Vibração -Vibration

A vibração é um fenômeno mecânico pelo qual ocorrem oscilações em torno de um ponto de equilíbrio . A palavra vem do latim vibraem ("agitar, brandir"). As oscilações podem ser periódicas , como o movimento de um pêndulo — ou aleatórias , como o movimento de um pneu em uma estrada de cascalho.

A vibração pode ser desejável: por exemplo, o movimento de um diapasão , a palheta de um instrumento de sopro ou gaita , um telefone celular ou o cone de um alto-falante .

Em muitos casos, no entanto, a vibração é indesejável, desperdiçando energia e criando sons indesejados . Por exemplo, os movimentos vibratórios de motores , motores elétricos ou qualquer dispositivo mecânico em operação são normalmente indesejados. Tais vibrações podem ser causadas por desequilíbrios nas partes rotativas, fricção desigual ou engrenamento dos dentes da engrenagem . Projetos cuidadosos geralmente minimizam vibrações indesejadas.

Os estudos do som e da vibração estão intimamente relacionados. O som, ou ondas de pressão , são gerados por estruturas vibrantes (por exemplo, cordas vocais ); essas ondas de pressão também podem induzir a vibração de estruturas (por exemplo, tímpano ). Portanto, as tentativas de reduzir o ruído estão frequentemente relacionadas a questões de vibração.

Um dos possíveis modos de vibração de um tambor circular (ver outros modos ).
Suspensão do carro: O projeto do controle de vibração é realizado como parte da engenharia acústica , automotiva ou mecânica .

Vibrações de usinagem são comuns no processo de fabricação subtrativa .

tipos

A vibração livre ocorre quando um sistema mecânico é colocado em movimento com uma entrada inicial e pode vibrar livremente. Exemplos desse tipo de vibração são puxar uma criança para trás em um balanço e soltá-la, ou bater em um diapasão e deixá-lo tocar. O sistema mecânico vibra em uma ou mais de suas frequências naturais e amortece até a imobilidade.

A vibração forçada ocorre quando uma perturbação variável no tempo (carga, deslocamento, velocidade ou aceleração) é aplicada a um sistema mecânico. A perturbação pode ser uma entrada periódica e de estado estacionário, uma entrada transitória ou uma entrada aleatória. A entrada periódica pode ser uma perturbação harmônica ou não harmônica. Exemplos desses tipos de vibração incluem uma máquina de lavar balançando devido a um desequilíbrio, vibração de transporte causada por um motor ou estrada irregular ou a vibração de um prédio durante um terremoto. Para sistemas lineares, a frequência da resposta de vibração em estado estacionário resultante da aplicação de uma entrada harmônica periódica é igual à frequência da força ou movimento aplicado, com a magnitude da resposta dependente do sistema mecânico real.

Vibração amortecida: quando a energia de um sistema vibratório é gradualmente dissipada pelo atrito e outras resistências, diz-se que as vibrações são amortecidas. As vibrações reduzem gradualmente ou mudam de frequência ou intensidade ou cessam e o sistema permanece em sua posição de equilíbrio. Um exemplo desse tipo de vibração é a suspensão veicular amortecida pelo amortecedor .

Isolamento

O isolamento de vibração é o processo de isolar um objeto, como um equipamento, da fonte de vibrações.

A vibração é indesejável em muitos domínios, principalmente em sistemas de engenharia e espaços habitáveis, e métodos foram desenvolvidos para evitar a transferência de vibração para tais sistemas. As vibrações se propagam por meio de ondas mecânicas e certas ligações mecânicas conduzem vibrações com mais eficiência do que outras. O isolamento de vibração passiva faz uso de materiais e ligações mecânicas que absorvem e amortecem essas ondas mecânicas. O isolamento ativo de vibração envolve sensores e atuadores que produzem interferência perturbadora que cancela a vibração recebida.

teste

O teste de vibração é realizado pela introdução de uma função de força em uma estrutura, geralmente com algum tipo de agitador. Alternativamente, um DUT (dispositivo em teste) é anexado à "mesa" de um agitador. O teste de vibração é realizado para examinar a resposta de um dispositivo em teste (DUT) a um ambiente de vibração definido. A resposta medida pode ser a capacidade de funcionar no ambiente de vibração, vida de fadiga, frequências ressonantes ou saída de som de rangido e chocalho ( NVH ). O teste de rangido e chocalho é realizado com um tipo especial de agitador silencioso que produz níveis de som muito baixos durante a operação.

