Eletromagnetismo computacional - Computational electromagnetics

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Uma simulação de imagem de sub-onda através do método de domínio de tempo de diferença finita

Eletromagnética computacional ( CEM ), eletrodinâmica computacional ou modelagem eletromagnética é o processo de modelagem da interação de campos eletromagnéticos com objetos físicos e o ambiente.

Normalmente envolve o uso de programas de computador para calcular soluções aproximadas para as equações de Maxwell para calcular o desempenho da antena , a compatibilidade eletromagnética , a seção transversal do radar e a propagação da onda eletromagnética quando não estiver no espaço livre. Um grande subcampo são os programas de computador para modelagem de antenas , que calculam o padrão de radiação e as propriedades elétricas das antenas de rádio, e são amplamente usados para projetar antenas para aplicações específicas.

Fundo

Vários problemas eletromagnéticos do mundo real, como espalhamento eletromagnético , radiação eletromagnética , modelagem de guias de ondas , etc., não são calculáveis analiticamente, para a infinidade de geometrias irregulares encontradas em dispositivos reais. As técnicas numéricas computacionais podem superar a incapacidade de derivar soluções de forma fechada das equações de Maxwell sob várias relações constitutivas de mídia e condições de contorno . Isso torna o eletromagnético computacional (CEM) importante para o projeto e modelagem de antenas, radares, satélites e outros sistemas de comunicação, dispositivos nanofotônicos e eletrônicos de silício de alta velocidade , imagens médicas , projeto de antenas de telefones celulares, entre outras aplicações.

O CEM normalmente resolve o problema de calcular os campos E (elétrico) e H (magnético) no domínio do problema (por exemplo, para calcular o padrão de radiação da antena para uma estrutura de antena de formato arbitrário). Também calculando a direção do fluxo de potência ( vetor de Poynting ), os modos normais de um guia de ondas , a dispersão de onda gerada pela mídia e o espalhamento podem ser calculados a partir dos campos E e H. Os modelos CEM podem ou não assumir simetria , simplificando as estruturas do mundo real para cilindros idealizados , esferas e outros objetos geométricos regulares. Os modelos CEM fazem uso extensivo da simetria e resolvem a dimensionalidade reduzida de 3 dimensões espaciais para 2D e até 1D.

Uma formulação do problema de autovalor do CEM nos permite calcular os modos normais de estado estacionário em uma estrutura. A resposta transitória e os efeitos de campo de impulso são modelados com mais precisão por CEM no domínio do tempo, por FDTD . Objetos geométricos curvos são tratados com mais precisão como elementos finitos FEM ou grades não ortogonais. O método de propagação de feixe (BPM) pode resolver o fluxo de potência em guias de onda. O CEM é específico da aplicação, mesmo se diferentes técnicas convergirem para o mesmo campo e distribuições de potência no domínio modelado.

Visão geral dos métodos

Uma abordagem é discretizar o espaço em termos de grades (ortogonais e não ortogonais) e resolver as equações de Maxwell em cada ponto da grade. A discretização consome a memória do computador e a resolução das equações leva um tempo significativo. Problemas de CEM em grande escala enfrentam limitações de memória e CPU. A partir de 2007, os problemas de CEM exigem supercomputadores, clusters de alto desempenho, processadores vetoriais e / ou paralelismo . As formulações típicas envolvem qualquer passo no tempo através das equações sobre todo o domínio para cada instante de tempo; ou por meio de anilhas de inversão da matriz para calcular os pesos de funções de base, quando modelada por métodos de elementos finitos; ou produtos de matriz ao usar métodos de matriz de transferência; ou cálculo de integrais ao usar o método dos momentos (MoM); ou usando transformadas rápidas de Fourier e iterações de tempo ao calcular pelo método de divisão de etapas ou por BPM.

Escolha de métodos

Escolher a técnica certa para resolver um problema é importante, pois escolher a errada pode resultar em resultados incorretos ou em resultados que demoram muito para serem computados. No entanto, o nome de uma técnica nem sempre diz como ela é implementada, especialmente para ferramentas comerciais, que geralmente possuem mais de um solucionador.

