Integral de superfície - Surface integral

Em matemática , particularmente no cálculo multivariável , uma integral de superfície é uma generalização de integrais múltiplas para integração sobre superfícies . Pode ser considerado o análogo integral duplo do integral de linha . Dada uma superfície, pode-se integrar um campo escalar (isto é, uma função de posição que retorna um escalar como valor) sobre a superfície, ou um campo vetorial (isto é, uma função que retorna um vetor como valor). Se uma região R não for plana, é chamada de superfície, conforme mostrado na ilustração.

Integrais de superfície têm aplicações em física , particularmente com as teorias do eletromagnetismo clássico .

A definição de integral de superfície depende da divisão da superfície em pequenos elementos de superfície.

Uma ilustração de um único elemento de superfície. Esses elementos são feitos infinitesimalmente pequenos, pelo processo de limitação, de modo a se aproximar da superfície.

Integrais de superfície de campos escalares

Para encontrar uma fórmula explícita para a integral de superfície sobre uma superfície S , precisamos parametrizar S definindo um sistema de coordenadas curvilíneas em S , como a latitude e longitude em uma esfera . Seja tal parametrização r ( s , t ) , onde ( s , t ) varia em alguma região T do plano . Então, a integral de superfície é dada por

${\ displaystyle \ iint _ {S} f \, \ mathrm {d} S = \ iint _ {T} f (\ mathbf {r} (s, t)) \ left \ | {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial s} \ times {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial t} \ right \ | \ mathrm {d} s \, \ mathrm {d} t}$

onde a expressão entre as barras do lado da mão direita é a magnitude do produto cruzado das derivadas parciais de r ( s , t ) , e é conhecida como a superfície elemento (que seria, por exemplo, produzir um valor mais pequeno perto da pólos de uma esfera, onde as linhas de longitude convergem mais dramaticamente e as coordenadas latitudinais são mais compactamente espaçadas). A integral da superfície também pode ser expressa na forma equivalente

${\ displaystyle \ iint _ {S} f \, \ mathrm {d} S = \ iint _ {T} f (\ mathbf {r} (s, t)) {\ sqrt {g}} \, \ mathrm { d} s \, \ mathrm {d} t}$

onde g é o determinante da primeira forma fundamental do mapeamento de superfície r ( s , t ) .

Por exemplo, se quisermos encontrar a área da superfície do gráfico de alguma função escalar, digamos z = f ( x , y ) , temos

${\ displaystyle A = \ iint _ {S} \, \ mathrm {d} S = \ iint _ {T} \ left \ | {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial x} \ times {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial y} \ right \ | \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$

onde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . Então isso , e . Então, ${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial x} = (1,0, f_ {x} (x, y))}$${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial y} = (0,1, f_ {y} (x, y))}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & {} = \ iint _ {T} \ left \ | \ left (1,0, {\ partial f \ over \ partial x} \ right) \ times \ left (0, 1, {\ partial f \ over \ partial y} \ right) \ right \ | \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \\ & {} = \ iint _ {T} \ left \ | \ esquerda (- {\ parcial f \ sobre \ parcial x}, - {\ parcial f \ sobre \ parcial y}, 1 \ direita) \ direita \ | \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \\ & {} = \ iint _ {T} {\ sqrt {\ left ({\ partial f \ over \ partial x} \ right) ^ {2} + \ left ({\ parcial f \ over \ parcial y} \ right) ) ^ {2} +1}} \, \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \ end {alinhado}}}$

que é a fórmula padrão para a área de uma superfície descrita desta forma. Pode-se reconhecer o vetor na penúltima linha acima como o vetor normal para a superfície.

Observe que, devido à presença do produto vetorial, as fórmulas acima funcionam apenas para superfícies embutidas no espaço tridimensional.

Isso pode ser visto como a integração de uma forma de volume Riemanniana na superfície parametrizada, onde o tensor métrico é dado pela primeira forma fundamental da superfície.