Para forçamento de frequência relativamente baixa (normalmente menos de 100 Hz), agitadores servo-hidráulicos (eletro-hidráulicos) são usados. Para frequências mais altas (tipicamente de 5 Hz a 2000 Hz), são usados ​​agitadores eletrodinâmicos. Geralmente, um ou mais pontos de "entrada" ou "controle" localizados no lado do DUT de um dispositivo de vibração são mantidos em uma aceleração especificada. Outros pontos de "resposta" podem apresentar níveis de vibração mais altos (ressonância) ou níveis de vibração mais baixos (anti-ressonância ou amortecimento) do que o(s) ponto(s) de controle. Freqüentemente, é desejável obter anti-ressonância para evitar que um sistema se torne muito ruidoso ou para reduzir a tensão em certas partes devido aos modos de vibração causados ​​por frequências de vibração específicas.

Os tipos mais comuns de serviços de teste de vibração conduzidos por laboratórios de teste de vibração são senoidais e aleatórios. Os testes de seno (uma frequência por vez) são realizados para pesquisar a resposta estrutural do dispositivo em teste (DUT). Durante o início da história dos testes de vibração, os controladores de máquinas de vibração estavam limitados apenas a controlar o movimento senoidal, portanto, apenas o teste senoidal era realizado. Mais tarde, controladores analógicos e digitais mais sofisticados foram capazes de fornecer controle aleatório (todas as frequências ao mesmo tempo). Um teste aleatório (todas as frequências ao mesmo tempo) é geralmente considerado para replicar mais de perto um ambiente do mundo real, como entradas de estrada para um automóvel em movimento.

A maioria dos testes de vibração é realizada em um "eixo DUT único" por vez, embora a maioria das vibrações do mundo real ocorra em vários eixos simultaneamente. O MIL-STD-810G, lançado no final de 2008, Test Method 527, exige testes de vários excitadores. O dispositivo de teste de vibração usado para conectar o DUT à mesa do agitador deve ser projetado para a faixa de frequência do espectro do teste de vibração. É difícil projetar um dispositivo de teste de vibração que duplique a resposta dinâmica (impedância mecânica) da montagem em uso real. Por esse motivo, para garantir a repetibilidade entre os testes de vibração, os acessórios de vibração são projetados para serem livres de ressonância dentro da faixa de frequência do teste. Geralmente, para luminárias menores e faixas de frequência mais baixas, o projetista pode ter como alvo um projeto de fixação livre de ressonâncias na faixa de frequência de teste. Isso se torna mais difícil à medida que o DUT aumenta e a frequência do teste aumenta. Nesses casos, estratégias de controle multiponto podem mitigar algumas das ressonâncias que podem estar presentes no futuro.

Alguns métodos de teste de vibração limitam a quantidade de crosstalk (movimento de um ponto de resposta em uma direção mutuamente perpendicular ao eixo em teste) que pode ser exibido pelo dispositivo de teste de vibração. Dispositivos especificamente projetados para rastrear ou registrar vibrações são chamados de vibroscópios .

Análise

A análise de vibração (VA), aplicada em ambiente industrial ou de manutenção, visa reduzir os custos de manutenção e o tempo de inatividade dos equipamentos, detectando falhas nos equipamentos. VA é um componente-chave de um programa de monitoramento de condição (CM) e é frequentemente referido como manutenção preditiva (PdM). Mais comumente, o VA é usado para detectar falhas em equipamentos rotativos (ventiladores, motores, bombas e caixas de engrenagens, etc.), como desequilíbrio, desalinhamento, falhas nos rolamentos do elemento rolante e condições de ressonância.

VA pode usar as unidades de Deslocamento, Velocidade e Aceleração exibidas como uma forma de onda de tempo (TWF), mas mais comumente o espectro é usado, derivado de uma rápida transformada de Fourier do TWF. O espectro de vibração fornece informações de frequência importantes que podem identificar o componente defeituoso.

