da caixa)}} \\\ psi _ {2}, & {\ mbox {if}} - L / 2 <x <L / 2 {\ mbox {(a região dentro da caixa)}} \\\ psi _ {3}, & {\ mbox { if}} x> L / 2 {\ mbox {(a região fora da caixa)}} \ end {cases}}}$

Dentro da caixa

Para a região dentro da caixa V ( x ) = 0 e a Equação 1 se reduz a

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi _ {2}} {dx ^ {2}}} = E \ psi _ {2 }.}$

De locação

${\ displaystyle k = {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}},}$

a equação se torna

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ psi _ {2}} {dx ^ {2}}} = - k ^ {2} \ psi _ {2}.}$

Este é um problema de equação diferencial e autovalor bem estudado com uma solução geral de

${\ displaystyle \ psi _ {2} = A \ sin (kx) + B \ cos (kx) \ quad.}$

Portanto,

${\ displaystyle E = {\ frac {k ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2m}}.}$

Aqui, A e B podem ser quaisquer números complexos , e k pode ser qualquer número real.

Fora da caixa

Para a região fora da caixa, uma vez que o potencial é constante, V ( x ) = e a equação 1 torna-se: ${\ displaystyle V_ {0}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi _ {1}} {dx ^ {2}}} = (E-V_ {0 }) \ psi _ {1}}$

Existem duas famílias de soluções possíveis, dependendo se E é menor que (a partícula está ligada ao potencial) ou E é maior que (a partícula está livre). ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$

Para uma partícula livre, E > , e deixando ${\ displaystyle V_ {0}}$

${\ displaystyle k '= {\ frac {\ sqrt {2m (E-V_ {0})}} {\ hbar}}}$

produz

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ psi _ {1}} {dx ^ {2}}} = - k '^ {2} \ psi _ {1}}$

com a mesma forma de solução da caixa do poço interno:

${\ displaystyle \ psi _ {1} = C \ sin (k'x) + D \ cos (k'x) \ quad}$

Esta análise incidirá sobre o estado ligado, onde > E . De locação ${\ displaystyle V_ {0}}$

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ sqrt {2m (V_ {0} -E)}} {\ hbar}}}$

produz

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ psi _ {1}} {dx ^ {2}}} = \ alpha ^ {2} \ psi _ {1}}$

onde a solução geral é exponencial:

${\ displaystyle \ psi _ {1} = Fe ^ {- \ alpha x} + Ge ^ {\ alpha x} \, \!}$

Da mesma forma, para a outra região fora da caixa:

${\ displaystyle \ psi _ {3} = He ^ {- \ alpha x} + Ie ^ {\ alpha x} \, \!}$

Agora, para encontrar a solução específica para o problema em questão, devemos especificar as condições de contorno apropriadas e encontrar os valores para A , B , F , G , H e I que satisfaçam essas condições.

Encontrar funções de onda para o estado vinculado

As soluções para a equação de Schrödinger devem ser contínuas e continuamente diferenciáveis. Esses requisitos são condições de contorno nas equações diferenciais derivadas anteriormente, ou seja, as condições de casamento entre as soluções dentro e fora do poço.

Nesse caso, o poço de potencial finito é simétrico, de modo que a simetria pode ser explorada para reduzir os cálculos necessários.

Resumindo as seções anteriores:

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {cases} \ psi _ {1}, & {\ mbox {if}} x <-L / 2 {\ mbox {(a região fora da caixa)}} \\\ psi _ {2}, & {\ mbox {if}} - L / 2 <x <L / 2 {\ mbox {(a região dentro da caixa)}} \\\ psi _ {3} & {\ mbox {if }} x> L / 2 {\ mbox {(a região fora da caixa)}} \ end {cases}}}$

onde encontramos e seremos: ${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \, \!}$${\ displaystyle \ psi _ {3} \, \!}$

${\ displaystyle \ psi _ {1} = Fe ^ {- \ alpha x} + Ge ^ {\ alpha x} \, \!}$

${\ displaystyle \ psi _ {2} = A \ sin (kx) + B \ cos (kx) \ quad}$

${\ displaystyle \ psi _ {3} = He ^ {- \ alpha x} + Ie ^ {\ alpha x} \, \!}$

Vemos que à medida que vai , o termo vai para o infinito. Da mesma forma, conforme vai , o termo vai para o infinito. Para que a função de onda seja quadrada integrável, devemos definir , e temos: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle F = I = 0}$

${\ displaystyle \ psi _ {1} = Ge ^ {\ alpha x} \, \!}$

e

${\ displaystyle \ psi _ {3} = He ^ {- \ alpha x} \, \!}$

Em seguida, sabemos que a função geral deve ser contínua e diferenciável. Em outras palavras, os valores das funções e seus derivados devem coincidir nos pontos de divisão: ${\ displaystyle \ psi \, \!}$

