Constante de Euler - Euler's constant

Constante de Euler

A área da região azul converge para a constante de Euler
Representações
Decimal	0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 ...
Fração contínua (linear)	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...] Desconhecido se periódico Desconhecido se finito
Binário	0,1001 0011 1100 0100 0110 0111 1110 0011 0111 1101 ...
Hexadecimal	0,93C4 67E3 7DB0 C7A4 D1BE 3F81 0152 CB56 A1CE CC3A ...

A constante de Euler (às vezes também chamada de constante de Euler-Mascheroni ) é uma constante matemática que ocorre na análise e na teoria dos números , geralmente denotada pela letra grega minúscula gama ( γ ).

É definido como a diferença limite entre a série harmônica e o logaritmo natural , denotado aqui por${\ displaystyle \ log:}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- \ log n + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k }} \ right) \\ [5px] & = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (- {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {\ lfloor x \ rfloor }} \ right) \, dx. \ end {alinhado}}}$

Aqui, representa a função de chão . ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

O valor numérico da constante de Euler, com 50 casas decimais, é:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

História

A constante apareceu pela primeira vez em um artigo de 1734 do matemático suíço Leonhard Euler , intitulado De Progressionibus harmonicis Noticees (Eneström Index 43). Euler usou as notações C e O para a constante. Em 1790, o matemático italiano Lorenzo Mascheroni usou as notações A e a para a constante. A notação γ não aparece em nenhum lugar dos escritos de Euler ou Mascheroni, e foi escolhida posteriormente, talvez por causa da conexão da constante com a função gama . Por exemplo, o matemático alemão Carl Anton Bretschneider usou a notação γ em 1835 e Augustus De Morgan a usou em um livro publicado em partes de 1836 a 1842.

Aparências

A constante de Euler aparece, entre outros lugares, no seguinte (onde '*' significa que esta entrada contém uma equação explícita):

• Expressões envolvendo a integral exponencial *
• A transformada de Laplace * do logaritmo natural
• O primeiro termo da expansão da série de Laurent para a função zeta de Riemann *, onde é a primeira das constantes de Stieltjes *
• Cálculos da função digamma
• Uma fórmula de produto para a função gama
• A expansão assintótica da função gama para pequenos argumentos.
• Uma desigualdade para a função totiente de Euler
• A taxa de crescimento da função divisora
• Na regularização dimensional dos diagramas de Feynman na teoria quântica de campos
• O cálculo da constante de Meissel-Mertens
• O terceiro teorema de Mertens *
• Solução de segundo tipo para a equação de Bessel
• Na regularização / renormalização da série harmônica como um valor finito
• A média da distribuição de Gumbel
• A entropia de informação das distribuições Weibull e Lévy e, implicitamente, da distribuição qui-quadrada para um ou dois graus de liberdade.
• A resposta para o problema do coletor de cupons *
• Em algumas formulações da lei de Zipf
• Uma definição da integral de cosseno *
• Limites inferiores para uma lacuna principal
• Um limite superior na entropia de Shannon na teoria da informação quântica

Propriedades

O número γ não foi comprovado como algébrico ou transcendental . Na verdade, nem mesmo se sabe se γ é irracional . Usando uma análise de fração contínua , Papanikolaou mostrou em 1997 que se γ for racional , seu denominador deve ser maior que 10 ²⁴⁴⁶⁶³ . A ubiqüidade de γ revelada pelo grande número de equações abaixo torna a irracionalidade de γ uma das principais questões em aberto na matemática.

No entanto, algum progresso foi feito. Kurt Mahler mostrou em 1968 que o número é transcendental (aqui, e são funções de Bessel ). Em 2009, Alexander Aptekarev provou que pelo menos uma das constantes de Euler γ e a constante de Euler-Gompertz δ são irracionais. Esse resultado foi aprimorado em 2012 por Tanguy Rivoal, que provou que pelo menos um deles é transcendental. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {Y_ {0} (2)} {J_ {0} (2)}} - \ gamma}$${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$

Em 2010, M. Ram Murty e N. Saradha considerou uma lista infinita de números contendo γ/4e mostrou que todos, exceto no máximo um deles, são transcendentais. Em 2013, M. Ram Murty e A. Zaytseva consideraram novamente uma lista infinita de números contendo γ e mostraram que todos, exceto um, são transcendentais.