Os fundamentos da análise de vibração podem ser compreendidos estudando o modelo simples massa-mola-amortecedor . De fato, mesmo uma estrutura complexa, como a carroceria de um automóvel, pode ser modelada como uma "soma" de modelos simples de massa-mola-amortecedor. O modelo massa-mola-amortecedor é um exemplo de oscilador harmônico simples . A matemática usada para descrever seu comportamento é idêntica a de outros osciladores harmônicos simples, como o circuito RLC .

Observação: este artigo não inclui as derivações matemáticas passo a passo, mas se concentra nas principais equações e conceitos de análise de vibração. Por favor, consulte as referências no final do artigo para derivações detalhadas.

Vibração livre sem amortecimento

Modelo de mola de massa simples

Para iniciar a investigação da massa-mola-amortecedor, assuma que o amortecimento é desprezível e que não há força externa aplicada à massa (ou seja, vibração livre). A força aplicada à massa pela mola é proporcional ao quanto a mola é esticada "x" (supondo que a mola já esteja comprimida devido ao peso da massa). A constante de proporcionalidade, k, é a rigidez da mola e possui unidades de força/distância (por exemplo, lbf/in ou N/m). O sinal negativo indica que a força está sempre se opondo ao movimento da massa ligada a ela:

A força gerada pela massa é proporcional à aceleração da massa dada pela segunda lei do movimento de Newton :

A soma das forças sobre a massa gera então esta equação diferencial ordinária :

Movimento harmônico simples do sistema massa-mola

Assumindo que o início da vibração começa esticando a mola pela distância de A e soltando, a solução para a equação acima que descreve o movimento da massa é:

Esta solução diz que vai oscilar com movimento harmônico simples que tem uma amplitude de A e uma frequência de f n . O número f n é chamado de freqüência natural não amortecida . Para o sistema massa-mola simples, f n é definido como:

Observação: a frequência angular ω (ω=2 π f ) com as unidades de radianos por segundo é frequentemente usada em equações porque simplifica as equações, mas normalmente é convertida em frequência comum (unidades de Hz ou ciclos equivalentes por segundo) ao indicar a frequência de um sistema. Se a massa e a rigidez do sistema forem conhecidas, a fórmula acima pode determinar a frequência na qual o sistema vibra uma vez colocado em movimento por uma perturbação inicial. Todo sistema vibratório possui uma ou mais frequências naturais que vibram ao mesmo tempo perturbadas. Essa relação simples pode ser usada para entender em geral o que acontece com um sistema mais complexo quando adicionamos massa ou rigidez. Por exemplo, a fórmula acima explica por que, quando um carro ou caminhão está totalmente carregado, a suspensão parece ″mais macia″ do que sem carga – a massa aumentou, reduzindo a frequência natural do sistema.

O que faz o sistema vibrar: do ponto de vista da conservação da energia

O movimento vibratório pode ser entendido em termos de conservação de energia . No exemplo acima, a mola foi estendida em um valor de x e, portanto, alguma energia potencial ( ) é armazenada na mola. Uma vez liberada, a mola tende a retornar ao seu estado não esticado (que é o estado de energia potencial mínimo) e no processo acelera a massa. No ponto em que a mola atingiu seu estado não esticado, toda a energia potencial que fornecemos ao esticá-la foi transformada em energia cinética ( ). A massa então começa a desacelerar porque agora está comprimindo a mola e, no processo, transferindo a energia cinética de volta ao seu potencial. Assim, a oscilação da mola equivale à transferência para frente e para trás da energia cinética em energia potencial. Nesse modelo simples, a massa continua a oscilar para sempre na mesma magnitude – mas em um sistema real, o amortecimento sempre dissipa a energia, levando a mola ao repouso.

Vibração livre com amortecimento

Modelo massa-mola-amortecedor

Quando um amortecedor "viscoso" é adicionado ao modelo, ele produz uma força que é proporcional à velocidade da massa. O amortecimento é chamado de viscoso porque modela os efeitos de um fluido dentro de um objeto. A constante de proporcionalidade c é chamada de coeficiente de amortecimento e possui unidades de força sobre velocidade (lbf⋅s/in ou N⋅s/m).