Integrais de superfície de campos vetoriais

Uma superfície curva com um campo vetorial passando por ela. As setas vermelhas (vetores) representam a magnitude e a direção do campo em vários pontos da superfície${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

Superfície dividida em pequenos remendos por uma parametrização da superfície${\ displaystyle dS = du \, dv}$${\ displaystyle [u (\ mathbf {x}), v (\ mathbf {x})]}$

O fluxo através de cada patch é igual ao componente normal (perpendicular) do campo na localização do patch multiplicado pela área . O componente normal é igual ao produto escalar de com o vetor normal unitário (setas azuis)${\ displaystyle F_ {n} (\ mathbf {x}) = F (\ mathbf {x}) \ cos \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle dS}$${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle \ mathbf {n} (\ mathbf {x})}$

O fluxo total através da superfície é encontrado somando para cada remendo. No limite, conforme as manchas se tornam infinitesimalmente pequenas, esta é a integral de superfície${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \; dS}$
${\ textstyle \ int _ {S} {\ mathbf {F \ cdot n}} \; dS}$

Considere um campo vetorial v em uma superfície S , ou seja, para cada r = ( x , y , z ) em S , v ( r ) é um vetor.

A integral de superfície pode ser definida em termos de componentes de acordo com a definição da integral de superfície de um campo escalar; o resultado é um vetor. Isso se aplica, por exemplo, na expressão do campo elétrico em algum ponto fixo devido a uma superfície eletricamente carregada, ou a gravidade em algum ponto fixo devido a uma folha de material.

Alternativamente, se integrarmos o componente normal do campo vetorial sobre a superfície, o resultado será um escalar, geralmente chamado de fluxo que passa pela superfície. Imagine que temos um fluido fluindo através de S , de forma que v ( r ) determina a velocidade do fluido em r . O fluxo é definido como a quantidade de fluido que flui através de S por unidade de tempo.

Esta ilustração implica que se o campo vetorial é tangente a S em cada ponto, então o fluxo é zero porque o fluido apenas flui em paralelo a S , e não entra nem sai. Isso também implica que se v não flui apenas ao longo de S , ou seja, se v tem uma componente tangencial e uma normal, então apenas a componente normal contribui para o fluxo. Com base nesse raciocínio, para encontrar o fluxo, precisamos tomar o produto escalar de v com a superfície unitária normal n para S em cada ponto, o que nos dará um campo escalar, e integrar o campo obtido como acima. Nós encontramos a fórmula

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ iint _ {S} {\ mathbf {v}} \ cdot \ mathrm {d} {\ mathbf {S}} & = \ iint _ {S} \ left ({\ mathbf {v}} \ cdot {\ mathbf {n}} \ right) \, \ mathrm {d} S \\ & {} = \ iint _ {T} \ left ({\ mathbf {v}} (\ mathbf { r} (s, t)) \ cdot {{\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial s}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial t}} \ sobre \ esquerda \ | {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial s}} \ vezes {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial t}} \ direita \ |} \ direita ) \ left \ | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial s}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial t}} \ right \ | \ mathrm { d} s \, \ mathrm {d} t \\ & {} = \ iint _ {T} {\ mathbf {v}} (\ mathbf {r} (s, t)) \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial s}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial t}} \ right) \ mathrm {d} s \, \ mathrm {d } t. \ end {alinhado}}}$

O produto vetorial no lado direito desta expressão é uma normal de superfície (não necessariamente unital) determinada pela parametrização.

Esta fórmula define a integral à esquerda (observe o ponto e a notação vetorial para o elemento de superfície).

Também podemos interpretar isso como um caso especial de integração de 2 formas, onde identificamos o campo vetorial com uma forma 1 e, em seguida, integramos seu dual de Hodge sobre a superfície. Isso equivale à integração sobre a superfície imersa, onde é a forma de volume induzido na superfície, obtida pela multiplicação interna da métrica Riemanniana do espaço ambiente com a normal externa da superfície. ${\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {n} \ right \ rangle \ mathrm {d} S}$${\ displaystyle \ mathrm {d} S}$

Integrais de superfície de 2 formas diferenciais

Deixar

${\ displaystyle f = f_ {z} \, \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y + f_ {x} \, \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z + f_ {y } \, \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x}$

seja uma forma diferencial de 2 definida em uma superfície S , e deixe

${\ displaystyle \ mathbf {r} (s, t) = (x (s, t), y (s, t), z (s, t)) \!}$

ser uma orientação preservando parametrização de S com em D . Mudando as coordenadas de para , as formas diferenciais se transformam como ${\ displaystyle (s, t)}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (s, t)}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} x = {\ frac {\ parcial x} {\ parcial s}} \ mathrm {d} s + {\ frac {\ parcial x} {\ parcial t}} \ mathrm {d} t }$

${\ displaystyle \ mathrm {d} y = {\ frac {\ parcial y} {\ parcial s}} \ mathrm {d} s + {\ frac {\ parcial y} {\ parcial t}} \ mathrm {d} t }$