${\ displaystyle \ psi _ {1} (- L / 2) = \ psi _ {2} (- L / 2) \, \!}$		${\ displaystyle \ psi _ {2} (L / 2) = \ psi _ {3} (L / 2) \, \!}$
${\ displaystyle {\ frac {d \ psi _ {1}} {dx}} (- L / 2) = {\ frac {d \ psi _ {2}} {dx}} (- L / 2) \, \!}$		${\ displaystyle {\ frac {d \ psi _ {2}} {dx}} (L / 2) = {\ frac {d \ psi _ {3}} {dx}} (L / 2) \, \! }$

Essas equações têm dois tipos de soluções, simétricas, para as quais e , e antissimétricas, para as quais e . Para o caso simétrico, obtemos ${\ displaystyle A = 0}$${\ displaystyle G = H}$${\ displaystyle B = 0}$${\ displaystyle G = -H}$

${\ displaystyle He ^ {- \ alpha L / 2} = B \ cos (kL / 2)}$

${\ displaystyle - \ alpha He ^ {- \ alpha L / 2} = - kB \ sin (kL / 2)}$

então tomar a proporção dá

${\ displaystyle \ alpha = k \ tan (kL / 2)}$.

Da mesma forma, para o caso anti-simétrico, obtemos

${\ displaystyle \ alpha = -k \ cot (kL / 2)}$.

Lembre-se de que ambos e dependem da energia. O que descobrimos é que as condições de continuidade não podem ser satisfeitas para um valor arbitrário da energia; porque isso é resultado da caixa de poço potencial infinito. Assim, apenas certos valores de energia, que são soluções para uma ou qualquer uma dessas duas equações, são permitidos. Conseqüentemente, descobrimos que os níveis de energia do sistema abaixo são discretos; as autofunções correspondentes são estados vinculados . (Em contraste, os níveis de energia acima são contínuos.) ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$

As equações de energia não podem ser resolvidas analiticamente. No entanto, veremos que no caso simétrico, sempre existe pelo menos um estado ligado, mesmo se o poço for muito raso. Soluções gráficas ou numéricas para as equações de energia são ajudadas reescrevendo-as um pouco. Se introduzirmos as variáveis ​​adimensionais e , e observarmos a partir das definições de e que , onde , as equações mestras leem ${\ displaystyle u = \ alpha L / 2}$${\ displaystyle v = kL / 2}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle u ^ {2} = u_ {0} ^ {2} -v ^ {2}}$${\ displaystyle u_ {0} ^ {2} = mL ^ {2} V_ {0} / 2 \ hbar ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {u_ {0} ^ {2} -v ^ {2}}} = {\ begin {cases} v \ tan v, & {\ mbox {(simétrico case)}} \\ - v \ cot v, & {\ mbox {(caso anti-simétrico)}} \ end {casos}}}$

No gráfico à direita, pois , existem soluções onde o semicírculo azul intercepta as curvas roxas ou cinza ( e ). Cada curva roxa ou cinza representa uma solução possível, dentro do intervalo . O número total de soluções, (ou seja, o número de curvas roxas / cinza que são interceptadas pelo círculo azul) é, portanto, determinado dividindo o raio do círculo azul , pelo intervalo de cada solução e usando o piso ou teto funções: ${\ displaystyle u_ {0} ^ {2} = 20}$${\ displaystyle v \ tan v}$${\ displaystyle -v \ cot v}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} (i-1) \ leq v_ {i} <{\ frac {\ pi} {2}} i}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle \ pi / 2}$

${\ displaystyle N = \ left \ lfloor {\ frac {2u_ {0}} {\ pi}} \ right \ rfloor + 1 = \ left \ lceil {\ frac {2u_ {0}} {\ pi}} \ right \ rceil}$

Neste caso, existem exatamente três soluções, pois . ${\ displaystyle N = \ lfloor 2 {\ sqrt {20}} / \ pi \ rfloor + 1 = \ lfloor 2,85 \ rfloor + 1 = 2 + 1 = 3}$

${\ displaystyle v_ {1} = 1,28, v_ {2} = 2,54}$e , com as energias correspondentes ${\ displaystyle v_ {3} = 3,73}$

${\ displaystyle E_ {n} = {2 \ hbar ^ {2} v_ {n} ^ {2} \ em mL ^ {2}}}$.

Se quisermos, podemos voltar e encontrar os valores das constantes nas equações agora (também precisamos impor a condição de normalização). À direita, mostramos os níveis de energia e funções de onda neste caso (onde ): ${\ displaystyle A, B, G, H}$${\ displaystyle x_ {0} \ equiv \ hbar / {\ sqrt {2mV_ {0}}}}$

Notamos que, por menor que seja (por mais raso ou estreito que seja o poço), sempre há pelo menos um estado limitado. ${\ displaystyle u_ {0}}$

Dois casos especiais são dignos de nota. À medida que a altura do potencial se torna grande ,, o raio do semicírculo fica maior e as raízes se aproximam cada vez mais dos valores , e recuperamos bem o caso do quadrado infinito . ${\ displaystyle V_ {0} \ to \ infty}$${\ displaystyle v_ {n} = n \ pi / 2}$

