Subfunctor - Subfunctor
Na teoria das categorias , um ramo da matemática , um subfunctor é um tipo especial de functor que é um análogo de um subconjunto .
Definição
Seja C uma categoria , e seja F um functor contravariante de C para a categoria de conjuntos Set . Um functor contravariante G de C para Set é um subfunctor de F se
- Para todos os objetos c de C , G ( c ) ⊆ F ( c ), e
- Para todas as setas f : c ′ → c de C , G ( f ) é a restrição de F ( f ) a G ( c ).
Esta relação é muitas vezes escrito como G ⊆ F .
Por exemplo, seja 1 a categoria com um único objeto e uma única seta. Um functor F : 1 → Set mapeia o objeto único de 1 a algum conjunto S ea seta identidade única de 1 a identidade de função 1 S em S . Um subfunctor L de F mapeia o objectivo único de um para um subconjunto T de S e mapeia a seta identidade única para a função de identidade 1 T em T . Note-se que um T é a restrição de 1 S para T . Consequentemente, subfunctors de F correspondem a subconjuntos de S .
Observações
Os subfuncionais em geral são como versões globais de subconjuntos. Por exemplo, se alguém imagina que os objetos de alguma categoria C são análogos aos conjuntos abertos de um espaço topológico, então um functor contravariante de C para a categoria de conjuntos dá uma pré - capa com valor de conjunto em C , ou seja, associa conjuntos para os objectos de C em uma maneira que é compatível com as setas de C . Um subfunctor então associa um subconjunto a cada conjunto, novamente de forma compatível.
Os exemplos mais importantes de subfuncionais são subfuncionais do functor Hom . Seja c um objeto da categoria C , e considere o functor Hom (-, c ) . Este functor pega um objeto c ′ de C e retorna todos os morfismos c ′ → c . Um subfunctor de Hom (-, c ) retorna apenas alguns dos morfismos. Esse subfunctor é chamado de peneira e geralmente é usado ao definir topologias de Grothendieck .
Abrir subfuncionais
Subfuncionais também são usados na construção de functores representáveis na categoria de espaços em anel . Vamos F ser um functor contravariant da categoria de espaços aneladas à categoria de conjuntos, e deixe G ⊆ F . Suponha que este morfismo de inclusão G → F seja representável por imersões abertas, ou seja, para qualquer functor representável Hom (-, X ) e qualquer morfismo Hom (-, X ) → F , o produto fibroso G × F Hom (-, X ) é um functor representável Hom (-, Y ) e o morfismo Y → X definido pelo lema de Yoneda é uma imersão aberta. Então G é chamado de subfunctor aberta de F . Se F é coberto por subfuncionais abertos representáveis, então, sob certas condições, pode ser mostrado que F é representável. Esta é uma técnica útil para a construção de espaços em anel. Foi descoberto e explorado pesadamente por Alexander Grothendieck , que o aplicou especialmente ao caso de esquemas . Para uma declaração formal e prova, ver Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, 2ª ed., Capítulo 0, seção 4.5.