Medição fraca - Weak measurement

Na mecânica quântica (e computação e informação ), medições fracas são um tipo de medição quântica que resulta em um observador obtendo muito pouca informação sobre o sistema em média, mas também perturba muito pouco o estado. Pelo teorema de Busch, o sistema é necessariamente perturbado pela medição. Na literatura, as medições fracas também são conhecidas como medições não nítidas, difusas, opacas, ruidosas, aproximadas e suaves. Além disso, as medições fracas são frequentemente confundidas com o conceito distinto, mas relacionado, de valor fraco .

História

Medições fracas foram pensadas primeiro no contexto de medições contínuas fracas de sistemas quânticos (ou seja, filtragem quântica e trajetórias quânticas ). A física das medições quânticas contínuas é a seguinte. Considere o uso de um ancilla, por exemplo, um campo ou uma corrente , para sondar um sistema quântico. A interação entre o sistema e a sonda correlaciona os dois sistemas. Normalmente, a interação correlaciona apenas fracamente o sistema e ancilla. (Especificamente, a interação unitária precisa apenas ser expandida para a primeira ou segunda ordem na teoria de perturbação.) Medindo o ancilla e então usando a teoria de medição quântica, o estado do sistema condicionado aos resultados da medição pode ser determinado. A fim de obter uma medição forte, muitos ancilla devem ser acoplados e então medidos. No limite onde existe um continuum de ancilla, o processo de medição torna-se contínuo no tempo. Este processo foi descrito primeiro por: Mensky; Belavkin ; Barchielli, Lanz, Prosperi; Barchielli; Cavernas ; Cavernas e Milburn . Mais tarde, Howard Carmichael e Howard M. Wiseman também fizeram contribuições importantes para o campo.

A noção de uma medição fraca é frequentemente atribuída erroneamente a Aharonov , Albert e Vaidman . Em seu artigo, eles consideram um exemplo de uma medição fraca (e talvez cunhem a frase "medição fraca") e o usam para motivar sua definição de um valor fraco , que eles definiram lá pela primeira vez.

Matemática

Não existe uma definição universalmente aceita de uma medição fraca. Uma abordagem é declarar uma medição fraca como uma medição generalizada onde alguns ou todos os operadores Kraus estão próximos da identidade. A abordagem adotada a seguir é interagir fracamente dois sistemas e, em seguida, medir um deles. Depois de detalhar essa abordagem, iremos ilustrá-la com exemplos.

Interação fraca e medição acoplada de ancilla

Considere um sistema que começa no estado quântico e um ancilla que começa no estado , o estado inicial combinado é . Esses dois sistemas interagem por meio do Hamiltoniano , que gera as evoluções no tempo (em unidades onde ), onde está a “força de interação”, que possui unidades de tempo inverso. Suponha um tempo de interação fixo e que seja pequeno, tanto assim . Uma expansão em série de ofertas ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle | \ Psi \ rangle = | \ psi \ rangle \ otimes | \ phi \ rangle}$ ${\ displaystyle H = A \ otimes B}$${\ displaystyle U (t) = \ exp [-ixtH]}$${\ displaystyle \ hbar = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t = \ Delta t}$${\ displaystyle \ lambda = x \ Delta t}$${\ displaystyle \ lambda ^ {3} \ approx 0}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} U & = I \ otimes Ii \ lambda H - {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {2} H ^ {2} + O (\ lambda ^ {3}) \\ & \ approx I \ otimes Ii \ lambda A \ otimes B - {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {2} A ^ {2} \ otimes B ^ {2}. \ end {alinhado} }}$

Como foi necessário apenas expandir o unitário para uma ordem inferior na teoria de perturbação, chamamos isso de interação fraca. Além disso, o fato de que o unitário é predominantemente o operador de identidade, como e são pequenos, implica que o estado após a interação não é radicalmente diferente do estado inicial. O estado combinado do sistema após a interação é ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda ^ {2}}$

