Anarmonicidade - Anharmonicity

Energia potencial de uma molécula diatômica em função do espaçamento atômico . Quando as moléculas estão muito próximas ou muito distantes, elas experimentam uma força restauradora de volta para u ₀ . (Imagine uma bola de gude rolando para frente e para trás na depressão.) A curva azul tem uma forma próxima ao poço de potencial real da molécula , enquanto a parábola vermelha é uma boa aproximação para pequenas oscilações. A aproximação vermelha trata a molécula como um oscilador harmônico, porque a força restauradora, -V '(u) , é linear em relação ao deslocamento u .

Na mecânica clássica , anarmonicidade é o desvio de um sistema de ser um oscilador harmônico . Um oscilador que não oscila em movimento harmônico é conhecido como oscilador anarmônico, onde o sistema pode ser aproximado de um oscilador harmônico e a anarmonicidade pode ser calculada usando a teoria de perturbação . Se a anarmonicidade for grande, outras técnicas numéricas devem ser usadas. Na realidade, todos os sistemas oscilantes são anarmônicos, mas se aproximam do oscilador harmônico quanto menor for a amplitude da oscilação.

Como resultado, oscilações com frequências e etc., onde é a frequência fundamental do oscilador, aparecem. Além disso, a frequência se desvia da frequência das oscilações harmônicas. Veja também intermodulação e tons de combinação . Como uma primeira aproximação, a mudança de frequência é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação : ${\ displaystyle 2 \ omega}$${\ displaystyle 3 \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ Delta \ omega = \ omega - \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ Delta \ omega \ propto A ^ {2}}$

Em um sistema de osciladores com frequências naturais , ... anarmonicidade resulta em oscilações adicionais com freqüências . ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} \ pm \ omega _ {\ beta}}$

A anarmonicidade também modifica o perfil de energia da curva de ressonância, levando a fenômenos interessantes como o efeito foldover e a ressonância super - harmônica .

Princípio geral

Pêndulo elástico de 2 DOF exibindo comportamento anarmônico.

Osciladores Harmônicos vs. Anarmônicos

O "block-on-a-spring" é um exemplo clássico de oscilação harmônica. Dependendo da localização do bloco, x , ele experimentará uma força restauradora em direção ao meio. A força restauradora é proporcional ax, então o sistema exibe movimento harmônico simples.

Um pêndulo é um simples um oscilador harmónica. Dependendo da posição angular da massa θ , uma força de restauração empurra a coordenada θ de volta para o meio. Este oscilador é anarmônico porque a força restauradora não é proporcional a θ , mas sim a sin (θ) . Como a função linear y = θ se aproxima da função não linear y = sin (θ) quando θ é pequeno, o sistema pode ser modelado como um oscilador harmônico para pequenas oscilações.

Um oscilador é um sistema físico caracterizado por movimento periódico, como um pêndulo, diatomácea ou molécula diatômica vibrante . Matematicamente falando, a característica essencial de um oscilador é que para alguma coordenada x do sistema, uma força cuja magnitude depende de x empurrará x para longe dos valores extremos e de volta para algum valor central x ₀ , fazendo com que x oscile entre os extremos. Por exemplo, x pode representar o deslocamento de um pêndulo de sua posição de repouso x = 0 . À medida que o valor absoluto de x aumenta, também aumenta a força restauradora que atua sobre o peso do pêndulo que o empurra de volta para sua posição de repouso.

Em osciladores harmônicos, a força de restauração é proporcional em magnitude (e oposta na direção) ao deslocamento de x de sua posição natural x ₀ . A equação diferencial resultante implica que x deve oscilar sinusoidalmente ao longo do tempo, com um período de oscilação inerente ao sistema. x pode oscilar com qualquer amplitude, mas sempre terá o mesmo período.

Os osciladores anarmônicos, entretanto, são caracterizados pela dependência não linear da força restauradora no deslocamento x. Conseqüentemente, o período de oscilação do oscilador anarmônico pode depender de sua amplitude de oscilação.

Como resultado da não linearidade dos osciladores anarmônicos, a frequência de vibração pode mudar, dependendo do deslocamento do sistema. Essas mudanças na frequência de vibração resultam em energia sendo acoplada da frequência de vibração fundamental a outras frequências por meio de um processo conhecido como acoplamento paramétrico.