Relação com a função gama

γ está relacionado à função digamma Ψ e, portanto, à derivada da função gama Γ , quando ambas as funções são avaliadas em 1. Assim:

${\ displaystyle - \ gamma = \ Gamma '(1) = \ Psi (1).}$

Isso é igual aos limites:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} - \ gamma & = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Gamma (z) - {\ frac {1} {z}} \ right) \\ & = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Psi (z) + {\ frac {1} {z}} \ right). \ end {alinhado}}}$

Outros resultados de limite são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac {1} {\ Gamma (1 + z)}} - {\ frac {1} {\ Gamma (1-z)}} \ right) & = 2 \ gamma \\\ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac { 1} {\ Psi (1-z)}} - {\ frac {1} {\ Psi (1 + z)}} \ right) & = {\ frac {\ pi ^ {2}} {3 \ gamma ^ {2}}}. \ End {alinhado}}}$

Um limite relacionado à função beta (expresso em termos de funções gama ) é

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ Gamma (n + 1) \, n ^ {1 + {\ frac {1} {n}}}} {\ Gamma \ left (2 + n + {\ frac {1} {n}} \ right)}} - { \ frac {n ^ {2}} {n + 1}} \ right) \\ & = \ lim \ limits _ {m \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} {m \ escolher k} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \ log {\ big (} \ Gamma (k + 1) {\ big)}. \ end {alinhado}}}$

Relação com a função zeta

γ também pode ser expresso como uma soma infinita cujos termos envolvem a função zeta de Riemann avaliada em inteiros positivos:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ zeta (m)} {m}} \\ & = \ log {\ frac {4} {\ pi}} + \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ zeta (m)} {2 ^ {m-1} m}}. \ end {alinhado}}}$

Outras séries relacionadas à função zeta incluem:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = {\ tfrac {3} {2}} - \ log 2- \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} \ , {\ frac {m-1} {m}} {\ big (} \ zeta (m) -1 {\ big)} \\ & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2n-1} {2n}} - \ log n + \ sum _ {k = 2} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {\ zeta (1-k) } {n ^ {k}}} \ right) \ right) \\ & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2 ^ {n}} {e ^ {2 ^ {n }}}} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {mn}} {(m + 1)!}} \ sum _ {t = 0} ^ {m} {\ frac {1} {t + 1}} - n \ log 2 + O \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n} \, e ^ {2 ^ {n}}}} \ right) \ right ). \ end {alinhado}}}$

O termo de erro na última equação é uma função decrescente rapidamente de n . Como resultado, a fórmula é adequada para o cálculo eficiente da constante com alta precisão.

Outros limites interessantes que igualam a constante de Euler são o limite anti-simétrico:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {s ^ {n}}} \ right) \\ & = \ lim _ {s \ to 1} \ left (\ zeta (s) - {\ frac { 1} {s-1}} \ right) \\ & = \ lim _ {s \ to 0} {\ frac {\ zeta (1 + s) + \ zeta (1-s)} {2}} \ end {alinhado}}}$

e a seguinte fórmula, estabelecida em 1898 por de la Vallée-Poussin :

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left \ lceil {\ frac {n} {k}} \ right \ rceil - {\ frac {n} {k}} \ right)}$

onde estão os suportes de teto . Esta fórmula indica que ao tomar qualquer número inteiro positivo n e dividi-lo por cada número inteiro positivo k menor que n, a fração média pela qual o quociente n / k fica aquém do próximo inteiro tende a (em vez de 0,5) como n tende a infinito . ${\ displaystyle \ lceil \, \ rceil}$${\ displaystyle \ gamma}$

Intimamente relacionado a isso está a expressão racional da série zeta . Tomando separadamente os primeiros termos da série acima, obtém-se uma estimativa para o limite da série clássica:

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ log n- \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac { \ zeta (m, n + 1)} {m}},}$

onde ζ ( s , k ) é a função zeta de Hurwitz . A soma nesta equação envolve os números harmônicos , H _n . Expandir alguns dos termos na função Hurwitz zeta dá:

${\ displaystyle H_ {n} = \ log (n) + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - {\ frac {1} {12n ^ {2}}} + {\ frac {1} { 120n ^ {4}}} - \ varepsilon,}$

onde 0 < ε <1/252 n ⁶.

