Resposta da etapa - Step response

Uma resposta de degrau típica para um sistema de segunda ordem, ilustrando o overshoot , seguido por toque , tudo diminuindo dentro de um tempo de acomodação .

A resposta ao degrau de um sistema em um determinado estado inicial consiste na evolução do tempo de suas saídas quando suas entradas de controle são funções de degrau de Heaviside . Em engenharia eletrônica e teoria de controle , a resposta ao degrau é o comportamento temporal das saídas de um sistema geral quando suas entradas mudam de zero para um em um tempo muito curto. O conceito pode ser estendido para a noção matemática abstrata de um sistema dinâmico usando um parâmetro de evolução .

Do ponto de vista prático, saber como o sistema responde a uma entrada repentina é importante porque desvios grandes e possivelmente rápidos do estado estacionário de longo prazo podem ter efeitos extremos no próprio componente e em outras partes do sistema geral dependentes desse componente. Além disso, o sistema geral não pode agir até que a saída do componente se estabilize em alguma vizinhança de seu estado final, atrasando a resposta geral do sistema. Formalmente, conhecer a resposta ao degrau de um sistema dinâmico fornece informações sobre a estabilidade de tal sistema e sobre sua capacidade de atingir um estado estacionário ao partir de outro.

Descrição matemática formal

Figura 4: Representação em caixa preta de um sistema dinâmico, sua entrada e sua resposta ao degrau.

Esta seção fornece uma definição matemática formal de resposta ao degrau em termos do conceito matemático abstrato de um sistema dinâmico : todas as notações e suposições necessárias para a descrição a seguir estão listadas aqui.

  • é o parâmetro de evolução do sistema, denominado " tempo " por uma questão de simplicidade,
  • é o estado do sistema no momento , chamado de "saída" por uma questão de simplicidade,
  • é a função de evolução do sistema dinâmico ,
  • é o estado inicial do sistema dinâmico ,
  • é a função de etapa de Heaviside

Sistema dinâmico não linear

Para um sistema dinâmico geral, a resposta ao degrau é definida da seguinte forma:

É a função de evolução quando as entradas de controle (ou termo de origem , ou entradas de força ) são funções de Heaviside: a notação enfatiza este conceito mostrando H ( t ) como um subscrito.

Sistema dinâmico linear

Para uma caixa preta linear invariante no tempo (LTI), vamos por conveniência de notação: a resposta ao degrau pode ser obtida por convolução do controle da função degrau de Heaviside e a resposta ao impulso h ( t ) do próprio sistema

o que para um sistema LTI é equivalente a apenas integrar o último. Por outro lado, para um sistema LTI, a derivada da resposta ao degrau produz a resposta ao impulso:

No entanto, essas relações simples não são verdadeiras para um sistema não linear ou variante no tempo .

Domínio do tempo versus domínio da frequência

Em vez da resposta de frequência, o desempenho do sistema pode ser especificado em termos de parâmetros que descrevem a dependência do tempo da resposta. A resposta ao degrau pode ser descrita pelas seguintes quantidades relacionadas ao seu comportamento de tempo ,

No caso de sistemas dinâmicos lineares , muito pode ser inferido sobre o sistema a partir dessas características. Abaixo, a resposta ao degrau de um amplificador bipolar simples é apresentada e alguns desses termos são ilustrados.

Em sistemas LTI, a função que tem a taxa de variação mais acentuada que não cria overshoot ou ringing é a função Gaussiana. Isso ocorre porque é a única função cuja transformada de Fourier tem a mesma forma.

Amplificadores de feedback

Figura 1: Modelo ideal de feedback negativo; o ganho de malha aberta é A OL e o fator de feedback é β.

Esta seção descreve a resposta ao degrau de um amplificador de feedback negativo simples mostrado na Figura 1. O amplificador de feedback consiste em um amplificador de loop aberto principal de ganho A OL e um loop de feedback governado por um fator de feedback β. Este amplificador de feedback é analisado para determinar como sua resposta ao degrau depende das constantes de tempo que governam a resposta do amplificador principal e da quantidade de feedback usado.

