Sistema de parâmetros distribuídos - Distributed parameter system

Na teoria de controle , um sistema de parâmetros distribuídos (em oposição a um sistema de parâmetros concentrados ) é um sistema cujo espaço de estado tem dimensão infinita . Esses sistemas são, portanto, também conhecidos como sistemas de dimensão infinita. Exemplos típicos são sistemas descritos por equações diferenciais parciais ou por equações diferenciais de retardo .

Sistemas lineares de parâmetros distribuídos invariantes no tempo

Equações de evolução abstratas

Tempo discreto

Com U , X e Y espaços de Hilbert e  ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) e  ∈  L ( U ,  Y ) as seguintes equações de diferença determinam um tempo linear de tempo discreto sistema invariável : ${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle B \,}$${\ displaystyle C \,}$${\ displaystyle D \,}$

${\ displaystyle x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k) \,}$

${\ displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k) \,}$

com (estado) uma sequência com valores em X , (a entrada ou de controlo) com uma sequência de valores de L e (a saída) de uma sequência com valores em Y . ${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle u \,}$${\ displaystyle y \,}$

Tempo contínuo

O caso do tempo contínuo é semelhante ao caso do tempo discreto, mas agora considera-se equações diferenciais em vez de equações de diferença:

${\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t) \,}$ ,

${\ displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t) \,}$ .

Uma complicação adicional agora, entretanto, é que para incluir exemplos físicos interessantes, como equações diferenciais parciais e equações diferenciais de retardo, nesta estrutura abstrata, é-se forçado a considerar operadores ilimitados . Geralmente Um é assumido para gerar um semigrupo fortemente contínua no espaço de estado X . Assumir que B , C e D sejam operadores limitados já permite a inclusão de muitos exemplos físicos interessantes, mas a inclusão de muitos outros exemplos físicos interessantes força o ilimitado de B e C também.

Exemplo: uma equação diferencial parcial

A equação diferencial parcial com e dada por ${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle \ xi \ in [0,1]}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} w (t, \ xi) = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} w (t, \ xi) + u (t ),}$

${\ displaystyle w (0, \ xi) = w_ {0} (\ xi),}$

${\ displaystyle w (t, 0) = 0,}$

${\ displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {1} w (t, \ xi) \, d \ xi,}$

se encaixa na estrutura de equação de evolução abstrata descrita acima como segue. O espaço de entrada U e o espaço de saída Y são escolhidos para ser o conjunto de números complexos. O espaço de estado X é escolhido como L ² (0, 1). O operador A é definido como

${\ displaystyle Ax = -x ', ~~~ D (A) = \ left \ {x \ in X: x {\ text {absolutamente contínuo}}, x' \ in L ^ {2} (0,1) {\ text {and}} x (0) = 0 \ right \}.}$

Pode ser mostrado que um gera uma força contínua semigroup em X . Os operadores limitados B , C e D são definidos como

${\ displaystyle Bu = u, ~~~ Cx = \ int _ {0} ^ {1} x (\ xi) \, d \ xi, ~~~ D = 0.}$

Exemplo: uma equação diferencial de atraso

A equação diferencial de atraso

${\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = w (t) + w (t- \ tau) + u (t),}$

${\ displaystyle y (t) = w (t),}$

se encaixa na estrutura de equação de evolução abstrata descrita acima como segue. O espaço de entrada U e o espaço de saída Y são escolhidos para ser o conjunto de números complexos. O espaço de estado X é escolhido para ser o produto dos números complexos com L ² (- τ , 0). O operador A é definido como

${\ displaystyle A {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r + f (- \ tau) \\ f '\ end {pmatrix}}, ~~~ D (A) = \ left \ {{\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} \ in X: f {\ text {absolutamente contínuo}}, f '\ in L ^ {2} ([- \ tau, 0]) {\ text {e}} r = f (0) \ right \}.}$

Pode-se mostrar que A gera um semigrupo fortemente contínuo em X. Os operadores limitados B , C e D são definidos como

${\ displaystyle Bu = {\ begin {pmatrix} u \\ 0 \ end {pmatrix}}, ~~~ C {\ begin {pmatrix} r \\ f \ end {pmatrix}} = r, ~~~ D = 0.}$

Funções de transferência

Como no caso de dimensão finita, a função de transferência é definida através da transformada de Laplace (tempo contínuo) ou transformada Z (tempo discreto). Enquanto no caso de dimensão finita a função de transferência é uma função racional adequada, a dimensionalidade infinita do espaço de estados leva a funções irracionais (que são, entretanto, ainda holomórficas ).