Então se transforma para , onde denota o determinante do Jacobiano da função de transição de para . A transformação das outras formas são semelhantes. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (s, t)}} \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (s, t)}}}$${\ displaystyle (s, t)}$${\ displaystyle (x, y)}$

Então, a integral de superfície de f em S é dada por

${\ displaystyle \ iint _ {D} \ left [f_ {z} (\ mathbf {r} (s, t)) {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (s, t)}} + f_ {x} (\ mathbf {r} (s, t)) {\ frac {\ parcial (y, z)} {\ parcial (s, t)}} + f_ {y} (\ mathbf {r} (s, t)) {\ frac {\ partial (z, x)} {\ partial (s, t)}} \ right] \, \ mathrm {d} s \, \ mathrm {d} t}$

Onde

${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial s} \ times {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial t} = \ left ({\ frac {\ partial (y, z)} { \ parcial (s, t)}}, {\ frac {\ parcial (z, x)} {\ parcial (s, t)}}, {\ frac {\ parcial (x, y)} {\ parcial (s , t)}} \ direita)}$

é o elemento de superfície normal a S .

Notemos que a integral de superfície desta forma 2 é a mesma que a integral de superfície do campo vetorial que tem como componentes , e . ${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle f_ {y}}$${\ displaystyle f_ {z}}$

Teoremas envolvendo integrais de superfície

Vários resultados úteis para integrais de superfície podem ser derivados usando geometria diferencial e cálculo vetorial , como o teorema da divergência e sua generalização, o teorema de Stokes .

Dependência de parametrização

Notemos que definiu a integral de superfície usando uma parametrização da superfície S . Sabemos que uma determinada superfície pode ter várias parametrizações. Por exemplo, se movermos as localizações do Pólo Norte e do Pólo Sul em uma esfera, a latitude e a longitude mudam para todos os pontos da esfera. Uma questão natural é então se a definição da integral de superfície depende da parametrização escolhida. Para integrais de campos escalares, a resposta a esta pergunta é simples; o valor da integral de superfície será o mesmo, independentemente da parametrização usada.

Para integrais de campos vetoriais, as coisas são mais complicadas porque a normal da superfície está envolvida. Pode-se comprovar que dadas duas parametrizações da mesma superfície, cujas normais de superfície apontam na mesma direção, obtém-se o mesmo valor para a integral de superfície com ambas as parametrizações. Se, no entanto, as normais para essas parametrizações apontam em direções opostas, o valor da integral de superfície obtido por meio de uma parametrização é o negativo daquele obtido por meio da outra parametrização. Segue-se que dada uma superfície, não precisamos nos ater a nenhuma parametrização única, mas, ao integrar campos vetoriais, precisamos decidir com antecedência para qual direção a normal irá apontar e então escolher qualquer parametrização consistente com essa direção.

Outro problema é que às vezes as superfícies não têm parametrizações que cobrem toda a superfície. A solução óbvia é então dividir essa superfície em várias partes, calcular a integral da superfície em cada parte e, em seguida, somá-las todas. De fato, é assim que as coisas funcionam, mas ao integrar campos vetoriais, é preciso mais uma vez ter cuidado como escolher o vetor de apontamento normal para cada pedaço da superfície, de modo que, quando as peças forem colocadas juntas novamente, os resultados sejam consistentes. Para o cilindro, isso significa que se decidirmos que para a região lateral o normal apontará para fora do corpo, então para as partes circulares superior e inferior, o normal deve apontar para fora do corpo também.

Por último, existem superfícies que não admitem uma normal de superfície em cada ponto com resultados consistentes (por exemplo, a faixa de Möbius ). Se tal superfície for dividida em pedaços, em cada pedaço é escolhida uma parametrização e a normal de superfície correspondente, e as partes são colocadas novamente juntas, descobriremos que os vetores normais vindos de partes diferentes não podem ser reconciliados. Isso significa que em alguma junção entre duas peças teremos vetores normais apontando em direções opostas. Tal superfície é chamada de não orientável e, nesse tipo de superfície, não se pode falar em integração de campos vetoriais.

Veja também

• Teorema da divergência
• Teorema de Stokes
• Integral de linha
• Elemento de volume
• Volume integral
• Sistema de coordenada cartesiana
• Elementos de volume e área de superfície em sistemas de coordenadas esféricas
• Elementos de volume e área de superfície em sistemas de coordenadas cilíndricas
• Método Holstein-Herring

Referências

links externos

• Surface Integral - da MathWorld
• Superfície Integral - Teoria e exercícios