Davidson fornece duas tabelas comparando as técnicas FEM, MoM e FDTD na maneira como são normalmente implementadas. Uma tabela é para regiões abertas (problemas de radiação e espalhamento) e outra tabela é para problemas de ondas guiadas.

Equações de Maxwell na forma hiperbólica de PDE

As equações de Maxwell podem ser formuladas como um sistema hiperbólico de equações diferenciais parciais . Isso dá acesso a técnicas poderosas para soluções numéricas.

Supõe-se que as ondas se propagam no plano ( x , y ) e restringem a direção do campo magnético a ser paralela ao eixo z e, portanto, o campo elétrico a ser paralelo ao plano ( x , y ). A onda é chamada de onda magnética transversal (TM). Em 2D e sem termos de polarização presentes, as equações de Maxwell podem ser formuladas como:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ bar {u}} + A {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ bar {u}} + B {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} {\ bar {u}} + C {\ bar {u}} = {\ bar {g}}}

onde u , A , B e C são definidos como

{\ displaystyle {\ bar {u}} = \ left ({\ begin {matrix} E_ {x} \\ E_ {y} \\ H_ {z} \ end {matrix}} \ right),}

{\ displaystyle A = \ left ({\ begin {matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {\ epsilon}} \\ 0 & {\ frac {1} {\ mu}} & 0 \ end {matrix}} \direito),}

{\ displaystyle B = \ left ({\ begin {matrix} 0 & 0 & {\ frac {-1} {\ epsilon}} \\ 0 & 0 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ mu}} & 0 & 0 \ end {matrix} }\direito),}

{\ displaystyle C = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {\ sigma} {\ epsilon}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {\ sigma} {\ epsilon}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {matrix }}\direito).}

Nesta representação, é a função de força , e está no mesmo espaço que . Pode ser usado para expressar um campo aplicado externamente ou para descrever uma restrição de otimização . Conforme formulado acima: ${\ displaystyle {\ bar {g}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}}}$

{\ displaystyle {\ bar {g}} = \ left ({\ begin {matrix} E_ {x, constraint} \\ E_ {y, constraint} \\ H_ {z, constraint} \ end {matrix}} \ right ).}

${\ displaystyle {\ bar {g}}}$ também pode ser explicitamente definido igual a zero para simplificar certos problemas, ou para encontrar uma solução característica , que muitas vezes é o primeiro passo em um método para encontrar a solução não homogênea particular.

Solucionadores de equação integral

A aproximação dipolo discreta

A aproximação dipolo discreta é uma técnica flexível para calcular espalhamento e absorção por alvos de geometria arbitrária . A formulação é baseada na forma integral das equações de Maxwell. O DDA é uma aproximação do alvo contínuo por um arranjo finito de pontos polarizáveis. Os pontos adquirem momentos de dipolo em resposta ao campo elétrico local. Os dipolos, é claro, interagem uns com os outros por meio de seus campos elétricos, então o DDA também é algumas vezes referido como a aproximação de dipolo acoplado . O sistema linear de equações resultante é comumente resolvido usando iterações de gradiente conjugado . A matriz de discretização tem simetrias (a forma integral das equações de Maxwell tem forma de convolução) permitindo que a transformação rápida de Fourier multiplique a matriz vezes o vetor durante as iterações de gradiente conjugado.

Método do método do elemento dos momentos

O método dos momentos (MoM) ou método dos elementos de fronteira (BEM) é um método computacional numérico de resolver equações diferenciais parciais lineares que foram formuladas como equações integrais (ou seja, na forma integral de fronteira ). Ele pode ser aplicado em muitas áreas da engenharia e da ciência, incluindo mecânica dos fluidos , acústica , eletromagnética , mecânica de fratura e plasticidade .

