Problema Erdős-Ulam - Erdős–Ulam problem

Em matemática, o problema Erdős – Ulam pergunta se o plano contém um conjunto denso de pontos cujas distâncias euclidianas são todos números racionais . Tem o nome de Paul Erdős e Stanislaw Ulam .

Grandes conjuntos de pontos com distâncias racionais

O teorema de Erdős-Anning afirma que um conjunto de pontos com distâncias inteiras deve ser finito ou estar em uma única linha. No entanto, existem outros conjuntos infinitos de pontos com distâncias racionais. Por exemplo, no círculo unitário , seja S o conjunto de pontos

${\ displaystyle (\ cos \ theta, \ sin \ theta)}$

onde é restrito a valores que fazem com que seja um número racional. Para cada um desses pontos, ambos e são ambos racionais, e se e definem dois pontos em S , então sua distância é o número racional ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {\ theta} {4}}}$${\ displaystyle \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}}}$${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {\ theta} {2}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ left | 2 \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ cos {\ frac {\ varphi} {2}} - 2 \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ right |.}$

De forma mais geral, um círculo com raio contém um conjunto denso de pontos a distâncias racionais entre si se e somente se for racional. No entanto, esses conjuntos são apenas densos em seu círculo, não são densos em todo o plano. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho ^ {2}}$

História e resultados parciais

Em 1946, Stanislaw Ulam perguntou se existe um conjunto de pontos a distâncias racionais uns dos outros que formam um subconjunto denso do plano euclidiano . Enquanto a resposta a essa questão ainda está aberta, József Solymosi e Frank de Zeeuw mostraram que as únicas curvas algébricas irredutíveis que contêm infinitos pontos em distâncias racionais são linhas e círculos. Terence Tao e Jafar Shaffaf observaram independentemente que, se a conjectura de Bombieri-Lang for verdadeira, os mesmos métodos mostrariam que não existe um conjunto denso infinito de pontos em distâncias racionais no plano. Usando métodos diferentes, Hector Pasten provou que a conjectura abc também implica uma solução negativa para o problema Erdős – Ulam.

Consequências

Se o problema Erdős-Ulam tiver uma solução positiva, ele forneceria um contra-exemplo para a conjectura de Bombieri-Lang e para a conjectura abc . Também resolveria a conjectura de Harborth , sobre a existência de desenhos de grafos planos em que todas as distâncias são inteiras. Se existir um conjunto denso de distância racional, qualquer desenho de linha reta de um gráfico plano poderia ser perturbado por uma pequena quantidade (sem a introdução de cruzamentos) para usar pontos deste conjunto como seus vértices e, em seguida, dimensionado para tornar as distâncias inteiras. No entanto, como o problema Erdős – Ulam, a conjectura de Harborth permanece não comprovada.

Referências