Superfície Fano - Fano surface

Na geometria algébrica, uma superfície Fano é uma superfície de tipo geral (em particular, não uma variedade Fano ) cujos pontos indexam as linhas em uma cúbica tripla não singular . Eles foram estudados pela primeira vez por Fano  ( 1904 ).

Diamante Hodge:

As superfícies de Fano são talvez os exemplos mais simples e mais estudados de superfícies irregulares de tipo geral que não estão relacionadas a um produto de duas curvas e não são uma interseção completa de divisores em uma variedade Abeliana.

A superfície S de Fano de uma cúbica lisa tripla F em P ⁴ carrega muitas propriedades geométricas notáveis. A superfície S está naturalmente embutida na grassmanniana das linhas G (2,5) de P ⁴ . Seja U a restrição para S do pacote universal de classificação 2 em G. Temos o:

Teorema do feixe tangente ( Fano , Clemens - Griffiths , Tyurin): O feixe tangente de S é isomorfo a U.

Este é um resultado bastante interessante porque, a priori, não deveria haver nenhuma ligação entre esses dois pacotes. Possui muitos aplicativos poderosos. Por exemplo, pode-se recuperar o fato de que o espaço cotangente de S é gerado por seções globais. Este espaço de formas 1 globais pode ser identificado com o espaço de seções globais do feixe de linha tautológica O (1) restrito ao F cúbico e, além disso:

Teorema do tipo de Torelli: Seja g 'o morfismo natural de S para o grassmanniano G (2,5) definido pelo feixe cotangente de S gerado por seu espaço 5-dimensional de seções globais. Seja F 'a união das retas correspondentes a g' (S). O triplo F 'é isomórfico a F.

Assim, conhecendo uma superfície S de Fano, podemos recuperar o triplo F. Pelo teorema do feixe tangente, também podemos compreender geometricamente os invariantes de S:

a) Lembre-se de que o segundo número de Chern de um pacote vetorial de classificação 2 em uma superfície é o número de zeros de uma seção genérica. Para uma superfície Fano S, uma forma 1 w define também uma seção de hiperplano {w = 0} em P ⁴ do F cúbico. Os zeros do w genérico em S correspondem bijetivamente ao número de linhas na interseção da superfície cúbica lisa de {w = 0} e F, portanto, recuperamos que a segunda classe de Chern de S é igual a 27.

b) Sejam w ₁ , w ₂ duas formas 1 em S. O divisor canônico K em S associado à forma canônica w ₁ ∧ w ₂ parametriza as retas em F que cortam o plano P = { w ₁ = w ₂ = 0} em P ⁴ . Usando w ₁ e w _{2 de} forma que a interseção de P e F é a união de 3 retas, pode-se recuperar o fato de que K ² = 45. Vamos dar alguns detalhes desse cálculo: Por um ponto genérico do F cúbico chega a 6 linhas. Seja s um ponto de S e seja L _s a linha correspondente na cúbica F. Seja C _s o divisor em S linhas de parametrização que cortam a linha L _s . A autointerseção de C _s é igual ao número de interseção de C _s e C _t para um ponto genérico. A intersecção de C _s e C _t é o conjunto de linhas em F que corta as linhas disjuntas L _s e L _t . Considere a extensão linear de L _s e L _t  : é um hiperplano em P ⁴ que corta F em uma superfície cúbica lisa. Por resultados bem conhecidos em uma superfície cúbica, o número de linhas que cortam duas linhas disjuntas é 5, portanto, obtemos ( C _s ) ² = C _s C _t = 5. Como K é numericamente equivalente a 3 C _s , obtemos K ² = 45.

c) O mapa composto natural: S -> G (2,5) -> P ⁹ é o mapa canônico de S. É um embedding.

Veja também

• Teoria de Hodge

Referências

• Bombieri, Enrico ; Swinnerton-Dyer, HPF (1967), "On the local zeta function of a cubic threefold" , Ann. Scuola Norm. E aí. Pisa (3) , 21 : 1-29, MR   0212019
• Clemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), "The intermediário Jacobian of the cubic threefold", Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281-356, CiteSeerX   10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307 / 1970801 , ISSN   0003 -486X , JSTOR   1970801 , MR   0302652
• Fano, G. (1904), "Sul sisteme ∞ ² di rette contenuto in une varietà cubica generale dello spacio a quattro dimensioni", Atti R. Accad. Sci. Torino , 39 : 778-792
• Kulikov, Vik.S. (2001) [1994], "Fano surface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Murre, JP (1972), "Algebraic equivalence modulo racional equivalence on a cubic threefold" , Compositio Mathematica , 25 : 161-206, ISSN   0010-437X , MR   0352088