O BEM se tornou mais popular desde a década de 1980. Porque requer o cálculo apenas de valores de limite, em vez de valores em todo o espaço, é significativamente mais eficiente em termos de recursos computacionais para problemas com uma pequena relação superfície / volume. Conceitualmente, funciona construindo uma "malha" sobre a superfície modelada. No entanto, para muitos problemas, o BEM é significativamente menos eficiente em termos computacionais do que os métodos de discretização de volume ( método dos elementos finitos , método das diferenças finitas , método dos volumes finitos ). As formulações de elementos de fronteira normalmente dão origem a matrizes totalmente preenchidas. Isso significa que os requisitos de armazenamento e o tempo computacional tendem a crescer de acordo com o quadrado do tamanho do problema. Em contraste, as matrizes de elementos finitos são tipicamente agrupadas (os elementos são conectados apenas localmente) e os requisitos de armazenamento para as matrizes do sistema normalmente crescem linearmente com o tamanho do problema. Técnicas de compressão ( por exemplo, expansões multipolares ou aproximação cruzada adaptativa / matrizes hierárquicas) podem ser usadas para amenizar esses problemas, embora ao custo de complexidade adicional e com uma taxa de sucesso que depende muito da natureza e geometria do problema.

O BEM é aplicável a problemas para os quais as funções de Green podem ser calculadas. Geralmente envolvem campos em meios lineares homogêneos . Isso impõe restrições consideráveis sobre o alcance e a generalidade dos problemas adequados para os elementos de fronteira. Não linearidades podem ser incluídas na formulação, embora geralmente introduzam integrais de volume que requerem que o volume seja discretizado antes da solução, removendo uma vantagem frequentemente citada do BEM.

Método multipolar rápido

O método multipolar rápido (FMM) é uma alternativa ao somatório de MoM ou Ewald. É uma técnica de simulação precisa e requer menos memória e capacidade de processador do que MoM. O FMM foi introduzido pela primeira vez por Greengard e Rokhlin e é baseado na técnica de expansão multipolar . A primeira aplicação do FMM em eletromagnetismo computacional foi por Engheta et al. (1992). FMM também pode ser usado para acelerar MoM.

Domínio do tempo da onda plana

Embora o método multipolar rápido seja útil para acelerar soluções MoM de equações integrais com núcleos oscilatórios estáticos ou no domínio da frequência, o algoritmo de onda plana no domínio do tempo (PWTD) emprega ideias semelhantes para acelerar a solução MoM de equações integrais no domínio do tempo envolvendo o retardado potencial . O algoritmo PWTD foi introduzido em 1998 por Ergin, Shanker e Michielssen.

Método de circuito equivalente de elemento parcial

O circuito equivalente de elemento parcial (PEEC) é um método de modelagem de onda completa 3D adequado para análise eletromagnética e de circuito combinada . Ao contrário do MoM, o PEEC é um método de espectro completo válido desde CC até a frequência máxima determinada pela malha. No método PEEC, a equação integral é interpretada como a lei de tensão de Kirchhoff aplicada a uma célula PEEC básica que resulta em uma solução de circuito completo para geometrias 3D. A formulação de circuito equivalente permite que elementos de circuito do tipo SPICE adicionais sejam facilmente incluídos. Além disso, os modelos e a análise se aplicam aos domínios do tempo e da frequência. As equações de circuito resultantes do modelo PEEC são facilmente construídas usando uma formulação de análise de loop modificada (MLA) ou análise nodal modificada (MNA). Além de fornecer uma solução de corrente contínua, ele tem várias outras vantagens sobre uma análise MoM para esta classe de problemas, uma vez que qualquer tipo de elemento de circuito pode ser incluído de forma direta com carimbos de matriz apropriados. O método PEEC foi recentemente estendido para incluir geometrias não ortogonais. Esta extensão do modelo, que é consistente com a formulação ortogonal clássica , inclui a representação de Manhattan das geometrias, além dos elementos quadriláteros e hexaédricos mais gerais . Isso ajuda a manter o número de incógnitas no mínimo e, portanto, reduz o tempo computacional para geometrias não ortogonais.

