Dinamiza, streaklines e pathlines - Streamlines, streaklines, and pathlines

A partícula vermelha se move em um fluido que flui; sua linha de trajetória é traçada em vermelho; a ponta do rastro de tinta azul liberada da origem segue a partícula, mas ao contrário da linha de caminho estática (que registra o movimento anterior do ponto), a tinta liberada após a partida do ponto vermelho continua a subir com o fluxo. (Esta é uma linha listrada .) As linhas tracejadas representam os contornos do campo de velocidade ( linhas de fluxo ), mostrando o movimento de todo o campo ao mesmo tempo. ( Veja a versão em alta resolução . )

Linhas azuis sólidas e linhas cinza quebradas representam as linhas de fluxo. As setas vermelhas mostram a direção e magnitude da velocidade do fluxo. Essas setas são tangenciais à linha do fluxo. O grupo de linhas aerodinâmicas envolve as curvas verdes ( e ) para formar uma superfície de riacho.

{\ displaystyle C_ {1}}

{\ displaystyle C_ {2}}

Streamlines, streaklines e pathlines são linhas de campo em um fluxo de fluido . Eles diferem apenas quando o fluxo muda com o tempo, ou seja, quando o fluxo não é estável . Considerando um campo de vetores de velocidade no espaço tridimensional no quadro da mecânica do contínuo , temos que:

Linhas aerodinâmicas são uma família de curvas tangentes instantaneamente ao vetor velocidade do fluxo. Eles mostram a direção na qual um elemento de fluido sem massa viajará em qualquer ponto no tempo.
Streaklines são os locais de pontos de todas as partículas de fluido que passaram continuamente por um determinado ponto espacial no passado. O corante injetado de forma constante no fluido em um ponto fixo se estende ao longo de uma linha de listras.
Pathlines são as trajetórias que as partículas individuais de fluido seguem. Isso pode ser considerado como um "registro" do caminho de um elemento fluido no fluxo ao longo de um determinado período. A direção que o caminho toma será determinada pelas linhas de fluxo do fluido a cada momento no tempo.
As linhas do tempo são as linhas formadas por um conjunto de partículas de fluido que foram marcadas em um instante anterior no tempo, criando uma linha ou curva que é deslocada no tempo conforme as partículas se movem.

Por definição, diferentes linhas de corrente no mesmo instante em um fluxo não se cruzam, porque uma partícula de fluido não pode ter duas velocidades diferentes no mesmo ponto. Da mesma forma, as listras não podem se interceptar ou outras linhas de listras, porque duas partículas não podem estar presentes no mesmo local no mesmo instante de tempo; a menos que o ponto de origem de uma das listras também pertença à linha de listras do outro ponto de origem. No entanto, as linhas de trajetória podem se cruzar ou outras linhas de trajetória (exceto os pontos inicial e final das diferentes linhas de trajetória, que precisam ser distintas).

As dinâmicas e linhas do tempo fornecem um instantâneo de algumas características do campo de fluxo, enquanto as linhas de traçado e as linhas de caminho dependem do histórico de tempo completo do fluxo. No entanto, muitas vezes sequências de linhas do tempo (e listras) em diferentes instantes - sendo apresentadas em uma única imagem ou com um fluxo de vídeo - podem ser usadas para fornecer uma visão sobre o fluxo e sua história.

Se uma linha, curva ou curva fechada for usada como ponto inicial para um conjunto contínuo de linhas de fluxo, o resultado é uma superfície de fluxo . No caso de uma curva fechada em um fluxo constante, o fluido que está dentro de uma superfície de fluxo deve permanecer para sempre dentro dessa mesma superfície de fluxo, porque as linhas de fluxo são tangentes à velocidade do fluxo. Uma função escalar cujas linhas de contorno definem as linhas de fluxo é conhecida como função de fluxo .

A linha de tingimento pode referir-se a uma linha de linha : tintura liberada gradualmente de um local fixo com o passar do tempo; ou pode se referir a uma linha do tempo: uma linha de tinta aplicada instantaneamente em um determinado momento no tempo e observada em um instante posterior.

Descrição matemática

Dinamiza

A direção das linhas do campo magnético são linhas aerodinâmicas representadas pelo alinhamento de limalhas de ferro polvilhadas no papel colocadas acima de uma barra magnética

As linhas de fluxo potencial alcançam a condição de Kutta em torno de um aerofólio NACA com tubos de fluxo superiores e inferiores identificados.

As linhas aerodinâmicas são definidas por

{\ displaystyle {d {\ vec {x}} _ {S} \ over ds} \ times {\ vec {u}} ({\ vec {x}} _ {S}) = 0,}

onde " " denota o produto vetorial vetorial e é a representação paramétrica de apenas uma linha aerodinâmica em um momento no tempo. ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {S} (s)}$

Se os componentes da velocidade são escritos e os da linha de fluxo, como deduzimos ${\ displaystyle {\ vec {u}} = (u, v, w),}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {S} = (x_ {S}, y_ {S}, z_ {S}),}$

{\ displaystyle {dx_ {S} \ over u} = {dy_ {S} \ over v} = {dz_ {S} \ over w},}

o que mostra que as curvas são paralelas ao vetor velocidade. Aqui está uma variável que parametriza a curva. As linhas aerodinâmicas são calculadas instantaneamente, o que significa que em uma instância do tempo elas são calculadas em todo o fluido a partir do campo de velocidade do fluxo instantâneo . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ vec {x}} _ {S} (s).}$

Um streamtube consiste em um feixe de streamlines, muito parecido com um cabo de comunicação.

