Função de etapa - Step function

Em matemática, uma função nos números reais é chamada de função degrau (ou função escada ) se puder ser escrita como uma combinação linear finita de funções indicadoras de intervalos . Falando informalmente, uma função degrau é uma função constante por partes com apenas um número finito de peças.

Exemplo de uma função de etapa (o gráfico vermelho). Esta função de etapa específica é contínua à direita .

Definição e primeiras consequências

Uma função é chamada de função de etapa se puder ser escrita como

, para todos os números reais

onde , são números reais, são intervalos e é a função de indicador de :

Nesta definição, os intervalos podem ser considerados como tendo as duas propriedades a seguir:

  1. Os intervalos são disjuntos aos pares : para
  2. A união dos intervalos é toda a linha real:

Na verdade, se esse não for o caso para começar, um conjunto diferente de intervalos pode ser escolhido para o qual essas suposições são válidas. Por exemplo, a função de etapa

pode ser escrito como

Variações na definição

Às vezes, os intervalos devem ser abertos ou podem ser únicos. A condição de que a coleção de intervalos deve ser finita é freqüentemente descartada, especialmente na matemática escolar, embora ainda deva ser localmente finita, resultando na definição de funções constantes por partes.

Exemplos

A função de etapa de Heaviside é uma função de etapa frequentemente usada.
  • Uma função constante é um exemplo trivial de uma função escalonada. Então, há apenas um intervalo,
  • A função de sinal sgn ( x ) , que é -1 para números negativos e +1 para números positivos, e é a função degrau não constante mais simples.
  • A função Heaviside H ( x ) , que é 0 para números negativos e 1 para números positivos, é equivalente à função de sinal, até um deslocamento e escala de intervalo ( ). É o conceito matemático por trás de alguns sinais de teste , como aqueles usados ​​para determinar a resposta ao degrau de um sistema dinâmico .
A função retangular , a próxima função de etapa mais simples.

Não exemplos

  • A função de parte inteira não é uma função degrau de acordo com a definição deste artigo, pois possui um número infinito de intervalos. No entanto, alguns autores também definem funções de passo com um número infinito de intervalos.

Propriedades

  • A soma e o produto de duas funções de etapa é novamente uma função de etapa. O produto de uma função de etapa com um número também é uma função de etapa. Como tal, as funções escalonadas formam uma álgebra sobre os números reais.
  • Uma função de etapa leva apenas um número finito de valores. Se os intervalos para na definição acima da função degrau forem disjuntos e sua união for a linha real, então para todos
  • A integral definida de uma função escalonada é uma função linear por partes .
  • A integral de Lebesgue de uma função escalonada é onde está o comprimento do intervalo , e é assumido aqui que todos os intervalos têm comprimento finito. Na verdade, essa igualdade (vista como uma definição) pode ser o primeiro passo na construção da integral de Lebesgue.
  • Uma variável aleatória discreta às vezes é definida como uma variável aleatória cuja função de distribuição cumulativa é constante por partes. Nesse caso, é localmente uma função de etapa (globalmente, pode ter um número infinito de etapas). Normalmente, no entanto, qualquer variável aleatória com apenas contáveis ​​muitos valores possíveis é chamada de variável aleatória discreta; neste caso, sua função de distribuição cumulativa não é necessariamente localmente uma função escalonada, pois infinitos intervalos podem se acumular em uma região finita.

Veja também

Referências