Solucionadores de equação diferencial

Domínio do tempo de diferença finita

O domínio de tempo de diferenças finitas (FDTD) é uma técnica popular de CEM. É fácil de entender. Ele tem uma implementação excepcionalmente simples para um solucionador de onda completo. É pelo menos uma ordem de magnitude menos trabalho implementar um solucionador FDTD básico do que um solucionador FEM ou MoM. FDTD é a única técnica em que uma pessoa pode se implementar de forma realista em um período de tempo razoável, mas mesmo assim, será para um problema bastante específico. Por ser um método no domínio do tempo, as soluções podem cobrir uma ampla faixa de frequência com uma única simulação, desde que o intervalo de tempo seja pequeno o suficiente para satisfazer o teorema de amostragem de Nyquist-Shannon para a frequência mais alta desejada.

O FDTD pertence à classe geral de métodos de modelagem numérica diferencial baseada em grade no domínio do tempo. As equações de Maxwell (na forma diferencial parcial ) são modificadas para equações de diferença central, discretizadas e implementadas em software. As equações são resolvidas de maneira cíclica: o campo elétrico é resolvido em um determinado instante no tempo, então o campo magnético é resolvido no próximo instante no tempo, e o processo é repetido continuamente.

O algoritmo FDTD básico remonta a um artigo seminal de 1966 de Kane Yee em IEEE Transactions on Antennas and Propagation . Allen Taflove originou o descritor "Finite-diferença no domínio do tempo" e seu correspondente acrônimo "FDTD" em um artigo de 1980 na IEEE Trans. Eletromagn. Compat. . Desde cerca de 1990, as técnicas de FDTD surgiram como o meio principal para modelar muitos problemas científicos e de engenharia que tratam das interações das ondas eletromagnéticas com as estruturas materiais. Uma técnica eficaz baseada em um procedimento de discretização de volumes finitos no domínio do tempo foi introduzida por Mohammadian et al. em 1991. As aplicações atuais de modelagem FDTD variam de quase DC (geofísica de frequência ultrabaixa envolvendo todo o guia de onda da ionosfera terrestre ) por meio de microondas (tecnologia de assinatura de radar, antenas, dispositivos de comunicação sem fio, interconexões digitais, imagem / tratamento biomédico) à luz visível ( cristais fotônicos , nanoplasmônicos, sólidos e biofotônicos ). Aproximadamente 30 pacotes de software comerciais e desenvolvidos em universidades estão disponíveis.

Método descontínuo de domínio de tempo

Entre muitos métodos de domínio de tempo, o método descontínuo de domínio de tempo de Galerkin (DGTD) se tornou popular recentemente, uma vez que integra vantagens tanto do método de domínio de tempo de volume finito (FVTD) quanto do método de domínio de tempo de elemento finito (FETD). Como o FVTD, o fluxo numérico é usado para trocar informações entre os elementos vizinhos, portanto, todas as operações do DGTD são locais e facilmente paralelizáveis. Semelhante ao FETD, DGTD emprega malha não estruturada e é capaz de alta precisão de ordem se a função de base hierárquica de alta ordem for adotada. Com os méritos acima, o método DGTD é amplamente implementado para a análise transitória de problemas multiescala envolvendo grande número de incógnitas.

Domínio do tempo de multirresolução

MRTD é uma alternativa adaptativa ao método de domínio de tempo de diferença finita (FDTD) com base na análise de wavelet .

Método do elemento finito

O método dos elementos finitos (FEM) é usado para encontrar a solução aproximada de equações diferenciais parciais (PDE) e equações integrais . A abordagem da solução é baseada na eliminação das derivadas de tempo completamente (problemas de estado estacionário), ou renderizando o PDE em uma equação diferencial ordinária equivalente , que é então resolvida usando técnicas padrão, como diferenças finitas , etc.

Na resolução de equações diferenciais parciais , o principal desafio é criar uma equação que se aproxime da equação a ser estudada, mas que seja numericamente estável , o que significa que erros nos dados de entrada e cálculos intermediários não se acumulam e destroem o significado da saída resultante. Existem muitas maneiras de fazer isso, com várias vantagens e desvantagens. O método dos elementos finitos é uma boa escolha para resolver equações diferenciais parciais em domínios complexos ou quando a precisão desejada varia em todo o domínio.