Um amplificador de feedback negativo tem ganho dado por (ver amplificador de feedback negativo ):

onde A OL = ganho de malha aberta , A FB = ganho de malha fechada (o ganho com feedback negativo presente) e β = fator de feedback .

Com um pólo dominante

Em muitos casos, o amplificador direto pode ser suficientemente bem modelado em termos de um único pólo dominante da constante de tempo τ, que, como um ganho de malha aberta dado por:

com ganho de frequência zero A 0 e frequência angular ω = 2π f . Este amplificador direto tem resposta de passo de unidade

,

uma abordagem exponencial de 0 em direção ao novo valor de equilíbrio de A 0 .

A função de transferência do amplificador monopolar leva ao ganho de malha fechada:

Este ganho de malha fechada é da mesma forma que o ganho de malha aberta: um filtro de um pólo. Sua resposta ao degrau é da mesma forma: uma queda exponencial em direção ao novo valor de equilíbrio. Mas a constante de tempo da função step de malha fechada é τ / (1 + β A 0 ), então é mais rápida do que a resposta do amplificador direto por um fator de 1 + β A 0 :

À medida que o fator de feedback β é aumentado, a resposta ao degrau ficará mais rápida, até que a suposição original de um pólo dominante não seja mais precisa. Se houver um segundo pólo, então como a constante de tempo de malha fechada se aproxima da constante de tempo do segundo pólo, uma análise bipolar é necessária.

Amplificadores de dois pólos

No caso em que o ganho em malha aberta tem dois pólos (duas constantes de tempo , τ 1 , τ 2 ), a resposta ao degrau é um pouco mais complicada. O ganho de malha aberta é dado por:

com ganho de frequência zero A 0 e frequência angular ω = 2 πf .

Análise

A função de transferência do amplificador bipolar leva ao ganho de malha fechada:

Figura 2: Localizações de pólos conjugados para um amplificador de feedback de dois pólos; Re ( s ) é o eixo real e Im ( s ) é o eixo imaginário.

A dependência do amplificador com o tempo é fácil de descobrir mudando as variáveis ​​para s = j ω, em que o ganho se torna:

Os pólos desta expressão (ou seja, os zeros do denominador) ocorrem em:

que mostra para valores grandes o suficiente de βA 0, a raiz quadrada torna-se a raiz quadrada de um número negativo, ou seja, a raiz quadrada torna-se imaginária e as posições dos pólos são números conjugados complexos, ou s + ou s - ; veja a Figura 2:

com

e

Usando coordenadas polares com a magnitude do raio para as raízes fornecidas por | s | (Figura 2):

e a coordenada angular φ é dada por:

As tabelas das transformadas de Laplace mostram que o tempo de resposta de tal sistema é composto de combinações das duas funções:

ou seja, as soluções são oscilações amortecidas no tempo. Em particular, a resposta da etapa da unidade do sistema é:

que simplifica para

quando A 0 tende ao infinito e o fator de feedback β é um.

Observe que o amortecimento da resposta é definido por ρ, ou seja, pelas constantes de tempo do amplificador de malha aberta. Em contraste, a frequência de oscilação é definida por μ, ou seja, pelo parâmetro de feedback por meio de β A 0 . Como ρ é uma soma dos recíprocos das constantes de tempo, é interessante notar que ρ é dominado pelo mais curto dos dois.

Resultados

Figura 3: Resposta escalonada de um amplificador de feedback linear de dois pólos; o tempo está em unidades de 1 / ρ , ou seja, em termos das constantes de tempo de A OL ; as curvas são traçadas para três valores de mu  =  μ , que é controlado por  β .

A Figura 3 mostra o tempo de resposta a uma entrada de etapa unitária para três valores do parâmetro μ. Pode-se ver que a frequência de oscilação aumenta com μ, mas as oscilações estão contidas entre as duas assíntotas definidas pelas exponenciais [1 - exp (- ρt )] e [1 + exp (−ρt)]. Essas assíntotas são determinadas por ρ e, portanto, pelas constantes de tempo do amplificador de malha aberta, independente do feedback.

O fenômeno de oscilação sobre o valor final é chamado de toque . O overshoot é a oscilação máxima acima do valor final e aumenta claramente com µ. Da mesma forma, o undershoot é a oscilação mínima abaixo do valor final, novamente aumentando com μ. O tempo de acomodação é o tempo para que os desvios do valor final caiam abaixo de algum nível especificado, digamos 10% do valor final.

A dependência do tempo de acomodação em μ não é óbvia, e a aproximação de um sistema bipolar provavelmente não é precisa o suficiente para fazer quaisquer conclusões do mundo real sobre a dependência de feedback do tempo de acomodação. No entanto, as assíntotas [1 - exp (- ρt )] e [1 + exp (- ρt )] claramente impactam o tempo de estabilização, e são controladas pelas constantes de tempo do amplificador de malha aberta, particularmente o mais curto dos dois constantes. Isso sugere que uma especificação sobre o tempo de acomodação deve ser satisfeita pelo projeto apropriado do amplificador de malha aberta.

As duas principais conclusões desta análise são:

  1. O feedback controla a amplitude da oscilação sobre o valor final para um determinado amplificador de malha aberta e determinados valores de constantes de tempo de malha aberta, τ 1 e τ 2 .
  2. O amplificador de loop aberto decide o tempo de acomodação. Ele define a escala de tempo da Figura 3 e, quanto mais rápido o amplificador de malha aberta, mais rápida é a escala de tempo.

Como um aparte, pode-se notar que desvios do mundo real deste modelo linear de dois pólos ocorrem devido a duas complicações principais: primeiro, os amplificadores reais têm mais de dois pólos, bem como zeros; e, segundo, os amplificadores reais são não lineares, de modo que sua resposta ao degrau muda com a amplitude do sinal.

Figura 4: Resposta ao degrau para três valores de α. Topo: α = 4; Centro: α = 2; Parte inferior: α = 0,5. À medida que α é reduzido, a separação dos pólos diminui e o overshoot aumenta.

Controle de ultrapassagem

Como o overshoot pode ser controlado por escolhas de parâmetros apropriados é discutido a seguir.

Usando as equações acima, a quantidade de ultrapassagem pode ser encontrada diferenciando a resposta ao degrau e encontrando seu valor máximo. O resultado para a resposta máxima ao degrau S max é:

O valor final da resposta ao degrau é 1, portanto, o exponencial é o próprio overshoot real. É claro que o overshoot é zero se μ = 0, que é a condição:

Este quadrático é resolvido para a razão das constantes de tempo, definindo x = ( τ 1 / τ 2 ) 1/2 com o resultado

Como β A 0 ≫ 1, o 1 na raiz quadrada pode ser descartado, e o resultado é

Em palavras, a primeira constante de tempo deve ser muito maior do que a segunda. Para ser mais aventureiro do que um design que não permite ultrapassagem, podemos introduzir um fator α na relação acima:

e seja α definido pela quantidade de overshoot aceitável.

A Figura 4 ilustra o procedimento. Comparando o painel superior (α = 4) com o painel inferior (α = 0,5), os valores mais baixos para α aumentam a taxa de resposta, mas aumentam o overshoot. O caso α = 2 (painel central) é o design plano máximo que não mostra nenhum pico no ganho de Bode vs. gráfico de frequência . Esse projeto tem como regra a margem de segurança incorporada para lidar com realidades não ideais como pólos múltiplos (ou zeros), não linearidade (dependência da amplitude do sinal) e variações de fabricação, qualquer uma das quais pode levar a muito overshoot. O ajuste da separação dos pólos (isto é, definir α) está sujeito à compensação de frequência e um desses métodos é a divisão dos pólos .

Controle do tempo de acomodação

A amplitude do toque na resposta ao degrau na Figura 3 é governada pelo fator de amortecimento exp (- ρt ). Ou seja, se especificarmos algum desvio de resposta ao degrau aceitável do valor final, digamos Δ, ou seja:

esta condição é satisfeita independentemente do valor de β A OL, desde que o tempo seja maior do que o tempo de acomodação, digamos t S , dado por:

onde o τ 1  ≫ τ 2 é aplicável por causa da condição de controle de overshoot, o que torna τ 1  =  αβA OL τ 2 . Freqüentemente, a condição de tempo de acomodação é referida dizendo que o período de acomodação é inversamente proporcional à largura de banda do ganho da unidade, porque 1 / (2 π  τ 2 ) está perto dessa largura de banda para um amplificador com compensação típica de pólo dominante . No entanto, esse resultado é mais preciso do que essa regra prática . Como exemplo desta fórmula, se Δ = 1 / e 4 = 1,8%, a condição de tempo de acomodação é t S  = 8  τ 2 .

