Espirógrafo - Spirograph

Espirógrafo
Conjunto de espirógrafos (UK Palitoy, início dos anos 1980) (perspectiva fixa) .jpg
Conjunto de espirógrafo (versão do início dos anos 1980 no Reino Unido)
Empresa Hasbro
País Reino Unido
Disponibilidade 1965-presente
Materiais Plástico
Website oficial

O espirógrafo é um dispositivo de desenho geométrico que produz curvas matemáticas de roleta da variedade tecnicamente conhecida como hipotrocóides e epitrocóides . A conhecida versão do brinquedo foi desenvolvida pelo engenheiro britânico Denys Fisher e vendida pela primeira vez em 1965.

O nome é uma marca registrada da Hasbro Inc. desde 1998, após a compra da empresa que adquiriu a empresa Denys Fisher. A marca Spirograph foi relançada mundialmente em 2013, com suas configurações originais de produto, pela Kahootz Toys .

História

Em 1827, o arquiteto e engenheiro inglês nascido na Grécia, Peter Hubert Desvignes, desenvolveu e anunciou um "Speiragraph", um dispositivo para criar desenhos espirais elaborados. Um homem chamado J. Jopling logo afirmou ter inventado métodos semelhantes. Ao trabalhar em Viena entre 1845 e 1848, Desvignes construiu uma versão da máquina que ajudaria a prevenir falsificações de notas, pois qualquer uma das variações quase infinitas de padrões de roleta que ela poderia produzir eram extremamente difíceis de fazer engenharia reversa. O matemático Bruno Abakanowicz inventou um novo dispositivo espirógrafo entre 1881 e 1900. Ele foi usado para calcular uma área delimitada por curvas.

Os brinquedos de desenho baseados em engrenagens existem desde pelo menos 1908, quando The Marvelous Wondergraph foi anunciado no catálogo da Sears . Um artigo que descreve como fazer uma máquina de desenho Wondergraph apareceu na publicação Boys Mechanic em 1913.

O brinquedo Spirograph definitivo foi desenvolvido pelo engenheiro britânico Denys Fisher entre 1962 e 1964, criando máquinas de desenho com peças Meccano . Fisher exibiu seu espirógrafo na Feira Internacional de Brinquedos de Nuremberg, em 1965 . Posteriormente, foi produzido por sua empresa. Os direitos de distribuição nos Estados Unidos foram adquiridos pela Kenner , Inc., que o introduziu no mercado dos Estados Unidos em 1966 e o ​​promoveu como um brinquedo criativo para crianças. Kenner mais tarde apresentou o Spirotot, o Spirograph Magnetic, o Spiroman e vários conjuntos de recarga.

Em 2013 a marca Spirograph foi relançada mundialmente, com as engrenagens e rodas originais, da Kahootz Toys. Os produtos modernos usam massa removível no lugar de pinos para segurar as peças fixas no lugar. O Spirograph foi um dos finalistas do Toy of the Year em 2014 em duas categorias, mais de 45 anos depois que o brinquedo foi nomeado Toy of the Year em 1967.

Operação

Animação de um espirógrafo
Vários designs de espirógrafo desenhados com um conjunto de espirógrafo usando várias canetas de cores diferentes

O espirógrafo original lançado nos Estados Unidos consistia em dois anéis de plástico (ou estatores ) de tamanhos diferentes , com dentes de engrenagem tanto na parte interna quanto na parte externa de suas circunferências. Uma vez que qualquer um desses anéis foi mantido no lugar (seja por pinos, com um adesivo ou à mão), qualquer uma das várias rodas dentadas fornecidas (ou rotores ) - cada um com orifícios para uma caneta esferográfica - poderia ser girado em torno do anel para desenhar formas geométricas . Mais tarde, o Superespirógrafo introduziu formas adicionais, como anéis, triângulos e barras retas. Todas as arestas de cada peça têm dentes para engatar qualquer outra peça; engrenagens menores cabem dentro dos anéis maiores, mas também podem girar ao longo da borda externa dos anéis ou até mesmo em torno uma da outra. As engrenagens podem ser combinadas em muitos arranjos diferentes. Os conjuntos geralmente incluíam canetas de várias cores, o que poderia aprimorar um design ao trocar de cores, como visto nos exemplos mostrados aqui.

