Método da matriz da linha de transmissão - Transmission-line matrix method

O método da matriz da linha de transmissão (TLM) é um método de discretização de espaço e tempo para cálculo de campos eletromagnéticos . Ele se baseia na analogia entre o campo eletromagnético e uma malha de linhas de transmissão . O método TLM permite o cálculo de estruturas eletromagnéticas tridimensionais complexas e provou ser um dos métodos de domínio de tempo mais poderosos, juntamente com o método de domínio de tempo de diferença finita ( FDTD ).

Principio básico

Exemplo de TLM 2D: um pulso de tensão incidente em dois eventos de espalhamento consecutivos.

O método TLM é baseado no modelo de propagação e espalhamento de ondas de Huygens e na analogia entre propagação de campo e linhas de transmissão. Portanto, considera o domínio computacional como uma malha de linhas de transmissão, interconectadas em nós. Na figura à direita é considerado um exemplo simples de uma malha TLM 2D com um pulso de tensão de amplitude 1 V incidente no nó central. Este pulso será parcialmente refletido e transmitido de acordo com a teoria da linha de transmissão. Se assumirmos que cada linha tem uma impedância característica , então o pulso incidente vê efetivamente três linhas de transmissão em paralelo com uma impedância total de . O coeficiente de reflexão e o coeficiente de transmissão são dados por ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z / 3}$

${\ displaystyle R = {\ frac {Z / 3-Z} {Z / 3 + Z}} = - 0,5}$

${\ displaystyle T = {\ frac {2 (Z / 3)} {Z / 3 + Z}} = 0,5}$

A energia injetada no nó pelo pulso incidente e a energia total dos pulsos espalhados são correspondentemente

${\ displaystyle E_ {I} = vi \, \ Delta t = 1 \ left (1 / Z \ right) \ Delta t = \ Delta t / Z}$

${\ displaystyle E_ {S} = \ left [0,5 ^ {2} + 0,5 ^ {2} + 0,5 ^ {2} + (- 0,5) ^ {2} \ right] (\ Delta t / Z) = \ Delta t / Z}$

Portanto, a lei de conservação de energia é cumprida pelo modelo.

O próximo evento de espalhamento excita os nós vizinhos de acordo com o princípio descrito acima. Pode-se observar que cada nó se transforma em uma fonte secundária de onda esférica. Essas ondas se combinam para formar a forma de onda geral. Isso está de acordo com o princípio de propagação da luz de Huygens.

Para mostrar o esquema TLM, usaremos a discretização de tempo e espaço. O intervalo de tempo será denotado com e os intervalos de discretização do espaço com , e . O movimento absoluto será, portanto , , , , em que é o instante no tempo e são as coordenadas de células. Caso o valor seja utilizado, que é a constante de rede . Neste caso, o seguinte é válido: ${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta y}$${\ displaystyle \ Delta z}$${\ displaystyle t = k \, \ Delta t}$${\ displaystyle x = l \, \ Delta x}$${\ displaystyle y = m \, \ Delta y}$${\ displaystyle z = n \, \ Delta z}$${\ displaystyle k = 0,1,2, \ ldots}$${\ displaystyle m, n, l}$${\ displaystyle \ Delta x = \ Delta y = \ Delta z}$${\ displaystyle \ Delta l}$

${\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ Delta l} {c_ {0}}},}$

onde está a velocidade da luz no espaço livre. ${\ displaystyle c_ {0}}$

O nó TLM 2D

A matriz de espalhamento de um nó TLM 2D

Um nó TLM da série 2D

Se considerarmos uma distribuição de campo eletromagnético em que os únicos componentes diferentes de zero são , e (ou seja, uma distribuição de modo TE), então as equações de Maxwell em coordenadas cartesianas reduzem a ${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle H_ {z}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {H_ {z}}} {\ partial {y}}} = \ varepsilon {\ frac {\ partial {E_ {x}}} {\ partial {t}}}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {H_ {z}}} {\ partial {x}}} = \ varepsilon {\ frac {\ partial {E_ {y}}} {\ partial {t}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {E_ {y}}} {\ partial {x}}} - {\ frac {\ partial {E_ {x}}} {\ partial {y}}} = - \ mu {\ frac {\ parcial {H_ {z}}} {\ parcial {t}}}}$

Podemos combinar essas equações para obter

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} H_ {z}} {\ partial {x} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} {H_ {z}}} {\ parcial {y} ^ {2}}} = \ mu \ varepsilon {\ frac {\ parcial ^ {2} {H_ {z}}} {\ parcial {t} ^ {2}}}}$