Tempo discreto

No tempo discreto, a função de transferência é dada em termos dos parâmetros do espaço de estado por e é holomórfica em um disco centrado na origem. No caso de 1 / z pertencer ao conjunto resolvente de A (que é o caso de um disco possivelmente menor centrado na origem), a função de transferência é igual . Um fato interessante é que qualquer função holomórfica em zero é a função de transferência de algum sistema de tempo discreto. ${\ displaystyle D + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} CA ^ {k} Bz ^ {k}}$${\ displaystyle D + Cz (I-zA) ^ {- 1} B}$

Tempo contínuo

Se Uma gera um semigroup fortemente contínua e B , C e D são operadores limitados, em seguida, a função de transferência é dada em termos dos parâmetros espaço de estado por para s com parte real maior do que o crescimento exponencial ligado do semigroup gerado por um . Em situações mais gerais, essa fórmula, tal como está, pode nem mesmo fazer sentido, mas uma generalização apropriada dessa fórmula ainda é válida. Para obter uma expressão fácil para a função de transferência, muitas vezes é melhor tomar a transformada de Laplace na equação diferencial fornecida do que usar as fórmulas de espaço de estado conforme ilustrado abaixo nos exemplos dados acima. ${\ displaystyle D + C (sI-A) ^ {- 1} B}$

Função de transferência para o exemplo de equação diferencial parcial

Definindo a condição inicial igual a zero e denotando as transformações de Laplace em relação a t por letras maiúsculas, obtemos a partir da equação diferencial parcial fornecida acima ${\ displaystyle w_ {0}}$

${\ displaystyle sW (s, \ xi) = - {\ frac {d} {d \ xi}} W (s, \ xi) + U (s),}$

${\ displaystyle W (s, 0) = 0,}$

${\ displaystyle Y (s) = \ int _ {0} ^ {1} W (s, \ xi) \, d \ xi.}$

Esta é uma equação diferencial linear não homogênea com a variável, s como um parâmetro e condição inicial zero. A solução é . Substituindo isso na equação por Y e integrando dá para que a função de transferência seja . ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle W (s, \ xi) = U (s) (1-e ^ {- s \ xi}) / s}$${\ displaystyle Y (s) = U (s) (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$${\ displaystyle (e ^ {- s} + s-1) / s ^ {2}}$

Função de transferência para o exemplo de equação diferencial de atraso

Procedendo de forma semelhante para o exemplo de equação diferencial parcial, a função de transferência para o exemplo de equação de atraso é . ${\ displaystyle 1 / (s-1-e ^ {- s})}$

Controlabilidade

No caso de dimensão infinita, há várias definições não equivalentes de controlabilidade que, para o caso de dimensão finita, colapsam para a noção usual de controlabilidade. Os três conceitos de controlabilidade mais importantes são:

• Controlabilidade exata,
• Controlabilidade aproximada,
• Controlabilidade nula.

Controlabilidade em tempo discreto

Um papel importante é desempenhado pelos mapas que mapeiam o conjunto de todas as sequências com valor U em X e são dados por . A interpretação é que é o estado alcançado pela aplicação da seqüência de entrada u quando a condição inicial é zero. O sistema é chamado ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} u = \ sum _ {k = 0} ^ {n} A ^ {k} Bu_ {k}}$${\ displaystyle \ Phi _ {n} u}$

• exatamente controlável no tempo n se o intervalo for igual a X , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• aproximadamente controlável no tempo n se o intervalo de for denso em X , ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$
• nulo controlável no tempo n se o intervalo de incluir o intervalo de A ⁿ . ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$