Iniciantes muitas vezes escorregam as engrenagens, especialmente quando usam os orifícios próximos à borda das rodas maiores, resultando em linhas quebradas ou irregulares. Usuários experientes podem aprender a mover várias peças em relação umas às outras (digamos, o triângulo ao redor do anel, com um círculo "subindo" do anel para o triângulo).

Base matemática

Resonance Cascade.svg

Considere um círculo externo fixo de raio centrado na origem. Um círculo interno menor de raio está rolando para dentro e é continuamente tangente a ele. será assumido que nunca escorregará (em um espirógrafo real, os dentes em ambos os círculos evitam tal escorregamento). Agora suponha que um ponto situado em algum lugar interno esteja localizado a uma distância do centro de. Este ponto corresponde ao orifício da caneta no disco interno de um espirógrafo real. Sem perda de generalidade, pode-se supor que no momento inicial o ponto estava no eixo. Para encontrar a trajetória criada por um espirógrafo, siga o ponto conforme o círculo interno é colocado em movimento.

Agora marcar dois pontos sobre e sobre . O ponto sempre indica a localização onde os dois círculos são tangentes. O ponto , no entanto, seguirá em frente e sua localização inicial coincide com . Depois de se movimentar no sentido anti-horário , tem uma rotação no sentido horário em relação ao seu centro. A distância que ponto travessias sobre é a mesma que atravessada pelo ponto de tangência na , devido à ausência de escorregar.

Agora defina o novo sistema (relativo) de coordenadas com sua origem no centro de e seus eixos paralelos a e . Seja o parâmetro o ângulo pelo qual o ponto tangente gira e o ângulo pelo qual gira (isto é, pelo qual viaja) no sistema relativo de coordenadas. Como não há escorregões, as distâncias percorridas por e ao longo de seus respectivos círculos devem ser as mesmas, portanto

ou equivalente,

É comum supor que um movimento anti-horário corresponde a uma mudança positiva de ângulo e um movimento no sentido horário a uma mudança negativa de ângulo. Um sinal de menos na fórmula acima ( ) atende a essa convenção.

Sejam as coordenadas do centro de no sistema absoluto de coordenadas. Então representa o raio da trajetória do centro de , que (novamente no sistema absoluto) sofre movimento circular assim:

Conforme definido acima, é o ângulo de rotação no novo sistema relativo. Como o ponto obedece à lei usual do movimento circular, suas coordenadas no novo sistema de coordenadas relativas são

Para obter a trajetória de no (antigo) sistema de coordenadas absoluto, adicione estes dois movimentos:

onde é definido acima.

Agora, use a relação entre e conforme derivado acima para obter equações que descrevem a trajetória do ponto em termos de um único parâmetro :

(usando o fato de que a função é ímpar ).

É conveniente para representar a equação acima em termos do raio do e parâmetros adimensionais que descrevem a estrutura do Spirograph. Ou seja, vamos

e

O parâmetro representa a distância que o ponto está localizado do centro de . Ao mesmo tempo, representa o quão grande é o círculo interno em relação ao externo .

Agora é observado que

e, portanto, as equações de trajetória assumem a forma

O parâmetro é um parâmetro de escala e não afeta a estrutura do espirógrafo. Valores diferentes de produziriam desenhos espirográficos semelhantes .

Os dois casos extremos e resultado em trajectórias degenerados da Spirograph. No primeiro caso extremo, quando , temos um círculo simples de raio , correspondendo ao caso em que foi reduzido a um ponto. (A divisão por na fórmula não é um problema, uma vez que e são funções limitadas).

O outro caso extremo corresponde ao raio do círculo interno coincidindo com o raio do círculo externo , ou seja . Neste caso, a trajetória é um único ponto. Intuitivamente, é grande demais para rolar dentro do mesmo tamanho sem escorregar.

Se , então, o ponto está na circunferência de . Nesse caso, as trajetórias são chamadas de hipociclóides e as equações acima se reduzem às de um hipociclóide.

Veja também

Referências

links externos