Quantidade conservada - Conserved quantity

Em matemática, uma quantidade conservada de um sistema dinâmico é uma função das variáveis ​​dependentes cujo valor permanece constante ao longo de cada trajetória do sistema.

Nem todos os sistemas têm quantidades conservadas, e as quantidades conservadas não são únicas, pois sempre se pode aplicar uma função a uma quantidade conservada, como adicionar um número.

Uma vez que muitas leis da física expressam algum tipo de conservação , quantidades conservadas comumente existem em modelos matemáticos de sistemas físicos. Por exemplo, qualquer modelo de mecânica clássica terá energia mecânica como uma quantidade conservada, desde que as forças envolvidas sejam conservativas .

Equações diferenciais

Para um sistema de equações diferenciais de primeira ordem

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}$

onde negrito indica quantidades vetoriais , uma função de valor escalar H ( r ) é uma quantidade conservada do sistema se, por todo o tempo e condições iniciais em algum domínio específico,

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = 0}$

Observe que, ao usar a regra da cadeia multivariada ,

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r }, t)}$

de modo que a definição pode ser escrita como

${\ displaystyle \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}$

que contém informações específicas para o sistema e pode ser útil para encontrar quantidades conservadas, ou estabelecer se uma quantidade conservada existe ou não.

Mecânica hamiltoniana

Para um sistema definido pelo hamiltoniano H , uma função f das coordenadas generalizadas q e momentos generalizados p tem evolução temporal

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t }}}$

e, portanto, é conservado se e somente se . Aqui denota o colchete de Poisson . ${\ textstyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0}$${\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$

Mecânica Lagrangiana

Suponha que um sistema seja definido pelo Lagrangiano L com coordenadas generalizadas q . Se L não tem dependência de tempo explícita (então ), então a energia E definida por ${\ textstyle {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} = 0}$

${\ displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ direita] -L}$

é conservado.

Além disso, se , então q é dito ser uma coordenada cíclica e o momento generalizado p definido por ${\ textstyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q}} = 0}$

${\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}}}$

é conservado. Isso pode ser derivado usando as equações de Euler-Lagrange .

Veja também

• Sistema conservador
• Função Lyapunov
• Sistema hamiltoniano
• Lei de conservação
• Teorema de Noether
• Carga (física)
• Invariante (física)

Referências