γ também pode ser expresso da seguinte forma, onde A é a constante de Glaisher-Kinkelin :

${\ displaystyle \ gamma = 12 \, \ log (A) - \ log (2 \ pi) + {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} \, \ zeta '(2)}$

γ também pode ser expresso da seguinte forma, o que pode ser comprovado pela expressão da função zeta como uma série de Laurent :

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ biggl (} -n + \ zeta {\ Bigl (} {\ frac {n + 1} {n}} {\ Bigr)} {\ biggr )}}$

Integrais

γ é igual ao valor de uma série de integrais definidos :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = - \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ log x \, dx \\ & = - \ int _ {0} ^ { 1} \ log \ left (\ log {\ frac {1} {x}} \ right) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {e ^ {x} -1}} - {\ frac {1} {x \ cdot e ^ {x}}} \ right) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac { 1} {\ log x}} + {\ frac {1} {1-x}} \ right) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} { 1 + x ^ {k}}} - e ^ {- x} \ right) {\ frac {dx} {x}}, \ quad k> 0 \\ & = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty } {\ frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} \, dx, \\ & = \ int _ {0} ^ {1} H_ {x} \ , dx, \ end {alinhado}}}$

onde H _x é o número harmônico fracionário .

A terceira fórmula na lista integral pode ser provada da seguinte maneira:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ exp (x) -1}} - {\ frac {1} {x \ exp (x)}} \ mathrm {d } x = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (-x) + x-1} {x [\ exp (x) -1]}} \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x [\ exp (x) -1]}} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1} x ^ {m + 1}} {(m + 1)!}} \ mathrm {d} x =}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1} x ^ {m}} {( m + 1)! [\ exp (x) -1]}} \ mathrm {d} x = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1} x ^ {m}} {(m + 1)! [\ Exp (x) -1]}} \ mathrm {d} x = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {(m + 1)!}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {m}} {\ exp (x) -1}} \ mathrm {d} x =}$

${\ displaystyle = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {(m + 1)!}} m! \ zeta (m + 1) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m + 1}} \ zeta (m + 1) = \ sum _ {m = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m + 1}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ { m + 1}}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m +1}} {\ frac {1} {n ^ {m + 1}}} =}$

${\ displaystyle = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m + 1}} {m + 1} } {\ frac {1} {n ^ {m + 1}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ bigl [} {\ frac {1} {n}} - \ ln { \ bigl (} 1 + {\ frac {1} {n}} {\ bigr)} {\ bigr]} = \ gamma}$

A integral na segunda linha da equação representa o valor da função Debye de + infinito, que é m! Ζ (m + 1).

Integrais definidos em que γ aparece incluem:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ log x \, dx & = - {\ frac {(\ gamma +2 \ log 2 ) {\ sqrt {\ pi}}} {4}} \\\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ log ^ {2} x \, dx & = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}. \ end {alinhado}}}$

Pode-se expressar γ usando um caso especial da fórmula de Hadjicostas como uma integral dupla com séries equivalentes:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-xy) \ log xy }} \, dx \, dy \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ log {\ frac {n + 1} { n}} \ direita). \ end {alinhado}}}$

Uma comparação interessante por Sondow é a dupla integral e série alternada

${\ displaystyle {\ begin {align} \ log {\ frac {4} {\ pi}} & = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x- 1} {(1 + xy) \ log xy}} \, dx \, dy \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ((- 1) ^ {n-1} \ esquerda ({\ frac {1} {n}} - \ log {\ frac {n + 1} {n}} \ direita) \ direita). \ end {alinhado}}}$

Mostra aquele log4/π pode ser considerada uma "constante de Euler alternada".