O outro caso é de um poço muito estreito e profundo - especificamente o caso e com fixo. Como ele tenderá a zero, haverá apenas um estado vinculado. A solução aproximada é então , e a energia tende a . Mas esta é apenas a energia do estado limitado de um potencial de força da função Delta , como deveria ser. ${\ displaystyle V_ {0} \ to \ infty}$${\ displaystyle L \ a 0}$${\ displaystyle V_ {0} L}$${\ displaystyle u_ {0} \ propto V_ {0} L ^ {2}}$${\ displaystyle v ^ {2} = u_ {0} ^ {2} -u_ {0} ^ {4}}$${\ displaystyle E = -mL ^ {2} V_ {0} ^ {2} / 2 \ hbar ^ {2}}$${\ displaystyle V_ {0} L}$

Estados não consolidados

Se resolvermos a equação de Schrödinger independente do tempo para uma energia , as soluções serão oscilatórias dentro e fora do poço. Assim, a solução nunca é quadrada integrável; ou seja, é sempre um estado não normalizável. Isso não significa, entretanto, que seja impossível para uma partícula quântica ter uma energia maior do que , apenas significa que o sistema tem espectro contínuo acima . Os autoestados não normalizáveis ​​são próximos o suficiente para serem integráveis ​​ao quadrado para que ainda contribuam para o espectro do hamiltoniano como um operador ilimitado. ${\ displaystyle E> V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$

Poço assimétrico

Considere um potencial assimétrico unidimensional bem dado pelo potencial

${\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} V_ {1}, & {\ mbox {if}} - \ infty <x <0 {\ mbox {(a região fora da caixa)}} \\ 0 , & {\ mbox {if}} 0 <x <a {\ mbox {(a região dentro da caixa)}} \\ V_ {2} & {\ mbox {if}} a <x <\ infty {\ mbox {(a região fora da caixa)}} \ end {cases}}}$

com . A solução correspondente para a função de onda com é encontrada para ser ${\ displaystyle V_ {2}> V_ {1}}$${\ displaystyle E <V_ {1}}$

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ begin {cases} c_ {1} e ^ {k_ {1} x}, & {\ mbox {for}} x <0, {\ mbox {where}} k_ { 1} = {\ sqrt {(2m / \ hbar ^ {2}) (V_ {1} -E)}} \\ c \ sin (kx + \ delta), & {\ mbox {para}} 0 <x < a, {\ mbox {onde}} k = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}} \\ c_ {2} e ^ {- k_ {2} x}, & {\ mbox {para}} x> a, {\ mbox {onde}} k_ {2} = {\ sqrt {(2m / \ hbar ^ {2}) (V_ {2} -E)}} \ end {casos}}}$

e

${\ displaystyle \ sin \ delta = {\ frac {k \ hbar} {\ sqrt {2mV_ {1}}}}.}$

Os níveis de energia são determinados uma vez que é resolvido como uma raiz da seguinte equação transcendental ${\ displaystyle E = k ^ {2} \ hbar ^ {2} / (2m)}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle ka = n \ pi - \ sin ^ {- 1} \ left [k \ hbar / {\ sqrt {2mV_ {1}}} \ right] - \ sin ^ {- 1} \ left [k \ hbar / {\ sqrt {2mV_ {2}}} \ direita]}$

onde a existência da raiz para a equação acima nem sempre é garantida, por exemplo, sempre se pode encontrar um valor de tão pequeno, que para dados valores de e , não existe nível de energia discreto. Os resultados do poço simétrico são obtidos a partir da equação acima por configuração . ${\ displaystyle n = 1,2,3, \ dots}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$${\ displaystyle V_ {1} = V_ {2} = V_ {o}}$

Cavidade esférica

Os resultados acima podem ser usados ​​para mostrar que, ao contrário do caso unidimensional, nem sempre existe um estado ligado em uma cavidade esférica.

O estado fundamental (n = 1) de um potencial esfericamente simétrico sempre terá momento angular orbital zero (l = n-1), e a função de onda reduzida satisfaz a equação ${\ displaystyle U (r) \ equiv r \ psi (r)}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {d ^ {2} U \ over dr ^ {2}} + V (r) U (r) = EU (r)}$

Isso é idêntico à equação unidimensional, exceto para as condições de contorno. Como antes, e sua primeira derivada deve ser contínua na borda do poço . No entanto, há outra condição, que deve ser finita, e que exige . ${\ displaystyle U (r)}$${\ displaystyle r = R}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle U (0) = 0}$

Por comparação com as soluções acima, podemos ver que apenas as antissimétricas possuem nós na origem. Assim, apenas as soluções para são permitidas. Elas correspondem à interseção do semicírculo com as curvas cinza e, portanto, se a cavidade for muito rasa ou pequena, não haverá um estado limitado. ${\ displaystyle \ alpha = -k \ cot (kR)}$

Veja também

• Poço potencial
• Potencial de função delta
• Poço de potencial infinito
• Potencial de semicírculo também
• Tunelamento quântico

Referências

Leitura adicional

• Griffiths, David J. (2005). Introdução à Mecânica Quântica (2ª ed.). Prentice-Hall . ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer.