Parâmetros de Stokes - Stokes parameters

Os parâmetros de Stokes são um conjunto de valores que descrevem o estado de polarização da radiação eletromagnética . Eles foram definidos por George Gabriel Stokes em 1852, como uma alternativa matematicamente conveniente para a descrição mais comum de radiação incoerente ou parcialmente polarizada em termos de sua intensidade total ( I ), grau (fracionário) de polarização ( p ) e os parâmetros de forma da elipse de polarização . O efeito de um sistema óptico na polarização da luz pode ser determinado construindo o vetor de Stokes para a luz de entrada e aplicando o cálculo de Mueller , para obter o vetor de Stokes da luz que sai do sistema. O papel original de Stokes foi descoberto independentemente por Francis Perrin em 1942 e por Subrahamanyan Chandrasekhar em 1947, que o nomeou como os parâmetros de Stokes.

Definições

A relação dos parâmetros de Stokes S ₀ , S ₁ , S ₂ , S ₃ com os parâmetros de intensidade e elipse de polarização é mostrada nas equações abaixo e na figura à direita.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}$

Aqui , e estão as coordenadas esféricas do vetor tridimensional de coordenadas cartesianas . é a intensidade total do feixe e é o grau de polarização, restringido por . O fator de dois antes representa o fato de que qualquer elipse de polarização é indistinguível de uma girada em 180 °, enquanto o fator de dois antes indica que uma elipse é indistinguível de uma com os comprimentos de semieixo trocados acompanhados por uma rotação de 90 °. As informações de fase da luz polarizada não são registradas nos parâmetros de Stokes. Os quatro parâmetros de Stokes às vezes são denotados como I , Q , U e V , respectivamente. ${\displaystyle Ip}$${\displaystyle 2\psi }$${\displaystyle 2\chi }$ ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \chi }$

Dados os parâmetros de Stokes, pode-se resolver para as coordenadas esféricas com as seguintes equações:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

Vetores Stokes

Os parâmetros de Stokes são frequentemente combinados em um vetor, conhecido como vetor de Stokes :

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

O vetor Stokes abrange o espaço de luz não polarizada, parcialmente polarizada e totalmente polarizada. Para efeito de comparação, o vetor de Jones abrange apenas o espaço da luz totalmente polarizada, mas é mais útil para problemas que envolvem luz coerente . Os quatro parâmetros de Stokes não são um sistema de coordenadas preferido do espaço, mas foram escolhidos porque podem ser facilmente medidos ou calculados.

Observe que há um sinal ambíguo para o componente dependendo da convenção física usada. Na prática, existem duas convenções separadas usadas, definindo os parâmetros de Stokes ao olhar para baixo do feixe em direção à fonte (oposta à direção de propagação da luz) ou olhando para baixo do feixe para longe da fonte (coincidente com a direção de propagação da luz). Essas duas convenções resultam em signos diferentes para , e uma convenção deve ser escolhida e seguida. ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Exemplos

Abaixo são mostrados alguns vetores de Stokes para estados comuns de polarização da luz.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Linearmente polarizado (horizontal)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Linearmente polarizado (vertical)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	Polarizado linearmente (+ 45 °)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$	Linearmente polarizado (−45 °)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$	Polarizado circularmente à direita
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	Circularmente polarizado à esquerda
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Não polarizado

Explicação alternativa

Um monocromática onda plana está indicada pelo seu vector de propagação , e as amplitudes complexas do campo eléctrico , e , em uma base . O par é chamado de vetor Jones . Alternativamente, pode-se especificar o vetor de propagação, a fase , e o estado de polarização,, onde é a curva traçada pelo campo elétrico em função do tempo em um plano fixo. Os estados de polarização mais familiares são lineares e circulares, que são casos degenerados do estado mais geral, uma elipse . ${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}$${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi }$

Uma maneira de descrever a polarização é fornecer os eixos semi-maior e semi-menor da elipse de polarização, sua orientação e a direção de rotação (veja a figura acima). Os parâmetros de Stokes , , , e , proporcionar uma descrição alternativa do estado de polarização que é experimentalmente conveniente porque cada parâmetro corresponde a uma soma ou diferença de intensidades mensuráveis. A próxima figura mostra exemplos dos parâmetros de Stokes em estados degenerados. ${\displaystyle I}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Definições

Os parâmetros de Stokes são definidos por

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}}$

onde os subscritos referem-se a três bases diferentes do espaço dos vetores de Jones : a base cartesiana padrão ( ), uma base cartesiana girada em 45 ° ( ) e uma base circular ( ). A base circular é definida de modo a que , . ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$