As duas constantes também estão relacionadas pelo par de séries

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n +1)}} \\\ log {\ frac {4} {\ pi}} & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) -N_ {0 } (n)} {2n (2n + 1)}}, \ end {alinhado}}}$

onde N ₁ ( n ) e N ₀ ( n ) são o número de 1s e 0s, respectivamente, na expansão de base 2 de n .

Temos também o catalão integral de 1875

${\ displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x ^ {2 ^ { n} -1} \ right) \, dx.}$

Expansões de série

Em geral,

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3} } + \ ldots + {\ frac {1} {n}} - \ log (n + \ alpha) \ right) \ equiv \ lim _ {n \ to \ infty} \ gamma _ {n} (\ alpha)}$

para qualquer . No entanto, a taxa de convergência desta expansão depende significativamente . Em particular, exibe uma convergência muito mais rápida do que a expansão convencional . Isto é porque ${\ displaystyle \ alpha> -n}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma _ {n} (1/2)}$${\ displaystyle \ gamma _ {n} (0)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 (n + 1)}} <\ gamma _ {n} (0) - \ gamma <{\ frac {1} {2n}},}$

enquanto

${\ displaystyle {\ frac {1} {24 (n + 1) ^ {2}}} <\ gamma _ {n} (1/2) - \ gamma <{\ frac {1} {24n ^ {2} }}.}$

Mesmo assim, existem outras expansões em série que convergem mais rapidamente do que esta; Alguns destes são discutidos abaixo.

Euler mostrou que a seguinte série infinita se aproxima de γ :

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} - \ log \ left (1 + {\ frac {1} {k}} \certo, certo).}$

A série para γ é equivalente a uma série Nielsen encontrada em 1897:

${\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} { k + 1}}.}$

Em 1910, Vacca encontrou a série intimamente relacionada

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ direita \ rfloor} {k}} \\ [5pt] & = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {3}} + 2 \ left ({\ tfrac {1} {4} } - {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {6}} - {\ tfrac {1} {7}} \ right) +3 \ left ({\ tfrac {1} {8 }} - {\ tfrac {1} {9}} + {\ tfrac {1} {10}} - {\ tfrac {1} {11}} + \ cdots - {\ tfrac {1} {15}} \ direita) + \ cdots, \ end {alinhado}}}$

onde log ₂ é o logaritmo da base 2 e ⌊ ⌋ é a função de base .

Em 1926 ele encontrou uma segunda série:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma + \ zeta (2) & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {\ left \ lfloor {\ sqrt { k}} \ right \ rfloor ^ {2}}} - {\ frac {1} {k}} \ right) \\ [5pt] & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {k- \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}} {k \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}}} \\ [5pt ] & = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {2 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {3 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 3 ^ {2}}} + \ cdots \ end {alinhado}}}$

Da expansão Malmsten - Kummer para o logaritmo da função gama, obtemos:

${\ displaystyle \ gamma = \ log \ pi -4 \ log \ left (\ Gamma ({\ tfrac {3} {4}}) \ right) + {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ { k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {\ log (2k + 1)} {2k + 1}}.}$

Uma expansão importante para a constante de Euler se deve a Fontana e Mascheroni

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| G_ {n} |} {n}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac { 1} {24}} + {\ frac {1} {72}} + {\ frac {19} {2880}} + {\ frac {3} {800}} + \ cdots,}$

onde G _n são coeficientes de Gregory Esta série é o caso especial das expansões ${\ displaystyle k = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma & = H_ {k-1} - \ log k + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(n-1)! | G_ {n } |} {k (k + 1) \ cdots (k + n-1)}} && \\ & = H_ {k-1} - \ log k + {\ frac {1} {2k}} + {\ frac {1} {12k (k + 1)}} + {\ frac {1} {12k (k + 1) (k + 2)}} + {\ frac {19} {120k (k + 1) (k + 2) (k + 3)}} + \ cdots && \ end {alinhado}}}$

convergente para ${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots}$

Uma série semelhante com os números de Cauchy do segundo tipo C _n é

${\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {n}} {n \, (n + 1)!}} = 1 - {\ frac {1 } {4}} - {\ frac {5} {72}} - {\ frac {1} {32}} - {\ frac {251} {14400}} - {\ frac {19} {1728}} - \ ldots}$