A equação do movimento de um fluido em uma linha de fluxo para um fluxo em um plano vertical é:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} + c {\ frac {\ partial c} {\ partial s}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} c} {\ parcial r ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parcial p} {\ parcial s}} - g {\ frac {\ parcial z} {\ parcial s}} }$

A velocidade do fluxo na direção da linha do fluxo é denotada por . é o raio de curvatura da linha do fluxo. A densidade do fluido é denotada por e a viscosidade cinemática por . é o gradiente de pressão e o gradiente de velocidade ao longo da linha do fluxo. Para um fluxo constante, a derivada do tempo da velocidade é zero: . denota a aceleração gravitacional. ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial s}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial s}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = 0}$ ${\ displaystyle g}$

Pathlines

Uma foto de longa exposição de faísca de uma fogueira mostra as linhas de caminho para o fluxo de ar quente.

Pathlines são definidos por

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} _ {P}} {dt}} (t) = {\ vec {u}} _ {P} ({\ vec {x}} _ {P} (t), t) \\ [1.2ex] {\ vec {x}} _ {P} (t_ {0}) = {\ vec {x}} _ {P0} \ end {casos}}}

O sufixo indica que estamos seguindo o movimento de uma partícula fluida. Observe que nesse ponto a curva é paralela ao vetor de velocidade do fluxo , onde o vetor de velocidade é avaliado na posição da partícula naquele momento . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {P}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {P}}$ ${\ displaystyle t}$

Streaklines

Exemplo de um streakline usado para visualizar o fluxo ao redor de um carro dentro de um túnel de vento.

Streaklines podem ser expressas como,

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} _ {str}} {dt}} = {\ vec {u}} _ {P} ({\ vec {x }} _ {str}, t) \\ [1.2ex] {\ vec {x}} _ {str} (t = \ tau _ {P}) = {\ vec {x}} _ {P0} \ end {casos}}}

onde, é a velocidade de uma partícula no local e no tempo . O parâmetro , parametriza o streakline e , onde é um tempo de interesse. ${\ displaystyle {\ vec {u}} _ {P} ({\ vec {x}}, t)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle \ tau _ {P}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {str} (t, \ tau _ {P})}$ ${\ displaystyle t_ {0} \ leq \ tau _ {P} \ leq t}$ ${\ displaystyle t}$

Fluxos constantes

Em fluxo constante (quando o campo vetorial de velocidade não muda com o tempo), as linhas de corrente, linhas de caminho e linhas de listras coincidem. Isso porque quando uma partícula em uma linha de fluxo atinge um ponto, mais adiante nessa linha de fluxo as equações que governam o fluxo a enviarão em uma determinada direção . Como as equações que governam o fluxo permanecem as mesmas, quando outra partícula chega, ela também irá nessa direção . Se o fluxo não for estável, quando a próxima partícula atingir a posição, o fluxo terá mudado e a partícula irá para uma direção diferente. ${\ displaystyle a_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$

Isso é útil porque geralmente é muito difícil observar as linhas de fluxo em um experimento. No entanto, se o fluxo for constante, pode-se usar listras para descrever o padrão de fluxo.

Dependência de quadro

As linhas aerodinâmicas dependem do quadro. Ou seja, as linhas de corrente observadas em um referencial inercial são diferentes daquelas observadas em outro referencial inercial. Por exemplo, as linhas de corrente do ar em torno de uma aeronave de asa são definidos de forma diferente para os passageiros na aeronave do que para um observador no chão. No exemplo da aeronave, o observador no solo observará um fluxo instável, e os observadores na aeronave observarão um fluxo constante, com linhas de fluxo constantes. Quando possível, os dinâmicos de fluidos tentam encontrar um quadro de referência em que o fluxo seja estável, para que possam usar métodos experimentais de criação de linhas de linha para identificar as linhas de fluxo.

Aplicativo

O conhecimento das linhas aerodinâmicas pode ser útil na dinâmica de fluidos. Por exemplo, o princípio de Bernoulli , que descreve a relação entre pressão e velocidade em um fluido invíscido, é derivado para localizações ao longo de uma linha de água.

A curvatura de uma linha de fluxo está relacionada ao gradiente de pressão atuando perpendicularmente à linha de fluxo. O centro de curvatura da linha aerodinâmica encontra-se na direção da diminuição da pressão radial. A magnitude do gradiente de pressão radial pode ser calculada diretamente a partir da densidade do fluido, a curvatura da linha de fluxo e a velocidade local.

Os engenheiros costumam usar corantes na água ou fumaça no ar para ver as linhas de risco, a partir das quais as linhas de caminho podem ser calculadas. Streaklines são idênticos a streamlines para fluxo constante. Além disso, o corante pode ser usado para criar cronogramas. Os padrões orientam suas modificações de design, visando reduzir o arrasto. Essa tarefa é conhecida como simplificação e o design resultante é conhecido como simplificado . Objetos e organismos aerodinâmicos, como locomotivas a vapor , streamliners , carros e golfinhos costumam ser esteticamente agradáveis aos olhos. O estilo Streamline Moderne , um desdobramento da Art Déco das décadas de 1930 e 1940 , trouxe linhas fluidas à arquitetura e ao design da época. O exemplo canônico de uma forma aerodinâmica é um ovo de galinha com a extremidade romba voltada para a frente. Isso mostra claramente que a curvatura da superfície frontal pode ser muito mais acentuada do que a parte de trás do objeto. A maior parte do arrasto é causada por redemoinhos no fluido atrás do objeto em movimento, e o objetivo deve ser permitir que o fluido diminua depois de passar ao redor do objeto e recupere a pressão, sem formar redemoinhos.

Os mesmos termos tornaram-se vernáculos comuns para descrever qualquer processo que suaviza uma operação. Por exemplo, é comum ouvir referências à simplificação de uma prática ou operação de negócios.

Veja também

Notas e referências

Notas

Referências

Faber, TE (1995). Fluid Dynamics for Physicists . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42969-2.

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