Vector (matemática e física) - Vector (mathematics and physics)

Em matemática e física , um vetor é um elemento de um espaço vetorial .

Para muitos espaços vetoriais específicos, os vetores receberam nomes específicos, que estão listados abaixo.

Historicamente, os vetores foram introduzidos na geometria e na física (tipicamente na mecânica ) antes da formalização do conceito de espaço vetorial. Portanto, muitas vezes se fala em vetores sem especificar o espaço vetorial a que pertencem. Especificamente, em um espaço euclidiano , consideram-se vetores espaciais , também chamados de vetores euclidianos, que são usados ​​para representar quantidades que têm magnitude e direção, e podem ser adicionados , subtraídos e escalados (ou seja, multiplicados por um número real ) para formar um espaço vetorial .

Vetores em geometria euclidiana

Na geometria euclidiana clássica (ie, geometria sintética ), os vetores foram introduzidos (durante o século 19) como classes de equivalência sob equipolência , de pares ordenados de pontos; dois pares ( A , B ) e ( C , D ) sendo equipolentes se os pontos A , B , D , C , nesta ordem, formarem um paralelogramo . Essa classe de equivalência é chamada de vetor , mais precisamente, vetor euclidiano . A classe de equivalência de ( A , B ) é frequentemente denotada

Um vetor euclidiano é, portanto, uma classe de equivalência de segmentos direcionados com a mesma magnitude (por exemplo, o comprimento do segmento de linha ( A , B ) ) e mesma direção (por exemplo, a direção de A para B ). Na física, os vetores euclidianos são usados ​​para representar quantidades físicas que têm magnitude e direção, mas não estão localizadas em um lugar específico, ao contrário dos escalares , que não têm direção. Por exemplo, velocidade , forças e aceleração são representadas por vetores.

Na geometria moderna, os espaços euclidianos são freqüentemente definidos a partir da álgebra linear . Mais precisamente, um espaço euclidiano E é definido como um conjunto ao qual está associado um espaço produto interno de dimensão finita sobre os reais e uma acção de grupo do grupo de aditivos de que é livre e transitória (Veja espaço afim para detalhes desta construção) . Os elementos de são chamados de traduções .

Provou-se que as duas definições de espaços euclidianos são equivalentes, e que as classes de equivalência sob equipolência podem ser identificadas com traduções.

Às vezes, os vetores euclidianos são considerados sem referência a um espaço euclidiano. Nesse caso, um vetor euclidiano é um elemento de um espaço vetorial normatizado de dimensão finita sobre os reais, ou, normalmente, um elemento equipado com o produto escalar . Isso faz sentido, já que a adição em tal espaço vetorial age livre e transitivamente no próprio espaço vetorial. Ou seja, é um espaço euclidiano, com ele mesmo como um espaço vetorial associado e o produto escalar como um produto interno.

O espaço euclidiano é freqüentemente apresentado como o espaço euclidiano de dimensão n . Isso é motivado pelo fato de que todo espaço euclidiano de dimensão n é isomórfico ao espaço euclidiano. Mais precisamente, dado um tal espaço euclidiano, pode-se escolher qualquer ponto O como origem . Pelo processo de Gram-Schmidt , também se pode encontrar uma base ortonormal do espaço vetorial associado (uma base tal que o produto interno de dois vetores de base é 0 se eles forem diferentes e 1 se forem iguais). Isso define as coordenadas cartesianas de qualquer ponto P do espaço, como as coordenadas com base no vetor. Essas escolhas definem um isomorfismo do espaço euclidiano dado no mapeamento de qualquer ponto para o n- quíntuplo de suas coordenadas cartesianas, e cada vetor para seu vetor de coordenadas .