Blagouchine (2018) encontrou uma generalização interessante da série Fontana-Mascheroni

${\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {2n}} {\ Big \ {} \ psi _ {n} (a) + \ psi _ {n} {\ Big (} - {\ frac {a} {1 + a}} {\ Big)} {\ Big \}}, \ quad a> -1}$

onde ψ _n ( a ) são os polinômios de Bernoulli do segundo tipo , que são definidos pela função geradora

${\ displaystyle {\ frac {z (1 + z) ^ {s}} {\ log (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} \ psi _ {n} (s), \ qquad | z | <1,}$

Para qualquer racional a esta série contém termos racionais apenas. Por exemplo, em a = 1 , torna-se

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {3} {4}} - {\ frac {11} {96}} - {\ frac {1} {72}} - {\ frac {311} {46080}} - {\ frac {5} {1152}} - {\ frac {7291} {2322432}} - {\ frac {243} {100352}} - \ ldots}$

Outras séries com os mesmos polinômios incluem estes exemplos:

${\ displaystyle \ gamma = - \ log (a + 1) - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n} (a)} {n}}, \ qquad \ Re (a)> - 1}$

e

${\ displaystyle \ gamma = - {\ frac {2} {1 + 2a}} \ left \ {\ log \ Gamma (a + 1) - {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi) + {\ frac {1} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a)} { n}} \ right \}, \ qquad \ Re (a)> - 1}$

onde Γ ( a ) é a função gama .

Uma série relacionada ao algoritmo Akiyama-Tanigawa é

${\ displaystyle \ gamma = \ log (2 \ pi) -2-2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} G_ {n} (2)} {n}} = \ log (2 \ pi) -2 + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {24}} + {\ frac {7} {540}} + {\ frac {17} {2880}} + {\ frac {41} {12600}} + \ ldots}$

onde G _n (2) são os coeficientes de Gregory de segunda ordem.

Série de números primos :

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ log n- \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ log p} {p-1}} \ right). }$

Expansões assintóticas

γ é igual às seguintes fórmulas assimptóticas (onde H _n é o n th número harmónica ):

${\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ log n - {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1} {12n ^ {2}}} - {\ frac {1} {120n ^ {4}}} + \ cdots}$( Euler )

${\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ log \ left ({n + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {24n}} - {\ frac {1} {48n ^ {3}}} + \ cdots} \ right)}$( Negoi )

${\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - {\ frac {\ log n + \ log (n + 1)} {2}} - {\ frac {1} {6n (n + 1)}} + {\ frac {1} {30n ^ {2} (n + 1) ^ {2}}} - \ cdots}$( Cesàro )

A terceira fórmula também é chamada de expansão de Ramanujan .

Alabdulmohsin derivou expressões de forma fechada para as somas de erros dessas aproximações. Ele mostrou que (Teorema A.1):

Exponencial

A constante e ^γ é importante na teoria dos números. Alguns autores denotam essa quantidade simplesmente como γ ′ . e ^γ é igual ao seguinte limite , onde p _n é o n º número primo :

${\ displaystyle e ^ {\ gamma} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ log p_ {n}}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {p_ {i}} {p_ {i} -1}}.}$

Isso reafirma o terceiro teorema de Mertens . O valor numérico de e ^γ é:

1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

Outros produtos infinitos relacionados a e ^γ incluem:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {e ^ {1 + {\ frac {\ gamma} {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi}}} & = \ prod _ {n = 1 } ^ {\ infty} e ^ {- 1 + {\ frac {1} {2n}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} \\ {\ frac {e ^ {3 + 2 \ gamma}} {2 \ pi}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- 2 + {\ frac {2} {n}}} \ esquerda (1 + {\ frac {2} {n}} \ direita) ^ {n}. \ end {alinhado}}}$

Esses produtos resultam da função G de Barnes .