${\ displaystyle | \ Psi '\ rangle = \ left (I \ otimes Ii \ lambda A \ otimes B - {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {2} A ^ {2} \ otimes B ^ { 2} \ right) | \ Psi \ rangle.}$

Agora realizamos uma medição no ancilla para descobrir mais sobre o sistema, isso é conhecido como medição acoplada ao ancilla. Vamos considerar as medições em uma base (no sistema ancilla) de tal forma que . A ação da medição em ambos os sistemas é descrita pela ação dos projetores no estado da junta . A partir da teoria da medição quântica , sabemos o estado condicional após a medição ser ${\ displaystyle | q \ rangle}$${\ textstyle \ sum _ {q} | q \ rangle \ langle q | = I}$${\ displaystyle \ Pi _ {q} = I \ otimes | q \ rangle \ langle q |}$${\ displaystyle | \ Psi '\ rangle}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} | \ Psi _ {q} \ rangle & = {\ frac {\ Pi _ {q} | \ Psi '\ rangle} {\ sqrt {\ langle \ Psi' | \ Pi _ {q} | \ Psi '\ rangle}}} \\ & = {\ frac {I \ langle q | \ phi \ rangle -i \ lambda A \ langle q | B | \ phi \ rangle - {\ frac {1 } {2}} \ lambda ^ {2} A ^ {2} \ langle q | B ^ {2} | \ phi \ rangle} {\ mathcal {N}}} | \ psi \ rangle \ otimes | q \ rangle , \ end {alinhado}}}$

onde é um fator de normalização para a função de onda. Observe que o estado do sistema ancilla registra o resultado da medição. O objeto é um operador no espaço de Hilbert do sistema e é chamado de operador Kraus . ${\ textstyle {\ mathcal {N}} = {\ sqrt {\ langle \ Psi '| \ Pi _ {q} | \ Psi' \ rangle}}}$${\ textstyle M_ {q}: = I \ langle q | \ phi \ rangle -i \ lambda A \ langle q | B | \ phi \ rangle - {\ frac {1} {2}} \ lambda ^ {2} A ^ {2} \ langle q | B ^ {2} | \ phi \ rangle}$

Com relação aos operadores Kraus, o estado pós-medição do sistema combinado é

${\ displaystyle | \ Psi _ {q} \ rangle = {\ frac {M_ {q} | \ psi \ rangle} {\ sqrt {\ langle \ psi | M_ {q} ^ {\ dagger} M_ {q} | \ psi \ rangle}}} \ otimes | q \ rangle.}$

Os objetos são elementos do que é chamado de POVM e deve obedecer a fim de que as probabilidades correspondentes somar à unidade: . Como o sistema ancilla não está mais correlacionado com o sistema primário, ele simplesmente registra o resultado da medição, podemos rastreá -lo. Isso fornece o estado condicional do sistema primário sozinho: ${\ displaystyle E_ {q} = M_ {q} ^ {\ dagger} M_ {q}}$${\ textstyle \ sum _ {q} E_ {q} = I}$${\ textstyle \ sum _ {q} \ Pr (q | \ psi) = \ sum _ {q} \ langle \ psi | E_ {q} | \ psi \ rangle = 1}$

${\ displaystyle | \ psi _ {q} \ rangle = {\ frac {M_ {q} | \ psi \ rangle} {\ sqrt {\ langle \ psi | M_ {q} ^ {\ dagger} M_ {q} | \ psi \ rangle}}},}$

que ainda rotulamos pelo resultado da medição . Na verdade, essas considerações permitem derivar uma trajetória quântica . ${\ displaystyle q}$

Operadores Kraus de exemplo

Usaremos o exemplo canônico de operadores Gaussianos Kraus dado por Barchielli, Lanz, Prosperi; e Caves e Milburn. Veja , onde a posição e o momento em ambos os sistemas têm a relação de comutação canônica usual . Pegue a função de onda inicial da ancilla para ter uma distribuição Gaussiana ${\ displaystyle H = x \ otimes p}$ ${\ displaystyle [x, p] = i}$