Vetores específicos em um espaço vetorial

Vetores em espaços vetoriais específicos

  • Vetor coluna , uma matriz com apenas uma coluna. Os vetores de coluna com um número fixo de linhas formam um espaço vetorial.
  • Vetor linha , uma matriz com apenas uma linha. Os vetores de linha com um número fixo de colunas formam um espaço vetorial.
  • Vetor de coordenadas , a n- dupla das coordenadas de um vetor com base em n elementos. Para um espaço vetorial sobre um campo F , essas n- duplas formam o espaço vetorial (onde as operações são adição pontual e multiplicação escalar).
  • Vetor de deslocamento , um vetor que especifica a mudança na posição de um ponto em relação a uma posição anterior. Os vetores de deslocamento pertencem ao espaço vetorial das traduções .
  • Vetor de posição de um ponto, o vetor de deslocamento de um ponto de referência (denominado origem ) até o ponto. Um vetor de posição representa a posição de um ponto em um espaço euclidiano ou afim .
  • Vetor velocidade , a derivada, em relação ao tempo, do vetor posição. Não depende da escolha da origem, e, portanto, pertence ao espaço vetorial das traduções.
  • Pseudovetor , também chamado de vetor axial
  • Covector , um elemento do dual de um espaço vetorial. Em um espaço de produto interno , o produto interno define um isomorfismo entre o espaço e seu dual, o que pode dificultar a distinção entre um covetor e um vetor. A distinção se torna aparente quando se muda as coordenadas (não ortogonalmente).
  • Vetor tangente , um elemento do espaço tangente de uma curva , uma superfície ou, mais geralmente, uma variedade diferencial em um determinado ponto (esses espaços tangentes são naturalmente dotados de uma estrutura de espaço vetorial)
  • Vetor normal ou simplesmente normal , em um espaço euclidiano ou, mais geralmente, em um espaço de produto interno, um vetor que é perpendicular a um espaço tangente em um ponto.
  • Gradiente , o vetor de coordenadas das derivadas parciais de uma função de várias variáveis ​​reais . Em um espaço euclidiano, o gradiente fornece a magnitude e a direção do aumento máximo de um campo escalar . O gradiente é um covector normal a uma curva de nível .
  • Quatro vetores , na teoria da relatividade , um vetor em um espaço vetorial real quadridimensional denominado espaço de Minkowski

Tuplas que não são realmente vetores

O conjunto de tuplas de n números reais tem uma estrutura natural de espaço vetorial definida por adição de componentes e multiplicação escalar . Quando tais tuplas são utilizadas para representar alguns dados, é comum chamá-las de vetores , mesmo que a adição do vetor não signifique nada para esses dados, o que pode tornar a terminologia confusa. Da mesma forma, alguns fenômenos físicos envolvem uma direção e uma magnitude. Eles são freqüentemente representados por vetores, mesmo que as operações de espaços vetoriais não se apliquem a eles.

Vetores em álgebras

Cada álgebra sobre um campo é um espaço vetorial, mas os elementos de uma álgebra geralmente não são chamados de vetores. Porém, em alguns casos, são chamados de vetores , principalmente por motivos históricos.

Veja também

Espaços vetoriais com mais estrutura

Campos vetoriais

Um campo de vetor é uma função com valor de vetor que, geralmente, tem um domínio da mesma dimensão (como uma variedade ) que seu codomínio,

Diversos

  • Cálculo de Ricci
  • Vector Analysis , um livro sobre cálculo vetorial de Wilson , publicado pela primeira vez em 1901, que muito contribuiu para padronizar a notação e o vocabulário da álgebra linear tridimensional e do cálculo vetorial
  • Feixe vetorial , uma construção topológica que torna precisa a ideia de uma família de espaços vetoriais parametrizados por outro espaço
  • Cálculo vetorial , um ramo da matemática preocupado com a diferenciação e integração de campos vetoriais
  • Diferencial vetorial , ou del , um operador diferencial vetorial representado pelo símbolo nabla
  • O vetor Laplaciano , o operador vetorial de Laplace, denotado por , é um operador diferencial definido sobre um campo vetorial
  • Notação vetorial , notação comum usada ao trabalhar com vetores
  • Operador vetorial , um tipo de operador diferencial usado em cálculo vetorial
  • Produto vetorial , ou produto vetorial , uma operação em dois vetores em um espaço euclidiano tridimensional, produzindo um terceiro vetor euclidiano tridimensional
  • Projeção vetorial , também conhecida como vetor resoluto ou componente vetorial , um mapeamento linear que produz um vetor paralelo a um segundo vetor
  • Função com valor vetorial , uma função que tem um espaço vetorial como um codomínio
  • Vetorização (matemática) , uma transformação linear que converte uma matriz em um vetor coluna
  • Vetor autorregressão , um modelo econométrico usado para capturar a evolução e as interdependências entre várias séries temporais
  • Bóson vetorial , um bóson com o número quântico de spin igual a 1
  • Medida vetorial , uma função definida em uma família de conjuntos e tomando valores vetoriais que satisfazem certas propriedades
  • Méson vetorial , um méson com spin 1 total e paridade ímpar
  • Quantização vetorial , uma técnica de quantização usada no processamento de sinais
  • Soliton vetorial , uma onda solitária com vários componentes acoplados que mantém sua forma durante a propagação
  • Síntese vetorial , um tipo de síntese de áudio

Notas