Técnica de integração finita

A técnica de integração finita (FIT) é um esquema de discretização espacial para resolver numericamente problemas de campo eletromagnético no domínio do tempo e da frequência. Ele preserva as propriedades topológicas básicas das equações contínuas, como conservação de carga e energia. O FIT foi proposto em 1977 por Thomas Weiland e tem sido aprimorado continuamente ao longo dos anos. Este método cobre toda a gama de aplicações eletromagnéticas (de estática a alta frequência) e ópticas e é a base para ferramentas comerciais de simulação.

A ideia básica dessa abordagem é aplicar as equações de Maxwell em forma integral a um conjunto de grades escalonadas. Este método se destaca pela alta flexibilidade na modelagem geométrica e tratamento de limites, bem como pela incorporação de distribuições arbitrárias de materiais e propriedades de materiais como anisotropia , não linearidade e dispersão. Além disso, o uso de uma grade ortogonal dupla consistente (por exemplo, grade cartesiana ) em conjunto com um esquema de integração de tempo explícito (por exemplo, esquema de salto) leva a algoritmos de computação e memória eficientes, que são especialmente adaptados para análise de campo transiente em rádio aplicações de frequência (RF).

Domínio do tempo pseudo-espectral

Esta classe de técnicas computacionais de marcha no tempo para as equações de Maxwell usa transformações discretas de Fourier ou de Chebyshev para calcular as derivadas espaciais dos componentes do vetor de campo elétrico e magnético que são arranjados em uma grade 2-D ou rede 3-D de células unitárias. O PSTD causa erros de anisotropia de velocidade de fase numérica desprezíveis em relação ao FDTD e, portanto, permite que problemas de tamanho elétrico muito maior sejam modelados.

Domínio espacial pseudo-espectral

PSSD resolve as equações de Maxwell propagando-as para a frente em uma direção espacial escolhida. Os campos são, portanto, mantidos em função do tempo e (possivelmente) de quaisquer dimensões espaciais transversais. O método é pseudo-espectral porque as derivadas temporais são calculadas no domínio da frequência com o auxílio de FFTs. Como os campos são mantidos como funções do tempo, isso permite que a dispersão arbitrária no meio de propagação seja modelada com rapidez e precisão com o mínimo de esforço. No entanto, a escolha de se propagar no espaço (em vez de no tempo) traz consigo algumas sutilezas, principalmente se os reflexos forem importantes.

Matriz de linha de transmissão

A matriz da linha de transmissão (TLM) pode ser formulada de vários meios como um conjunto direto de elementos concentrados solucionáveis diretamente por um solucionador de circuito (ala SPICE, HSPICE , et al.), Como uma rede personalizada de elementos ou por meio de uma abordagem de matriz de espalhamento . TLM é uma estratégia de análise muito flexível semelhante ao FDTD em recursos, embora mais códigos tendam a estar disponíveis com os motores FDTD.

Localmente unidimensional

Este é um método implícito. Neste método, no caso bidimensional, as equações de Maxwell são calculadas em duas etapas, enquanto no caso tridimensional as equações de Maxwell são divididas em três direções de coordenadas espaciais. A análise de estabilidade e dispersão do método LOD-FDTD tridimensional foi discutida em detalhes.

Outros métodos

Expansão de modo próprio

A expansão do modo próprio (EME) é uma técnica bidirecional rigorosa para simular a propagação eletromagnética que se baseia na decomposição dos campos eletromagnéticos em um conjunto básico de modos próprios locais. Os modos próprios são encontrados resolvendo as equações de Maxwell em cada seção transversal local. A expansão de modo próprio pode resolver as equações de Maxwell em 2D e 3D e pode fornecer uma solução totalmente vetorial, desde que os solucionadores de modo sejam vetoriais. Ele oferece benefícios muito fortes em comparação com o método FDTD para a modelagem de guias de ondas ópticas e é uma ferramenta popular para a modelagem de fibra óptica e dispositivos fotônicos de silício .