A soma das forças sobre a massa resulta na seguinte equação diferencial ordinária:

A solução para esta equação depende da quantidade de amortecimento. Se o amortecimento for pequeno o suficiente, o sistema ainda vibra – mas eventualmente, com o tempo, para de vibrar. Este caso é chamado de subamortecimento, que é importante na análise de vibração. Se o amortecimento aumentar apenas até o ponto em que o sistema não mais oscilar, o sistema atingiu o ponto de amortecimento crítico . Se o amortecimento for aumentado além do amortecimento crítico, o sistema é superamortecido . O valor que o coeficiente de amortecimento deve atingir para o amortecimento crítico no modelo massa-mola-amortecedor é:

Para caracterizar a quantidade de amortecimento em um sistema, uma razão chamada taxa de amortecimento (também conhecida como fator de amortecimento e % de amortecimento crítico) é usada. Essa taxa de amortecimento é apenas uma relação entre o amortecimento real e a quantidade de amortecimento necessária para atingir o amortecimento crítico. A fórmula para a razão de amortecimento ( ) do modelo massa-mola-amortecedor é:

Por exemplo, estruturas metálicas (por exemplo, fuselagens de aviões, virabrequins de motores) têm fatores de amortecimento inferiores a 0,05, enquanto as suspensões automotivas estão na faixa de 0,2 a 0,3. A solução para o sistema subamortecido para o modelo massa-mola-amortecedor é a seguinte:

Vibração livre com taxa de amortecimento de 0,1 e 0,3

O valor de X , a magnitude inicial e a mudança de fase , são determinados pelo quanto a mola é esticada. As fórmulas para esses valores podem ser encontradas nas referências.

Frequências naturais amortecidas e não amortecidas

Os principais pontos a serem observados na solução são o termo exponencial e a função cosseno. O termo exponencial define a rapidez com que o sistema “amortece” – quanto maior a taxa de amortecimento, mais rápido ele amortece para zero. A função cosseno é a parte oscilante da solução, mas a frequência das oscilações é diferente do caso não amortecido.

A frequência neste caso é chamada de "frequência natural amortecida" e está relacionada à frequência natural não amortecida pela seguinte fórmula:

A frequência natural amortecida é menor que a frequência natural não amortecida, mas para muitos casos práticos a taxa de amortecimento é relativamente pequena e, portanto, a diferença é desprezível. Portanto, a descrição amortecida e não amortecida é frequentemente descartada ao indicar a frequência natural (por exemplo, com taxa de amortecimento de 0,1, a frequência natural amortecida é apenas 1% menor que a não amortecida).

Os gráficos ao lado apresentam como as taxas de amortecimento de 0,1 e 0,3 afetam como o sistema “toca” ao longo do tempo. O que muitas vezes é feito na prática é medir experimentalmente a vibração livre após um impacto (por exemplo, por um martelo) e então determinar a frequência natural do sistema medindo a taxa de oscilação, bem como a taxa de amortecimento medindo a taxa de decair. A frequência natural e a taxa de amortecimento não são importantes apenas na vibração livre, mas também caracterizam como um sistema se comporta sob vibração forçada.

Massa da mola não amortecida
Massa da mola subamortecida
Massa da mola criticamente amortecida
Massa da mola superamortecida

Vibração forçada com amortecimento

O comportamento do modelo de amortecedor de massa de mola varia com a adição de uma força harmônica. Uma força deste tipo poderia, por exemplo, ser gerada por um desequilíbrio rotativo.

A soma das forças sobre a massa resulta na seguinte equação diferencial ordinária:

A solução de estado estacionário deste problema pode ser escrita como:

O resultado afirma que a massa oscilará na mesma frequência, f , da força aplicada, mas com um deslocamento de fase

A amplitude da vibração “X” é definida pela seguinte fórmula.

Onde “r” é definido como a razão da frequência da força harmônica sobre a frequência natural não amortecida do modelo massa-mola-amortecedor.

A mudança de fase, é definida pela seguinte fórmula.