A figura à direita apresenta uma estrutura denominada nó série . Ele descreve um bloco de dimensões de espaço , e que consiste em quatro portas. e são a indutância e capacitância distribuídas das linhas de transmissão. É possível mostrar que um nó série é equivalente a uma onda TE, mais precisamente a corrente da malha I , as tensões de direção x (portas 1 e 3) e as tensões de direção y (portas 2 e 4) podem estar relacionadas para os componentes do campo , e . Se as tensões nas portas forem consideradas ,, e a polaridade da figura acima for mantida, então o seguinte é válido ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta y}$${\ displaystyle \ Delta z}$${\ displaystyle L '}$${\ displaystyle C '}$${\ displaystyle H_ {z}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle L_ {x} = L_ {y}}$

${\ displaystyle -V_ {1} + V_ {2} + V_ {3} -V_ {4} = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ parcial {I}} {\ parcial {t}}}}$

onde . ${\ displaystyle \ Delta x = \ Delta y = \ Delta l}$

${\ displaystyle \ left (V_ {3} -V_ {1} \ right) - \ left (V_ {4} -V_ {2} \ right) = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ parcial I} {\ parcial t}}}$

${\ displaystyle \ left [E_ {x} (y + \ Delta y) -E_ {x} (y) \ right] \, \ Delta x- [E_ {y} (x + \ Delta x) -E_ {y} ( x)] \ Delta y = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ parcial {I}} {\ parcial {t}}}}$

e dividindo os dois lados por ${\ displaystyle \ Delta x \ Delta y}$

${\ displaystyle {\ frac {E_ {x} (y + \ Delta y) -E_ {x} (y)} {\ Delta y}} - {\ frac {E_ {y} (x + \ Delta x) -E_ { y} (x)} {\ Delta x}} = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ parcial {I}} {\ parcial {t}}} {\ frac {1} {\ Delta x \, \ Delta y}}}$

Desde e substituindo dá ${\ displaystyle \ Delta x = \ Delta y = \ Delta z = \ Delta l}$${\ displaystyle I = H_ {z} \, \ Delta z}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta E_ {x}} {\ Delta y}} - {\ frac {\ Delta E_ {y}} {\ Delta x}} = 2L '{\ frac {\ parcial H_ {z }} {\ parcial t}}}$

Isso se reduz às equações de Maxwell quando . ${\ displaystyle \ Delta l \ rightarrow 0}$

Da mesma forma, usando as condições entre os capacitores nas portas 1 e 4, pode ser mostrado que as duas outras equações de Maxwell correspondentes são as seguintes:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {H_ {z}}} {\ partial {y}}} = C '{\ frac {\ partial {E_ {x}}} {\ partial {t}}}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {H_ {z}}} {\ partial {x}}} = C '{\ frac {\ partial {E_ {y}}} {\ partial {t}}}}$

Com esses resultados, é possível calcular a matriz de espalhamento de um nó shunt. O pulso de tensão incidente na porta 1 na etapa de tempo k é denotado como . Substituindo os quatro segmentos de linha da figura acima por seus equivalentes de Thevenin , é possível mostrar que a seguinte equação para o pulso de tensão refletido se mantém: ${\ displaystyle _ {k} V_ {1} ^ {i}}$

${\ displaystyle _ {k} V_ {1} ^ {r} = 0,5 \ left (_ {k} V_ {1} ^ {i} + _ {k} V_ {2} ^ {i} + _ {k} V_ {3} ^ {i} -_ {k} V_ {4} ^ {i} \ right)}$

Se todas as ondas incidentes, bem como todas as ondas refletidas, forem coletadas em um vetor, então esta equação pode ser escrita para todas as portas na forma de matriz:

${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {V} ^ {r} = \ mathbf {S} _ {k} \ mathbf {V} ^ {i}}$

onde e são o incidente e os vetores de amplitude de pulso refletido. ${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {V} ^ {i}}$${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {V} ^ {r}}$

Para um nó de série, a matriz de espalhamento S tem a seguinte forma

${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ begin {array} {cccc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 \ end {array}} \ right]}$

Conexão entre nós TLM

Um nó TLM da série 2D

Para descrever a conexão entre nós adjacentes por uma malha de nós em série, observe a figura à direita. Como o pulso incidente na etapa de tempo k + 1 em um nó é o pulso espalhado de um nó adjacente na etapa de tempo k , as seguintes equações de conexão são derivadas:

${\ displaystyle _ {k + 1} V_ {1} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {3} ^ {r} (x, y-1)}$

${\ displaystyle _ {k + 1} V_ {2} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {4} ^ {r} (x-1, y)}$

${\ displaystyle _ {k + 1} V_ {3} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {1} ^ {r} (x, y + 1)}$

${\ displaystyle _ {k + 1} V_ {4} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {2} ^ {r} (x + 1, y)}$

Ao modificar a matriz de espalhamento, materiais não homogêneos e com perdas podem ser modelados. Ajustando as equações de conexão, é possível simular diferentes limites. ${\ displaystyle {\ textbf {S}}}$