Além disso,

${\ displaystyle e ^ {\ gamma} = {\ sqrt {\ frac {2} {1}}} \ cdot {\ sqrt [{3}] {\ frac {2 ^ {2}} {1 \ cdot 3} }} \ cdot {\ sqrt [{4}] {\ frac {2 ^ {3} \ cdot 4} {1 \ cdot 3 ^ {3}}}} \ cdot {\ sqrt [{5}] {\ frac {2 ^ {4} \ cdot 4 ^ {4}} {1 \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5}}} \ cdots}$

onde o n th fator é a ( n + 1) th raiz

${\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n \ escolha k}}.}$

Este produto infinito, descoberto pela primeira vez por Ser em 1926, foi redescoberto por Sondow usando funções hipergeométricas .

Ele também sustenta que

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ frac {\ pi} {2}} + e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}}} {\ pi e ^ {\ gamma}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- {\ frac {1} {n}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {2n ^ {2}}} \ direita) \ direita).}$

Fração contínua

A expansão contínua da fração de γ começa [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] , que não tem padrão aparente . A fração contínua é conhecida por ter pelo menos 475.006 termos e infinitamente muitos termos se e somente se γ for irracional.

Generalizações

As constantes generalizadas de Euler são dadas por

${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {\ alpha}} } - \ int _ {1} ^ {n} {\ frac {1} {x ^ {\ alpha}}} \, dx \ right),}$

para 0 < α <1 , com γ como o caso especial α = 1 . Isso pode ser generalizado para

${\ displaystyle c_ {f} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) - \ int _ {1} ^ {n} f ( x) \, dx \ right)}$

para alguma função decrescente arbitrária f . Por exemplo,

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {(\ log x) ^ {n}} {x}}}$

dá origem às constantes de Stieltjes , e

${\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {- a}}$

dá

${\ displaystyle \ gamma _ {f_ {a}} = {\ frac {(a-1) \ zeta (a) -1} {a-1}}}$

onde novamente o limite

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {a \ to 1} \ left (\ zeta (a) - {\ frac {1} {a-1}} \ right)}$

parece.

Uma generalização de limite bidimensional é a constante de Masser-Gramain .

As constantes de Euler-Lehmer são fornecidas pela soma dos inversos dos números em uma classe de módulo comum:

${\ displaystyle \ gamma (a, q) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (\ sum _ {0 <n \ leq x \ atop n \ equiv a {\ pmod {q}}} {\ frac {1} {n}} - {\ frac {\ log x} {q}} \ right).}$

As propriedades básicas são

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma (0, q) & = {\ frac {\ gamma - \ log q} {q}}, \\\ sum _ {a = 0} ^ {q-1} \ gamma (a, q) & = \ gamma, \\ q \ gamma (a, q) & = \ gamma - \ sum _ {j = 1} ^ {q-1} e ^ {- {\ frac {2 \ pi aij} {q}}} \ log \ left (1-e ^ {\ frac {2 \ pi ij} {q}} \ right), \ end {alinhado}}}$

e se mdc ( a , q ) = d, então

${\ displaystyle q \ gamma (a, q) = {\ frac {q} {d}} \ gamma \ left ({\ frac {a} {d}}, {\ frac {q} {d}} \ right ) - \ log d.}$

Dígitos publicados

Euler calculou inicialmente o valor da constante com 6 casas decimais. Em 1781, ele calculou com 16 casas decimais. Mascheroni tentou calcular a constante com 32 casas decimais, mas cometeu erros nas casas decimais 20 a 22 e 31 a 32; começando do 20º dígito, ele calculou ... 181 12090082 39 quando o valor correto é ... 065 12090082 40 .