${\ displaystyle | \ Phi \ rangle = {\ frac {1} {(2 \ pi \ sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} \ int dq '\ exp [-q' ^ {2} / (4 \ sigma ^ {2})] | q '\ rangle.}$

A função de onda de posição da ancilla é

${\ displaystyle \ Phi (q) = \ langle q | \ Phi \ rangle = {\ frac {1} {(2 \ pi \ sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} \ exp [-q ^ {2} / (4 \ sigma ^ {2})].}$

Os operadores Kraus são (em comparação com a discussão acima, definimos ) ${\ displaystyle \ lambda = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {align} M (q) & = \ langle q | \ exp [-ix \ otimes p] | \ Phi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {(2 \ pi \ sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} \ exp [- (qx) ^ {2} / (4 \ sigma ^ {2})], \ end {alinhado}}}$

enquanto os elementos POVM correspondentes são

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E (q) & = M_ {q} ^ {\ dagger} M_ {q} \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2 }}}} \ exp [- (qx) ^ {2} / (2 \ sigma ^ {2})], \ end {alinhado}}}$

que obedecem . Uma representação alternativa é freqüentemente vista na literatura. Usando a representação espectral do operador de posição , podemos escrever ${\ textstyle \ int dq \, E (q) = I}$${\ textstyle x = \ int x'dx '| x' \ rangle \ langle x '|}$

${\ displaystyle {\ begin {align} M (q) & = {\ frac {1} {(2 \ pi \ sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} \ int dx '\ exp [- ( q-x ') ^ {2} / (4 \ sigma ^ {2})] | x' \ rangle \ langle x '|, \\ E (q) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} \ int dx '\ exp [- (q-x') ^ {2} / (2 \ sigma ^ {2})] | x '\ rangle \ langle x' | . \ end {alinhado}}}$

Observe isso . Ou seja, em um determinado limite esses operadores se limitam a uma forte medição de posição; para outros valores de, nos referimos à medição como resistência finita; e como , dizemos que a medição é fraca. ${\ textstyle \ lim _ {\ sigma \ to 0} E (q) = | x = q \ rangle \ langle x = q |}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma \ to \ infty}$

Compensação ganho de informação-perturbação

Como afirmado acima, o teorema de Busch impede um almoço grátis: não pode haver ganho de informação sem perturbação. No entanto, a compensação entre ganho de informação e perturbação foi caracterizada por muitos autores, incluindo Fuchs e Peres ; Fuchs; Fuchs e Jacobs; e Banaszek.

Recentemente, a relação de troca de informação-ganho-perturbação foi examinada no contexto do que é chamado de "lema da medição suave".

Formulários

Desde os primeiros dias, ficou claro que o uso principal da medição fraca seria para controle de feedback ou medições adaptativas de sistemas quânticos. Na verdade, isso motivou grande parte do trabalho de Belavkin, e um exemplo explícito foi dado por Caves e Milburn. Uma das primeiras aplicações de medições fracas adaptativas foi a do receptor de Dolinar , que foi realizada experimentalmente. Outra aplicação interessante de medições fracas é usar medições fracas seguidas por uma unidade, possivelmente condicional ao resultado da medição fraca, para sintetizar outras medições generalizadas. O livro de Wiseman e Milburn é uma boa referência para muitos dos desenvolvimentos modernos.

Leitura adicional

• Artigo de Brun
• Artigo de Jacobs e Steck
• Quantum Measurement Theory and its Applications, K. Jacobs (Cambridge Press, 2014) ISBN  9781107025486
• Quantum Measurement and Control, HM Wiseman e GJ Milburn (Cambridge Press, 2009)
• Artigo de Tamir e Cohen

Referências