Em geral, o controle de overshoot define a razão da constante de tempo e o tempo de acomodação t S define τ 2 .

Identificação do sistema usando o Step Response: Sistema com dois pólos reais

Resposta ao degrau do sistema com . Medir o ponto significativo , e .

Este método usa pontos significativos da resposta ao degrau. Não há necessidade de adivinhar as tangentes para as medidas Sinal. As equações são derivadas de simulações numéricas, determinando algumas proporções significativas e parâmetros de ajuste de equações não lineares. Veja também.

Aqui estão as etapas:

  • Meça a resposta ao degrau do sistema com um sinal de degrau de entrada .
  • Determine os intervalos de tempo e onde a resposta ao degrau atinge 25% e 75% do valor de saída do estado estacionário.
  • Determine o ganho de estado estacionário do sistema com
  • Calcular
  • Determine as duas constantes de tempo
  • Calcule a função de transferência do sistema identificado dentro do domínio de Laplace

Margem de fase

Figura 5: Gráfico de ganho de Bode para encontrar a margem de fase; escalas são logarítmicas, portanto separações rotuladas são fatores multiplicativos. Por exemplo, f 0 dB = βA 0 × f 1 .

Em seguida, a escolha da razão de pólos τ 1 / τ 2 está relacionada à margem de fase do amplificador de feedback. O procedimento descrito no artigo Bode plot é seguido. A Figura 5 é o gráfico de ganho de Bode para o amplificador de dois pólos na faixa de frequências até a posição do segundo pólo. A suposição por trás da Figura 5 é que a frequência f 0 dB está entre o pólo mais baixo em f 1  = 1 / (2πτ 1 ) e o segundo pólo em f 2  = 1 / (2πτ 2 ). Conforme indicado na Figura 5, essa condição é satisfeita para valores de α ≥ 1.

Usando a Figura 5, a frequência (denotada por f 0 dB ) é encontrada onde o ganho de loop β A 0 satisfaz o ganho de unidade ou condição de 0 dB, conforme definido por:

A inclinação da perna descendente do gráfico de ganho é (20 dB / década); para cada fator de dez de aumento na frequência, o ganho cai pelo mesmo fator:

A margem de fase é a partida da fase em f 0 dB de -180 °. Assim, a margem é:

Como f 0 dB / f 1βA 0  ≫ 1, o termo em f 1 é 90 °. Isso torna a margem da fase:

Em particular, para o caso α = 1, φ m = 45 °, e para α = 2, φ m = 63,4 °. A Sansen recomenda α = 3, φ m = 71,6 ° como uma "boa posição de segurança para começar".

Se α é aumentado encurtando τ 2 , o tempo de acomodação t S também é encurtado. Se α é aumentado pelo alongamento de τ 1 , o tempo de acomodação t S é pouco alterado. Mais comumente, tanto τ 1 quanto τ 2 mudam, por exemplo, se a técnica de divisão de pólos for usada.

Como um aparte, para um amplificador com mais de dois pólos, o diagrama da Figura 5 ainda pode ser feito para se ajustar aos gráficos de Bode tornando f 2 um parâmetro de ajuste, referido como uma posição de "segundo pólo equivalente".

Veja também

Referências e notas

Leitura adicional

  • Robert I. Demrow Tempo de estabilização de amplificadores operacionais [1]
  • Cezmi Kayabasi Settling técnicas de medição de tempo alcançando alta precisão em altas velocidades [2]
  • Vladimir Igorevic Arnol'd "Equações diferenciais ordinárias", várias edições da MIT Press e da Springer Verlag, capítulo 1 "Conceitos fundamentais"

links externos