Desigualdade de Turán-Kubilius - Turán–Kubilius inequality

A desigualdade de Turán – Kubilius é um teorema matemático na teoria probabilística dos números . É útil para provar resultados sobre a ordem normal de uma função aritmética . O teorema foi provado em um caso especial em 1934 por Pál Turán e generalizado em 1956 e 1964 por Jonas Kubilius .

Declaração do teorema

Esta formulação é de Tenenbaum . Outras formulações estão em Narkiewicz e em Cojocaru & Murty.

Suponha que f seja uma função aritmética aditiva de valor complexo e escreva p para um primo arbitrário e ν para um número inteiro positivo arbitrário. Escreva

e

Então existe uma função ε ( x ) que vai para zero quando x vai para o infinito, e tal que para x ≥ 2 temos

Aplicações do teorema

Turán desenvolveu a desigualdade para criar uma prova mais simples do teorema de Hardy – Ramanujan sobre a ordem normal do número ω ( n ) de divisores primos distintos de um inteiro n . Há uma exposição da prova de Turán em Hardy & Wright, §22.11. Tenenbaum dá uma prova do teorema de Hardy – Ramanujan usando a desigualdade de Turán – Kubilius e afirma sem prova várias outras aplicações.

Notas