Modelo Fermi – Ulam - Fermi–Ulam model

O modelo Fermi – Ulam (FUM) é um sistema dinâmico que foi introduzido pelo matemático polonês Stanislaw Ulam em 1961.

FUM é uma variante do trabalho primário de Enrico Fermi sobre a aceleração dos raios cósmicos , nomeadamente a aceleração de Fermi . O sistema consiste em uma partícula que colide elasticamente entre uma parede fixa e outra móvel, cada uma de massa infinita. As paredes representam os espelhos magnéticos com os quais as partículas cósmicas colidem.

AJ Lichtenberg e MA Lieberman forneceram uma versão simplificada do FUM (SFUM) que deriva da superfície da seção de Poincaré e escreve ${\ displaystyle x = const.}$

${\ displaystyle u_ {n + 1} = | u_ {n} + U _ {\ mathrm {parede}} (\ varphi _ {n}) |}$

${\ displaystyle \ varphi _ {n + 1} = \ varphi _ {n} + {\ frac {kM} {u_ {n + 1}}} {\ pmod {k}},}$

onde é a velocidade da partícula após a -ésima colisão com a parede fixa, é a fase correspondente da parede móvel, é a lei da velocidade da parede móvel e é o parâmetro de estocasticidade do sistema. ${\ displaystyle u_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ varphi _ {n}}$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {wall}}}$${\ displaystyle M}$

Se a lei da velocidade da parede móvel é diferenciável o suficiente, de acordo com o teorema KAM, curvas invariantes no espaço de fase existem. Essas curvas invariantes agem como barreiras que não permitem que uma partícula acelere ainda mais e a velocidade média de uma população de partículas satura após iterações finitas do mapa. Por exemplo, para a lei da velocidade sinusoidal da parede móvel, tais curvas existem, ao passo que não existem para a lei da velocidade dente de serra que é descontínua. Consequentemente, no primeiro caso as partículas não podem acelerar infinitamente, ao contrário do que acontece no último. ${\ displaystyle (\ varphi, u)}$

Com o passar dos anos, o FUM se tornou um modelo de protótipo para estudar dinâmica não linear e mapeamentos acoplados .

A solução rigorosa do problema de Fermi-Ulam (a velocidade e a energia da partícula são limitadas) foi dada primeiro por LD Pustyl'nikov em (veja também e suas referências).

Apesar desses resultados negativos, se considerarmos o modelo de Fermi-Ulam no arcabouço da teoria da relatividade especial , então, sob algumas condições gerais, a energia da partícula tende ao infinito para um conjunto aberto de dados iniciais.

Generalização 2D

Embora o modelo 1D Fermi-Ulam não leve à aceleração para oscilações suaves, o crescimento ilimitado da energia foi observado no bilhar 2D com limites oscilantes. A taxa de crescimento da energia no bilhar caótico é considerada muito maior do que nos bilhar que são integráveis no limite estático.

Bilhar fortemente caótico com limite oscilante pode servir como um paradigma para sistemas caóticos dirigidos. Na arena experimental, este tópico surge na teoria do atrito nuclear e, mais recentemente, nos estudos de átomos frios que ficam presos em bilhar óptico . O acionamento induz a difusão de energia e, conseqüentemente, o coeficiente de absorção é determinado pela fórmula de Kubo.

Referências

links externos

• Regular and Chaotic Dynamics : Um livro científico amplamente conhecido que trata do FUM, escrito por AJ Lichtenberg e MA Lieberman ( Appl. Math. Sci. Vol 38) (New York: Springer ).