Resposta de Vibração Forçada

O gráfico dessas funções, chamado de “resposta em frequência do sistema”, apresenta uma das características mais importantes na vibração forçada. Em um sistema levemente amortecido, quando a frequência de forçamento se aproxima da frequência natural ( ), a amplitude da vibração pode ficar extremamente alta. Esse fenômeno é chamado de ressonância (subseqüentemente, a frequência natural de um sistema é frequentemente chamada de frequência ressonante). Nos sistemas de mancais do rotor, qualquer velocidade de rotação que excite uma frequência ressonante é chamada de velocidade crítica .

Se ocorrer ressonância em um sistema mecânico, ela pode ser muito prejudicial – levando à eventual falha do sistema. Consequentemente, uma das principais razões para a análise de vibração é prever quando esse tipo de ressonância pode ocorrer e, então, determinar quais medidas tomar para evitar que ela ocorra. Como mostra o gráfico de amplitude, adicionar amortecimento pode reduzir significativamente a magnitude da vibração. Além disso, a magnitude pode ser reduzida se a frequência natural puder ser afastada da frequência de forçamento, alterando a rigidez ou a massa do sistema. Se o sistema não puder ser alterado, talvez a frequência de forçamento possa ser alterada (por exemplo, alterando a velocidade da máquina que gera a força).

A seguir estão alguns outros pontos em relação à vibração forçada mostrada nos gráficos de resposta de frequência.

  • Em uma dada relação de frequência, a amplitude da vibração, X , é diretamente proporcional à amplitude da força (por exemplo, se você dobrar a força, a vibração dobra)
  • Com pouco ou nenhum amortecimento, a vibração está em fase com a frequência de forçamento quando a relação de frequência r  < 1 e 180 graus fora de fase quando a relação de frequência r  > 1
  • Quando r  ≪ 1 a amplitude é apenas a deflexão da mola sob a força estática Esta deflexão é chamada de deflexão estática Portanto, quando r  ≪ 1 os efeitos do amortecedor e da massa são mínimos.
  • Quando r  ≫ 1 a amplitude da vibração é realmente menor que a deflexão estática Nesta região a força gerada pela massa ( F  =  ma ) é dominante porque a aceleração vista pela massa aumenta com a frequência. Como a deflexão observada na mola, X , é reduzida nessa região, a força transmitida pela mola ( F  =  kx ) à base é reduzida. Portanto, o sistema massa-mola-amortecedor está isolando a força harmônica da base de montagem – referido como isolamento de vibração . Mais amortecimento realmente reduz os efeitos do isolamento de vibração quando r  ≫ 1 porque a força de amortecimento ( F  =  cv ) também é transmitida para a base.
  • Qualquer que seja o amortecimento, a vibração está 90 graus fora de fase com a frequência de forçamento quando a relação de frequência r  = 1, o que é muito útil quando se trata de determinar a frequência natural do sistema.
  • Qualquer que seja o amortecimento, quando r  ≫ 1, a vibração está 180 graus fora de fase com a frequência de forçamento
  • Qualquer que seja o amortecimento, quando r  ≪ 1, a vibração está em fase com a frequência de forçamento

causas de ressonância

A ressonância é simples de entender se a mola e a massa forem vistas como elementos de armazenamento de energia – com a massa armazenando energia cinética e a mola armazenando energia potencial. Conforme discutido anteriormente, quando a massa e a mola não têm força externa atuando sobre elas, elas transferem energia para frente e para trás a uma taxa igual à frequência natural. Em outras palavras, para bombear energia eficientemente tanto para a massa quanto para a mola, é necessário que a fonte de energia alimente a energia a uma taxa igual à frequência natural. Aplicar uma força na massa e na mola é semelhante a empurrar uma criança no balanço, é necessário um empurrão no momento certo para que o balanço fique cada vez mais alto. Como no caso do balanço, a força aplicada não precisa ser alta para obter grandes movimentos, mas apenas adicionar energia ao sistema.

O amortecedor, em vez de armazenar energia, dissipa energia. Como a força de amortecimento é proporcional à velocidade, quanto mais movimento, mais o amortecedor dissipa a energia. Portanto, existe um ponto em que a energia dissipada pelo amortecedor é igual à energia adicionada pela força. Nesse ponto, o sistema atingiu sua amplitude máxima e continuará vibrando nesse nível enquanto a força aplicada permanecer a mesma. Se não houver amortecimento, não há nada para dissipar a energia e, teoricamente, o movimento continuará crescendo até o infinito.