Tratando a força restauradora não linear como uma função F (xx ₀ ) do deslocamento de x de sua posição natural, podemos substituir F por sua aproximação linear F ₁ = F '(0) * (xx ₀ ) no deslocamento zero. A função de aproximação F ₁ é linear, portanto, ela descreverá o movimento harmônico simples. Além disso, esta função F ₁ é precisa quando xx ₀ é pequeno. Por esta razão, o movimento anarmônico pode ser aproximado como movimento harmônico, desde que as oscilações sejam pequenas.

Exemplos em física

Existem muitos sistemas em todo o mundo físico que podem ser modelados como osciladores anarmônicos, além do sistema massa-mola não linear. Por exemplo, um átomo, que consiste em um núcleo carregado positivamente rodeado por uma nuvem eletrônica carregada negativamente, experimenta um deslocamento entre o centro de massa do núcleo e a nuvem eletrônica quando um campo elétrico está presente. A quantidade desse deslocamento, chamado de momento de dipolo elétrico, está relacionado linearmente ao campo aplicado para campos pequenos, mas à medida que a magnitude do campo é aumentada, a relação campo-momento de dipolo torna-se não linear, assim como no sistema mecânico.

Outros exemplos de osciladores anarmônicos incluem o pêndulo de grande ângulo; semicondutores de não-equilíbrio que possuem uma grande população de portadores quentes, que exibem comportamentos não lineares de vários tipos relacionados à massa efetiva dos portadores; e plasmas ionosféricos, que também apresentam comportamento não linear baseado na anarmonicidade do plasma. Na verdade, virtualmente todos os osciladores se tornam anarmônicos quando a amplitude de sua bomba aumenta além de algum limite e, como resultado, é necessário usar equações não lineares de movimento para descrever seu comportamento.

A anarmonicidade desempenha um papel na rede e nas vibrações moleculares, nas oscilações quânticas e na acústica . Os átomos de uma molécula ou sólido vibram em torno de suas posições de equilíbrio. Quando essas vibrações têm amplitudes pequenas, elas podem ser descritas por osciladores harmônicos . No entanto, quando as amplitudes vibracionais são grandes, por exemplo, em altas temperaturas, a anarmonicidade torna-se importante. Um exemplo dos efeitos da anarmonicidade é a expansão térmica de sólidos, que geralmente é estudada dentro da aproximação quase-harmônica . Estudar sistemas anarmônicos vibratórios usando a mecânica quântica é uma tarefa exigente computacionalmente porque a anarmonicidade não apenas torna o potencial experimentado por cada oscilador mais complicado, mas também introduz o acoplamento entre os osciladores. É possível usar métodos de primeiros princípios, como a teoria do funcional da densidade, para mapear o potencial anarmônico experimentado pelos átomos em moléculas e sólidos. Energias vibracionais anarmônicas precisas podem então ser obtidas resolvendo as equações vibracionais anarmônicas para os átomos dentro de uma teoria de campo médio . Finalmente, é possível usar a teoria de perturbação de Møller-Plesset para ir além do formalismo de campo médio.

Energia potencial do período de oscilações

Considere um poço potencial . Assumindo que a curva é simétrica em relação ao eixo, a forma da curva pode ser determinada implicitamente a partir do período das oscilações das partículas com energia de acordo com a fórmula: ${\ displaystyle U (x)}$${\ displaystyle U = U (x)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle T (E)}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle U (x) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {2m}}}} \ int _ {0} ^ {U} {\ frac {T (E) \, dE} { \ sqrt {U (x) -E}}}}$.

Por outro lado, o período de oscilação pode ser derivado

${\ displaystyle T = {\ sqrt {2m}} \ int _ {x _ {-}} ^ {x _ {+}} {\ frac {dx} {\ sqrt {EU}}}}$

Veja também

• Desarmonicidade
• Oscilador harmônico
• Oscilador harmônico quântico
• Acústica musical
• Ressonância não linear
• Transmon

Referências

• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1976), Mecânica (3ª ed.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Filipponi, A .; Cavicchia, DR (2011), "Anharmonic dynamics of a mass O-spring oscillator", American Journal of Physics , 79 (7): 730-735, doi : 10.1119 / 1.3579129

links externos

• Elmer, Franz-Josef (20 de julho de 1998), Nonlinear Resonance , University of Basel , arquivado do original em 13 de junho de 2011 , recuperado em 28 de outubro de 2010