Função de etapa - Step function
Em matemática, uma função nos números reais é chamada de função degrau (ou função escada ) se puder ser escrita como uma combinação linear finita de funções indicadoras de intervalos . Falando informalmente, uma função degrau é uma função constante por partes com apenas um número finito de peças.
Definição e primeiras consequências
Uma função é chamada de função de etapa se puder ser escrita como
- , para todos os números reais
onde , são números reais, são intervalos e é a função de indicador de :
Nesta definição, os intervalos podem ser considerados como tendo as duas propriedades a seguir:
- Os intervalos são disjuntos aos pares : para
- A união dos intervalos é toda a linha real:
Na verdade, se esse não for o caso para começar, um conjunto diferente de intervalos pode ser escolhido para o qual essas suposições são válidas. Por exemplo, a função de etapa
pode ser escrito como
Variações na definição
Às vezes, os intervalos devem ser abertos ou podem ser únicos. A condição de que a coleção de intervalos deve ser finita é freqüentemente descartada, especialmente na matemática escolar, embora ainda deva ser localmente finita, resultando na definição de funções constantes por partes.
Exemplos
- Uma função constante é um exemplo trivial de uma função escalonada. Então, há apenas um intervalo,
- A função de sinal sgn ( x ) , que é -1 para números negativos e +1 para números positivos, e é a função degrau não constante mais simples.
- A função Heaviside H ( x ) , que é 0 para números negativos e 1 para números positivos, é equivalente à função de sinal, até um deslocamento e escala de intervalo ( ). É o conceito matemático por trás de alguns sinais de teste , como aqueles usados para determinar a resposta ao degrau de um sistema dinâmico .
- A função retangular , a função normalizada do vagão , é usada para modelar um pulso unitário.
Não exemplos
- A função de parte inteira não é uma função degrau de acordo com a definição deste artigo, pois possui um número infinito de intervalos. No entanto, alguns autores também definem funções de passo com um número infinito de intervalos.
Propriedades
- A soma e o produto de duas funções de etapa é novamente uma função de etapa. O produto de uma função de etapa com um número também é uma função de etapa. Como tal, as funções escalonadas formam uma álgebra sobre os números reais.
- Uma função de etapa leva apenas um número finito de valores. Se os intervalos para na definição acima da função degrau forem disjuntos e sua união for a linha real, então para todos
- A integral definida de uma função escalonada é uma função linear por partes .
- A integral de Lebesgue de uma função escalonada é onde está o comprimento do intervalo , e é assumido aqui que todos os intervalos têm comprimento finito. Na verdade, essa igualdade (vista como uma definição) pode ser o primeiro passo na construção da integral de Lebesgue.
- Uma variável aleatória discreta às vezes é definida como uma variável aleatória cuja função de distribuição cumulativa é constante por partes. Nesse caso, é localmente uma função de etapa (globalmente, pode ter um número infinito de etapas). Normalmente, no entanto, qualquer variável aleatória com apenas contáveis muitos valores possíveis é chamada de variável aleatória discreta; neste caso, sua função de distribuição cumulativa não é necessariamente localmente uma função escalonada, pois infinitos intervalos podem se acumular em uma região finita.
Veja também
- Função Crenel
- Função definida por partes
- Função sigmóide
- Função simples
- Detecção de passo
- Função de etapa da unidade