Aplicando forças "complexas" ao modelo massa-mola-amortecedor

Em uma seção anterior, apenas uma força harmônica simples foi aplicada ao modelo, mas isso pode ser estendido consideravelmente usando duas poderosas ferramentas matemáticas. A primeira é a transformada de Fourier que pega um sinal em função do tempo ( domínio do tempo ) e o divide em seus componentes harmônicos em função da frequência ( domínio da frequência ). Por exemplo, aplicando uma força ao modelo massa-mola-amortecedor que repete o ciclo seguinte – uma força igual a 1  newton por 0,5 segundo e depois nenhuma força por 0,5 segundo. Este tipo de força tem a forma de uma onda quadrada de 1 Hz .

Como uma onda quadrada de 1 Hz pode ser representada como uma soma de ondas senoidais (harmônicos) e o espectro de frequência correspondente. Clique e vá para a resolução máxima para uma animação

A transformada de Fourier da onda quadrada gera um espectro de frequência que apresenta a magnitude dos harmônicos que compõem a onda quadrada (a fase também é gerada, mas normalmente é menos preocupante e, portanto, muitas vezes não é plotada). A transformada de Fourier também pode ser usada para analisar funções não periódicas , como transientes (por exemplo, impulsos) e funções aleatórias. A transformada de Fourier é quase sempre calculada usando o algoritmo de computador da transformada rápida de Fourier (FFT) em combinação com uma função de janela .

No caso de nossa força de onda quadrada, o primeiro componente é na verdade uma força constante de 0,5 newton e é representada por um valor de 0 Hz no espectro de frequência. O próximo componente é uma onda senoidal de 1 Hz com uma amplitude de 0,64. Isso é mostrado pela linha em 1 Hz. Os componentes restantes estão em frequências ímpares e é preciso uma quantidade infinita de ondas senoidais para gerar a onda quadrada perfeita. Portanto, a transformada de Fourier permite que você interprete a força como uma soma de forças senoidais aplicadas, em vez de uma força mais "complexa" (por exemplo, uma onda quadrada).

Na seção anterior, a solução de vibração foi dada para uma única força harmônica, mas a transformada de Fourier em geral fornece múltiplas forças harmônicas. A segunda ferramenta matemática, o princípio da superposição , permite a soma das soluções de múltiplas forças se o sistema for linear . No caso do modelo mola-massa-amortecedor, o sistema é linear se a força da mola for proporcional ao deslocamento e o amortecimento for proporcional à velocidade na amplitude de movimento de interesse. Assim, a solução para o problema da onda quadrada é somar a vibração prevista de cada uma das forças harmônicas encontradas no espectro de frequência da onda quadrada.

Modelo de resposta de frequência

A solução de um problema de vibração pode ser vista como uma relação entrada/saída – onde a força é a entrada e a saída é a vibração. A representação da força e vibração no domínio da frequência (magnitude e fase) permite a seguinte relação:

é chamada de função de resposta de frequência (também conhecida como função de transferência , mas não é tecnicamente tão precisa) e possui uma magnitude e um componente de fase (se representado como um número complexo , um componente real e imaginário). A magnitude da função de resposta em frequência (FRF) foi apresentada anteriormente para o sistema massa-mola-amortecedor.

A fase do FRF também foi apresentada anteriormente como:

Modelo de resposta de frequência

Por exemplo, calculando o FRF para um sistema massa-mola-amortecedor com massa de 1 kg, rigidez da mola de 1,93 N/mm e taxa de amortecimento de 0,1. Os valores da mola e da massa dão uma frequência natural de 7 Hz para este sistema específico. A aplicação da onda quadrada de 1 Hz anterior permite o cálculo da vibração prevista da massa. A figura ilustra a vibração resultante. Acontece neste exemplo que o quarto harmônico da onda quadrada cai em 7 Hz. A resposta de frequência da massa-mola-amortecedor, portanto, emite uma alta vibração de 7 Hz, mesmo que a força de entrada tenha um harmônico relativamente baixo de 7 Hz. Este exemplo destaca que a vibração resultante depende da função de forçamento e do sistema ao qual a força é aplicada.