Controlabilidade em tempo contínuo

Na controlabilidade de sistemas de tempo contínuo, o mapa dado por desempenha o papel que desempenha no tempo discreto. No entanto, o espaço de funções de controle em que este operador atua agora influencia a definição. A escolha usual é L ² (0, ∞; U ), o espaço de (classes de equivalência de) funções quadradas integráveis ​​avaliadas em U no intervalo (0, ∞), mas outras escolhas como L ¹ (0, ∞; U ) e possivel. As diferentes noções de controlabilidade podem ser definidas uma vez que o domínio de é escolhido. O sistema é chamado ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} {\ rm {e}} ^ {As} Bu (s) \, ds}$${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$

• exatamente controlável no tempo t se o intervalo de for igual a X , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• aproximadamente controlável no tempo t se o intervalo de for denso em X , ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$
• nulo controlável no tempo t se o intervalo de inclui o intervalo de . ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {At}}$

Observabilidade

Como no caso de dimensão finita, a observabilidade é a noção dupla de controlabilidade. No caso de dimensão infinita, existem várias noções diferentes de observabilidade que no caso de dimensão finita coincidem. Os três mais importantes são:

• Observabilidade exata (também conhecida como observabilidade contínua),
• Observabilidade aproximada,
• Observabilidade do estado final.

Observabilidade em tempo discreto

Um papel importante é desempenhado pelos mapas que mapeiam X no espaço de todas as sequências com valor de Y e são dados por se k  ≤  n e zero se k  >  n . A interpretação é que é a saída truncada com condição inicial x e controle zero. O sistema é chamado ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ displaystyle (\ Psi _ {n} x) _ {k} = CA ^ {k} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n} x}$

• exatamente observável no tempo n se existe um k _n  > 0 tal que para todo x  ∈  X , ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | x \ |}$
• aproximadamente observável no tempo n se for injetivo , ${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$
• estado final observável no tempo n se existe um k _n  > 0 tal que para todo x  ∈  X . ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {n} x \ | \ geq k_ {n} \ | A ^ {n} x \ |}$

Observabilidade em tempo contínuo

Na observabilidade de sistemas de tempo contínuo, o mapa dado por para s∈ [0, t] e zero para s> t desempenha o papel que desempenha no tempo discreto. No entanto, o espaço de funções para o qual esse operador mapeia agora influencia a definição. A escolha usual é L ² (0, ∞,  Y ), o espaço de (classes de equivalência de) funções integráveis ​​quadradas avaliadas em Y no intervalo (0, ∞) , mas outras escolhas como L ¹ (0, ∞,  Y ) e possivel. As diferentes noções de observabilidade podem ser definidas uma vez que o co-domínio de seja escolhido. O sistema é chamado ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$${\ displaystyle (\ Psi _ {t}) (s) = C {\ rm {e}} ^ {As} x}$${\ displaystyle \ Psi _ {n}}$${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$

• exatamente observável no tempo t se existe um k _t  > 0 tal que para todo x  ∈  X , ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | x \ |}$
• aproximadamente observável no tempo t se for injetivo , ${\ displaystyle \ Psi _ {t}}$
• estado final observável no tempo t se existe um k _t  > 0 tal que para todo x  ∈  X . ${\ displaystyle \ | \ Psi _ {t} x \ | \ geq k_ {t} \ | {\ rm {e}} ^ {At} x \ |}$

Dualidade entre controlabilidade e observabilidade

Como no caso de dimensão finita, controlabilidade e observabilidade são conceitos duais (pelo menos quando para o domínio e o co-domínio do L ² usual a escolha é feita). A correspondência sob a dualidade dos diferentes conceitos é: ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Psi}$

• Controlabilidade exata ↔ Observabilidade exata,
• Controlabilidade aproximada ↔ Observabilidade aproximada,
• Controlabilidade nula ↔ Observabilidade do estado final.

Veja também

• Teoria de controle
• Espaço de estado (controles)

Notas

Referências

• Cortina, Ruth ; Zwart, Hans (1995), An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory , Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observation and Control for Operator Semigroups , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications , Springer
• Lasiecka, Irena ; Triggiani, Roberto (2000), Teoria de Controle para Equações Diferenciais Parciais , Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representation and Control of Infinite Dimensional Systems (segunda edição), Birkhauser