Expansões decimais publicadas de γ

Encontro	Dígitos decimais	Autor	Fontes
1734	5	Leonhard Euler
1735	15	Leonhard Euler
1781	16	Leonhard Euler
1790	32	Lorenzo Mascheroni , com 20-22 e 31-32 errado
1809	22	Johann G. von Soldner
1811	22	Carl Friedrich Gauss
1812	40	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai
1857	34	Christian Fredrik Lindman
1861	41	Ludwig Oettinger
1867	49	William Shanks
1871	99	James WL Glaisher
1871	101	William Shanks
1877	262	JC Adams
1952	328	John William Wrench Jr.
1961	1 050	Helmut Fischer e Karl Zeller
1962	1 271	Donald Knuth
1962	3 566	Dura W. Sweeney
1973	4 879	William A. Beyer e Michael S. Waterman
1977	20 700	Richard P. Brent
1980	30 100	Richard P. Brent e Edwin M. McMillan
1993	172 000	Jonathan Borwein
1999	108 000 000	Patrick Demichel e Xavier Gourdon
13 de março de 2009	29 844 489 545	Alexander J. Yee e Raymond Chan
22 de dezembro de 2013	119 377 958 182	Alexander J. Yee
15 de março de 2016	160 000 000 000	Peter Trueb
18 de maio de 2016	250 000 000 000	Ron Watkins
23 de agosto de 2017	477 511 832 674	Ron Watkins
26 de maio de 2020	600 000 000 100	Seungmin Kim e Ian Cutress

Referências

• Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova" . Diário de Crelle (em latim). 17 : 257–285.
• Havil, Julian (2003). Gama: Explorando a constante de Euler . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09983-5.
• Ram Murty, M .; Saradha, N. (2010). "Constantes de Euler-Lehmer e uma conjectura de Erdos" . Journal of Number Theory . 130 (12): 2671–2681. doi : 10.1016 / j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X .

Notas de rodapé

Leitura adicional

• Borwein, Jonathan M .; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Estratégias computacionais para a função Riemann Zeta" (PDF) . Journal of Computational and Applied Mathematics . 121 (1–2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B . doi : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 .Deriva γ como somas sobre as funções zeta de Riemann.
• Gerst, I. (1969). "Algumas séries para a constante de Euler". Amer. Matemática. Mensalmente . 76 (3): 237–275. doi : 10.2307 / 2316370 . JSTOR  2316370 .
• Glaisher, James Whitbread Lee (1872). “Sobre a história da constante de Euler”. Mensageiro da Matemática . 1 : 25-30. JFM  03.0130.01 .
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002). "Coleção de fórmulas para a constante de Euler, γ " .
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004). "A constante de Euler: γ " .
• Karatsuba, EA (1991). "Avaliação rápida das funções transcendentais". Probl. Inf. Transm . 27 (44): 339–360.
• Karatsuba, EA (2000). "No cálculo da constante de Euler γ ". Journal of Numerical Algorithms . 24 (1–2): 83–97. doi : 10.1023 / A: 1019137125281 . S2CID  21545868 .
• Knuth, Donald (1997). The Art of Computer Programming, vol. 1 (3ª ed.). Addison-Wesley. pp. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
• Lehmer, DH (1975). "Constantes de Euler para progressões aritméticas" (PDF) . Acta Arith . 27 (1): 125–142. doi : 10.4064 / aa-27-1-125-142 .
• Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 : 5.
• Mascheroni, Lorenzo (1790), Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur , Galeati, Ticini
• Sondow, Jonathan (2002). “Uma abordagem hipergeométrica, via formas lineares envolvendo logaritmos, para critérios de irracionalidade da constante de Euler”. Mathematica Slovaca . 59 : 307–314. arXiv : math.NT / 0211075 . Bibcode : 2002math ..... 11075S .com um apêndice de Sergey Zlobin

links externos

• "Constante de Euler" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "constante de Euler-Mascheroni" . MathWorld .
• Jonathan Sondow.
• Algoritmos rápidos e o método FEE , EA Karatsuba (2005)
• Outras fórmulas que fazem uso da constante: Gourdon e Sebah (2004).