A figura também mostra a representação no domínio do tempo da vibração resultante. Isso é feito executando uma Transformada de Fourier inversa que converte os dados do domínio da frequência para o domínio do tempo. Na prática, isso raramente é feito porque o espectro de frequência fornece todas as informações necessárias.

A função de resposta de frequência (FRF) não precisa necessariamente ser calculada a partir do conhecimento da massa, amortecimento e rigidez do sistema - mas pode ser medida experimentalmente. Por exemplo, se uma força conhecida em uma faixa de frequências for aplicada e se as vibrações associadas forem medidas, a função de resposta de frequência pode ser calculada, caracterizando assim o sistema. Esta técnica é utilizada no campo da análise modal experimental para determinar as características de vibração de uma estrutura.

Múltiplos graus de sistemas de liberdade e formas de modo

Modelo de dois graus de liberdade

O modelo simples massa-mola-amortecedor é a base da análise de vibração, mas e os sistemas mais complexos? O modelo massa-mola-amortecedor descrito acima é chamado de modelo de grau único de liberdade (SDOF), uma vez que se supõe que a massa se move apenas para cima e para baixo. Em sistemas mais complexos, o sistema deve ser discretizado em mais massas que se movem em mais de uma direção, adicionando graus de liberdade. Os principais conceitos de múltiplos graus de liberdade (MDOF) podem ser entendidos observando apenas um modelo de 2 graus de liberdade, conforme mostrado na figura.

As equações de movimento do sistema 2DOF são:

Isso pode ser reescrito em formato de matriz :

Uma forma mais compacta desta equação matricial pode ser escrita como:

onde e são matrizes simétricas referidas respectivamente como matrizes de massa, amortecimento e rigidez. As matrizes são NxN matrizes quadradas onde N é o número de graus de liberdade do sistema.

A análise a seguir envolve o caso em que não há amortecimento e não há forças aplicadas (isto é, vibração livre). A solução de um sistema viscosamente amortecido é um pouco mais complicada.

Esta equação diferencial pode ser resolvida assumindo o seguinte tipo de solução:

Nota: Usar a solução exponencial de é um truque matemático usado para resolver equações diferenciais lineares. Usando a fórmula de Euler e tomando apenas a parte real da solução, é a mesma solução de cosseno para o sistema 1 DOF. A solução exponencial é usada apenas porque é mais fácil de manipular matematicamente.

A equação então fica:

Como não pode ser igual a zero, a equação se reduz ao seguinte.

problema de autovalor

Isso é referido como um problema de autovalor em matemática e pode ser colocado no formato padrão pré-multiplicando a equação por

e se: e

A solução do problema resulta em N autovalores (ie ), onde N corresponde ao número de graus de liberdade. Os autovalores fornecem as frequências naturais do sistema. Quando esses autovalores são substituídos de volta no conjunto original de equações, os valores correspondentes a cada autovalor são chamados de autovetores . Esses autovetores representam as formas de modo do sistema. A solução de um problema de autovalor pode ser bastante incômoda (especialmente para problemas com muitos graus de liberdade), mas, felizmente, a maioria dos programas de análise matemática possui rotinas de autovalor.

Os autovalores e autovetores geralmente são escritos no seguinte formato de matriz e descrevem o modelo modal do sistema:

Um exemplo simples usando o modelo 2 DOF pode ajudar a ilustrar os conceitos. Deixe ambas as massas terem uma massa de 1 kg e a rigidez de todas as três molas igual a 1000 N/m. A matriz de massa e rigidez para este problema é então:

e

Então

Os autovalores para este problema fornecidos por uma rotina de autovalores são:

As frequências naturais nas unidades de hertz são então (lembrando ) e

As duas formas de modo para as respectivas frequências naturais são dadas como:

Como o sistema é um sistema de 2 DOF, existem dois modos com suas respectivas frequências e formas naturais. Os vetores de forma de modo não são o movimento absoluto, mas apenas descrevem o movimento relativo dos graus de liberdade. No nosso caso, o primeiro vetor modo de forma está dizendo que as massas estão se movendo juntas em fase, pois têm o mesmo valor e sinal. No caso do vetor de forma do segundo modo, cada massa está se movendo na direção oposta na mesma taxa.