O nó TLM shunt

Além do nó em série, descrito acima, há também o nó TLM shunt , que representa uma distribuição de campo no modo TM. Os componentes apenas diferentes de zero de tal onda são , e . Com considerações semelhantes às do nó série, a matriz de espalhamento do nó shunt pode ser derivada. ${\ displaystyle H_ {x}}$${\ displaystyle H_ {y}}$${\ displaystyle E_ {z}}$

Modelos 3D TLM

Um nó condensado simétrico 3D

A maioria dos problemas em eletromagnetismo requer uma grade tridimensional. Como agora temos estruturas que descrevem as distribuições de campo TE e TM, intuitivamente parece possível definir uma combinação de nós de shunt e série fornecendo uma descrição completa do campo eletromagnético. Essas tentativas foram feitas, mas por causa da complexidade das estruturas resultantes, elas se mostraram não muito úteis. O uso da analogia apresentada acima leva ao cálculo dos diferentes componentes do campo em pontos fisicamente separados. Isso causa dificuldades em fornecer definições de limites simples e eficientes. Uma solução para esses problemas foi fornecida por Johns em 1987, quando ele propôs a estrutura conhecida como nó condensado simétrico (SCN), apresentada na figura à direita. Consiste em 12 portas porque duas polarizações de campo devem ser atribuídas a cada um dos 6 lados de uma célula em malha.

A topologia do SCN não pode ser analisada usando circuitos equivalentes de Thévenin. Princípios mais gerais de conservação de energia e carga devem ser usados.

Os campos elétricos e magnéticos nos lados do número do nó SCN (l, m, n) no instante de tempo k podem ser resumidos em vetores de 12 dimensões

${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {E} _ {l, m, n} = _ {k} \ left [E_ {1}, E_ {2}, \ ldots, E_ {11}, E_ {12} \ direita] _ {l, m, n} ^ {T}}$

${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {H} _ {l, m, n} = _ {k} \ left [H_ {1}, H_ {2}, \ ldots, H_ {11}, H_ {12} \ direita] _ {l, m, n} ^ {T}}$

Eles podem ser ligados aos vetores de amplitude incidente e espalhado via

${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {a} _ {l, m, n} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {Z_ {F}}}}} {_ {k} \ mathbf {E }} _ {l, m, n} + {\ frac {\ sqrt {Z_ {F}}} {2}} {_ {k} \ mathbf {H}} _ {l, m, n}}$

${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {b} _ {l, m, n} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {Z_ {F}}}}} {_ {k} \ mathbf {E }} _ {l, m, n} - {\ frac {\ sqrt {Z_ {F}}} {2}} {_ {k} \ mathbf {H}} _ {l, m, n}}$

onde é a impedância do campo, é o vetor das amplitudes das ondas incidentes ao nó e é o vetor das amplitudes espalhadas. A relação entre as ondas incidentes e dispersas é dada pela equação matricial ${\ displaystyle Z_ {F} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}}}$${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {a} _ {l, m, n}}$${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {b} _ {l, m, n}}$

${\ displaystyle _ {k} \ mathbf {b} _ {l, m, n} = \ mathbf {S} _ {k} \ mathbf {a} _ {l, m, n}}$

A matriz de espalhamento S pode ser calculada. Para o nó condensado simétrico com portas definidas como na figura, o seguinte resultado é obtido

${\ displaystyle \ mathbf {S} = \ left [{\ begin {array} {ccc} 0 & \ mathbf {S} _ {0} & \ mathbf {S} _ {0} ^ {T} \\\ mathbf { S} _ {0} ^ {T} & 0 & \ mathbf {S} _ {0} \\\ mathbf {S} _ {0} & \ mathbf {S} _ {0} ^ {T} & 0 \ end {array }}\certo]}$

onde a seguinte matriz foi usada

${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {0} = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right]}$

A conexão entre diferentes SCNs é feita da mesma maneira que para os nós 2D.

Implementação de código aberto de 3D-TLM

O Instituto George Green de Pesquisa Eletromagnética (GGIEMR) abriu o código-fonte de uma implementação eficiente do 3D-TLM, capaz de computação paralela por meio do MPI denominado GGITLM e disponível online.

Referências

• C. Christopoulos, The Transmission Line Modeling Method: TLM , Piscataway, NY, IEEE Press, 1995. ISBN  978-0-19-856533-8
• Russer, P., Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for Communications Engineering, Segunda edição, Artec House, Boston, 2006, ISBN  978-1-58053-907-4
• PB Johns e M.O'Brien. "Uso do método de modelagem de linha de transmissão (tlm) para resolver redes não lineares concentradas", The Radio Electron and Engineer. 1980.
• JL Herring, Developments in the Transmission-Line Modeling Method for Electromagnetic Compatibility Studies, tese de doutoramento , University of Nottingham, 1993.
• Mansour Ahmadian, Transmission Line Matrix (TLM) modelagem de ultrassom médico tese de doutorado , University of Edinburgh 2001