Os símbolos ⟨⋅⟩ representam os valores esperados . A luz pode ser vista como uma variável aleatória tomando valores no espaço C ² dos vetores de Jones . Qualquer medida fornece uma onda específica (com uma fase, elipse de polarização e magnitude específicas), mas ela continua piscando e oscilando entre diferentes resultados. Os valores esperados são várias médias desses resultados. Luz intensa, mas não polarizada, terá I > 0, mas Q = U = V = 0, refletindo que nenhum tipo de polarização predomina. Uma forma de onda convincente é descrita no artigo sobre coerência . ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

O oposto seria uma luz perfeitamente polarizada que, além disso, tem uma amplitude fixa e não variável - uma curva senoidal pura. Isso é representado por uma variável aleatória com apenas um único valor possível, digamos . Neste caso, pode-se substituir os colchetes por barras de valor absoluto, obtendo-se um mapa quadrático bem definido ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}$

dos vetores de Jones para os vetores de Stokes correspondentes; formas mais convenientes são fornecidas abaixo. O mapa leva sua imagem no cone definido por | I | ² = | Q | ² + | U | ² + | V | ² , onde a pureza do estado satisfaz p = 1 (veja abaixo).

A próxima figura mostra como os sinais dos parâmetros de Stokes são determinados pela helicidade e a orientação do semi-eixo maior da elipse de polarização.

Representações em bases fixas

Em uma base fixa ( ), os parâmetros de Stokes ao usar uma convenção de fase crescente são ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$

enquanto para , eles são ${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}$

e para , eles são ${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}$

Propriedades

Para radiação coerente puramente monocromática , segue-se das equações acima que

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

enquanto para a radiação de feixe total (não coerente), os parâmetros de Stokes são definidos como quantidades médias, e a equação anterior torna-se uma desigualdade:

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

No entanto, podemos definir uma intensidade de polarização total , de modo que ${\displaystyle I_{p}}$

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

onde é a fração de polarização total. ${\displaystyle I_{p}/I}$

Vamos definir a intensidade complexa de polarização linear para ser

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}$

Sob uma rotação da elipse de polarização, pode-se mostrar que e são invariantes, mas ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

Com essas propriedades, os parâmetros de Stokes podem ser pensados ​​como constituindo três intensidades generalizadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

onde é a intensidade total, é a intensidade da polarização circular e é a intensidade da polarização linear. A intensidade total de polarização é , e a orientação e sentido de rotação são dados por ${\displaystyle I}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |L|}$${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Desde e , nós temos ${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}$

Relação com a elipse de polarização

Em termos dos parâmetros da elipse de polarização, os parâmetros de Stokes são

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Inverter a equação anterior dá

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta =&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Relação com operadores Hermitianos e estados mistos quânticos

A partir de um ponto geométrico e algébrica de vista, os parâmetros de Stokes ficar em correspondência de um-para-um com o fechado, convexa, cone 4-real-dimensional de operadores hermitianas não negativos no espaço de Hilbert C ² . O parâmetro I serve como o traço do operador, enquanto as entradas da matriz do operador são funções lineares simples dos quatro parâmetros I , Q , U , V , servindo como coeficientes em uma combinação linear dos operadores de Stokes . Os autovalores e autovetores do operador podem ser calculados a partir dos parâmetros da elipse de polarização I , p , ψ , χ .

Os parâmetros de Stokes com I definida igual a 1 (isto é, os operadores traço 1) estão em correspondência de um-para-um com a unidade fechada bola 3-dimensional de estados mistos (ou operadores de densidade ) do espaço quântico C ² , cuja é fronteira a esfera de Bloch . Os vetores de Jones correspondem ao espaço C ² subjacente , ou seja, os estados puros (não normalizados) do mesmo sistema. Observe que a informação de fase é perdida ao passar de um estado puro | φ⟩ para o estado misto correspondente | φ⟩⟨φ |, da mesma forma que é perdida ao passar de um vetor de Jones para o vetor de Stokes correspondente.

Veja também

• Cálculo de Mueller
• Cálculo de Jones
• Polarização (ondas)
• Rayleigh Sky Model
• Operadores Stokes
• Mistura de polarização

Notas

Referências

• E. Collett, Guia de Campo para Polarização , Guias de Campo SPIE vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN  0-8194-5868-6 .
• E. Hecht, Optics , 2ª ed., Addison-Wesley (1987). ISBN  0-201-11609-X .
• William H. McMaster (1954). "Polarização e os parâmetros de Stokes". Sou. J. Phys . 22 : 351. bibcode : 1954AmJPh..22..351M . doi : 10.1119 / 1.1933744 .
• William H. McMaster (1961). "Representação matricial da polarização". Rev. Mod. Phys . 33 : 8. bibcode : 1961RvMP ... 33 .... 8M . doi : 10.1103 / RevModPhys.33.8 .

links externos