Óptica física

Óptica física (PO) é o nome de uma aproximação de alta frequência ( aproximação de comprimento de onda curto ) comumente usada em óptica, engenharia elétrica e física aplicada . É um método intermediário entre a óptica geométrica, que ignora os efeitos das ondas , e o eletromagnetismo de onda completa , que é uma teoria precisa . A palavra "físico" significa que é mais física do que óptica geométrica e não que seja uma teoria física exata.

A aproximação consiste em usar a ótica de raios para estimar o campo em uma superfície e então integrar esse campo sobre a superfície para calcular o campo transmitido ou espalhado. Isso se assemelha à aproximação de Born , em que os detalhes do problema são tratados como uma perturbação .

Teoria uniforme de difração

A teoria uniforme de difração (UTD) é um método de alta frequência para resolver problemas de espalhamento eletromagnético de descontinuidades eletricamente pequenas ou descontinuidades em mais de uma dimensão no mesmo ponto.

A teoria uniforme de difração aproxima os campos eletromagnéticos de campo próximo como quase ópticos e usa difração de raios para determinar os coeficientes de difração para cada combinação objeto-fonte difratada. Esses coeficientes são então usados para calcular a intensidade do campo e a fase para cada direção distante do ponto de difração. Esses campos são então adicionados aos campos de incidentes e campos refletidos para obter uma solução total.

Validação

A validação é um dos principais problemas enfrentados pelos usuários de simulação eletromagnética. O usuário deve compreender e dominar o domínio de validade de sua simulação. A medida é, "quão longe da realidade estão os resultados?"

Responder a essa pergunta envolve três etapas: comparação entre os resultados da simulação e a formulação analítica, comparação cruzada entre os códigos e comparação dos resultados da simulação com a medição.

Comparação entre resultados de simulação e formulação analítica

Por exemplo, avaliar o valor da seção transversal do radar de uma placa com a fórmula analítica:

{\ displaystyle {\ text {RCS}} _ {\ text {Plate}} = {\ frac {4 \ pi A ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}},}

onde A é a superfície da placa e é o comprimento de onda. A próxima curva apresentando o RCS de uma placa calculada a 35 GHz pode ser usada como exemplo de referência.

{\ displaystyle \ lambda}

Comparação cruzada entre códigos

Um exemplo é a comparação cruzada de resultados do método dos momentos e métodos assintóticos em seus domínios de validade.

Comparação de resultados de simulação com medição

A etapa final de validação é feita pela comparação entre medições e simulação. Por exemplo, o cálculo RCS e a medição de um objeto metálico complexo a 35 GHz. O cálculo implementa GO, PO e PTD para as arestas.

Os processos de validação podem revelar claramente que algumas diferenças podem ser explicadas pelas diferenças entre a configuração experimental e sua reprodução no ambiente de simulação.

Códigos de dispersão de luz

Existem agora muitos códigos eficientes para resolver problemas de espalhamento eletromagnético. Eles são listados como:

Soluções analíticas, como a solução de Mie para espalhamento por esferas ou cilindros, podem ser utilizadas para validar técnicas mais envolvidas.

Veja também

Referências

Leitura adicional

RF Harrington (1993). Computação de campo por métodos de momento . Wiley-IEEE Press. ISBN 978-0-7803-1014-8.
WC Chew; J.-M. Jin; E. Michielssen; J. Song (2001). Algoritmos Rápidos e Eficientes em Eletromagnetismo Computacional . Editores da Artech House. ISBN 978-1-58053-152-8.
J. Jin (2002). O Método dos Elementos Finitos em Eletromagnetismo, 2º. ed . Wiley-IEEE Press. ISBN 978-0-471-43818-2.
Allen Taflove e Susan C. Hagness (2005). Eletrodinâmica computacional: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed . Editores da Artech House. ISBN 978-1-58053-832-9.

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