Ilustração de um problema de DOF múltiplo

Quando há muitos graus de liberdade, um método de visualizar as formas de modo é animá-los usando software de análise estrutural como Femap , ANSYS ou VA One da ESI Group . Um exemplo de formas de modo de animação é mostrado na figura abaixo para uma viga I em balanço , conforme demonstrado usando a análise modal no ANSYS. Neste caso, o método dos elementos finitos foi utilizado para gerar uma aproximação das matrizes de massa e rigidez por meio da malha do objeto de interesse para resolver um problema de autovalores discretos . Observe que, neste caso, o método dos elementos finitos fornece uma aproximação da superfície malhada (para a qual existe um número infinito de modos e frequências de vibração). Portanto, este modelo relativamente simples que tem mais de 100 graus de liberdade e, portanto, muitas frequências naturais e formas de modo, fornece uma boa aproximação para as primeiras frequências e modos naturais. Geralmente, apenas os primeiros modos são importantes para aplicações práticas.

Nesta tabela, são visualizados o primeiro e o segundo (superior e inferior, respectivamente) modos de vibração de flexão horizontal (esquerda), torção (meio) e flexão vertical (direita) de uma viga em I. Existem também outros tipos de modos vibracionais nos quais o feixe é comprimido / estendido nas direções de altura, largura e comprimento, respectivamente.
As formas de modo de uma viga I em balanço
Modo de feixe 1.gif
Modo de feixe 2.gif
Modo de feixe 3.gif
Modo de feixe 4.gif
Modo de feixe 5.gif
Modo de feixe 6.gif

^ Observe que ao realizar uma aproximação numérica de qualquer modelo matemático, a convergência dos parâmetros de interesse deve ser verificada.

Múltiplos problemas de DOF convertidos em um único problema de DOF

Os autovetores têm propriedades muito importantes chamadas propriedades de ortogonalidade. Essas propriedades podem ser usadas para simplificar bastante a solução de modelos com vários graus de liberdade. Pode-se mostrar que os autovetores têm as seguintes propriedades:

e são matrizes diagonais que contêm os valores de massa modal e rigidez para cada um dos modos. (Observação: como os autovetores (formas de modo) podem ser dimensionados arbitrariamente, as propriedades de ortogonalidade são frequentemente usadas para dimensionar os autovetores, de modo que o valor da massa modal para cada modo seja igual a 1. A matriz de massa modal é, portanto, uma matriz de identidade )

Essas propriedades podem ser usadas para simplificar bastante a solução de modelos com vários graus de liberdade, fazendo a seguinte transformação de coordenadas.

O uso dessa transformação de coordenadas na equação diferencial de vibração livre original resulta na seguinte equação.

Aproveitando as propriedades de ortogonalidade pré-multiplicando esta equação por

As propriedades de ortogonalidade simplificam esta equação para:

Esta equação é a base da análise de vibração para sistemas de múltiplos graus de liberdade. Um tipo similar de resultado pode ser obtido para sistemas amortecidos. A chave é que as matrizes de massa e rigidez modal são matrizes diagonais e, portanto, as equações foram "desacopladas". Em outras palavras, o problema foi transformado de um grande e pesado problema de múltiplos graus de liberdade em muitos problemas de um único grau de liberdade que podem ser resolvidos usando os mesmos métodos descritos acima.

Resolver para x é substituído por resolver para q , referido como as coordenadas modais ou fatores de participação modais.

Pode ser mais claro entender se for escrito como:

Escrito desta forma, pode-se ver que a vibração em cada um dos graus de liberdade é apenas uma soma linear das formas dos modos. Além disso, o quanto cada modo "participa" da vibração final é definido por q, seu fator de participação modal.

Modo de corpo rígido

Um sistema de vários graus de liberdade irrestrito experimenta translação de corpo rígido e/ou rotação e vibração. A existência de um modo de corpo rígido resulta em uma frequência natural zero. A forma de modo correspondente é chamada de modo de corpo rígido.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos