Richard Dedekind - Richard Dedekind

Richard Dedekind
Richard Dedekind 1900s.jpg
Nascer ( 1831-10-06 )6 de outubro de 1831
Faleceu 12 de fevereiro de 1916 (12/02/1916)(com 84 anos)
Nacionalidade alemão
Alma mater Collegium Carolinum
University of Göttingen
Conhecido por Dedekind cortou
os axiomas de Dedekind-Peano
Álgebra abstrata
Teoria dos números algébricos
Números reais
Logicismo
Carreira científica
Campos Matemática
Filosofia da matemática
Orientador de doutorado Carl Friedrich Gauss

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de outubro de 1831 - 12 de fevereiro de 1916) foi um matemático alemão que fez contribuições importantes para a teoria dos números , álgebra abstrata (particularmente a teoria dos anéis ) e os fundamentos axiomáticos da aritmética . Sua contribuição mais conhecida é a definição de números reais por meio da noção de corte de Dedekind . Ele também é considerado um pioneiro no desenvolvimento da moderna teoria dos conjuntos e da filosofia da matemática conhecida como Logicismo .

Vida

O pai de Dedekind era Julius Levin Ulrich Dedekind, um administrador do Collegium Carolinum em Braunschweig . Sua mãe era Caroline Henriette Dedekind (nascida Emperius), filha de um professor do Collegium. Richard Dedekind tinha três irmãos mais velhos. Quando adulto, ele nunca usou os nomes de Julius Wilhelm. Ele nasceu em Braunschweig (muitas vezes chamado de "Brunswick" em inglês), onde viveu a maior parte de sua vida e depois morreu lá também.

Ele frequentou o Collegium Carolinum em 1848 antes de se transferir para a Universidade de Göttingen em 1850. Lá, Dedekind aprendeu teoria dos números com o professor Moritz Stern . Gauss ainda estava ensinando, embora principalmente no nível elementar, e Dedekind se tornou seu último aluno. Dedekind recebeu seu doutorado em 1852, com uma tese intitulada Über die Theorie der Eulerschen Integrale ("Sobre a teoria das integrais de Eulerian "). Esta tese não demonstrou o talento evidente pelas publicações subsequentes de Dedekind.

Naquela época, a Universidade de Berlim , e não Göttingen , era o principal centro de pesquisa matemática na Alemanha. Assim, Dedekind foi para Berlim para estudar dois anos, onde ele e Bernhard Riemann foram contemporâneos; ambos receberam a habilitação em 1854. Dedekind voltou a Göttingen para ensinar como Privatdozent , dando cursos de probabilidade e geometria . Ele estudou um pouco com Peter Gustav Lejeune Dirichlet , e eles se tornaram bons amigos. Devido a persistentes deficiências em seu conhecimento matemático, ele estudou as funções elípticas e abelianas . No entanto, ele também foi o primeiro em Göttingen a dar uma palestra sobre a teoria de Galois . Nessa época, ele se tornou uma das primeiras pessoas a entender a importância da noção de grupos para álgebra e aritmética .

Em 1858, ele começou a ensinar na Politécnica escola em Zurique (ETH agora Zürich). Quando o Collegium Carolinum foi atualizado para Technische Hochschule (Instituto de Tecnologia) em 1862, Dedekind voltou para sua Braunschweig natal, onde passou o resto de sua vida, ensinando no Instituto. Ele se aposentou em 1894, mas deu aulas ocasionais e continuou a publicar. Ele nunca se casou, em vez disso morou com sua irmã Julia.

Dedekind foi eleito para as Academias de Berlim (1880) e Roma, e para a Academia Francesa de Ciências (1900). Ele recebeu doutorado honorário das universidades de Oslo , Zurique e Braunschweig .

Trabalhar

Dedekind, antes de 1886

Enquanto ensinava cálculo pela primeira vez na Escola Politécnica , Dedekind desenvolveu a noção agora conhecida como corte de Dedekind (alemão: Schnitt ), agora uma definição padrão dos números reais. A ideia de um corte é que um número irracional divide os números racionais em duas classes ( conjuntos ), com todos os números de uma classe (maior) sendo estritamente maiores do que todos os números da outra classe (menor). Por exemplo, a raiz quadrada de 2 define todos os números não negativos cujos quadrados são menores que 2 e os números negativos na classe menor e os números positivos cujos quadrados são maiores que 2 na classe maior. Cada localização no continuum da linha numérica contém um número racional ou irracional. Portanto, não há locais vazios, lacunas ou descontinuidades. Dedekind publicou seus pensamentos sobre números irracionais e cortes de Dedekind em seu panfleto "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("Continuidade e números irracionais"); na terminologia moderna, Vollständigkeit , completude .

Dedekind definiu dois conjuntos como "semelhantes" quando existe uma correspondência um a um entre eles. Ele invocou similaridade para dar a primeira definição precisa de um conjunto infinito : um conjunto é infinito quando é "semelhante a uma parte própria de si mesmo", na terminologia moderna, é igual a um de seus subconjuntos próprios . Assim, o conjunto N de números naturais pode ser mostrado para ser semelhante ao subconjunto de N cujos membros são os quadrados de cada membro de N , ( N N 2 ):

N    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ...
                      
N2   1  4  9  16 25 36 49 64 81 100 ...

O trabalho de Dedekind nesta área antecipou o de Georg Cantor , que é comumente considerado o fundador da teoria dos conjuntos . Da mesma forma, suas contribuições para os fundamentos da matemática anteciparam trabalhos posteriores de grandes proponentes da lógica , como Gottlob Frege e Bertrand Russell .


Dedekind editou as obras coletadas de Lejeune Dirichlet , Gauss e Riemann . O estudo de Dedekind sobre o trabalho de Lejeune Dirichlet o levou ao seu estudo posterior de campos e ideais de números algébricos . Em 1863, ele publicou as palestras de Lejeune Dirichlet sobre a teoria dos números como Vorlesungen über Zahlentheorie ("Lectures on Number Theory") sobre as quais foi escrito que:

Embora o livro seja seguramente baseado nas palestras de Dirichlet, e embora o próprio Dedekind tenha se referido ao livro ao longo de sua vida como de Dirichlet, o livro em si foi inteiramente escrito por Dedekind, na maior parte após a morte de Dirichlet.

-  Edwards, 1983

As edições de 1879 e 1894 do Vorlesungen incluíam suplementos que introduziam a noção de um ideal, fundamental para a teoria dos anéis . (A palavra "Anel", introduzida posteriormente por Hilbert , não aparece no trabalho de Dedekind.) Dedekind definiu um ideal como um subconjunto de um conjunto de números, composto de inteiros algébricos que satisfazem equações polinomiais com coeficientes inteiros . O conceito foi posteriormente desenvolvido nas mãos de Hilbert e, especialmente, de Emmy Noether . Ideais generalizar Ernst Eduard Kummer 's números ideais , concebidas como parte de 1843 a tentativa de Kummer para provar último teorema de Fermat . (Assim, pode-se dizer que Dedekind foi o discípulo mais importante de Kummer.) Em um artigo de 1882, Dedekind e Heinrich Martin Weber aplicaram ideais a superfícies de Riemann , dando uma prova algébrica do teorema de Riemann-Roch .

Em 1888, ele publicou uma curta monografia intitulada Was sind und was sollen die Zahlen? ("O que são números e para que servem?" Ewald 1996: 790), que incluiu sua definição de um conjunto infinito . Ele também propôs uma base axiomática para os números naturais, cujas noções primitivas eram o número um e a função sucessora . No ano seguinte, Giuseppe Peano , citando Dedekind, formulou um conjunto equivalente, mas mais simples de axiomas , agora os padrão.

Dedekind fez outras contribuições para a álgebra . Por exemplo, por volta de 1900, ele escreveu os primeiros artigos sobre redes modulares . Em 1872, durante as férias em Interlaken , Dedekind conheceu Georg Cantor . Assim começou uma relação duradoura de respeito mútuo, e Dedekind se tornou um dos primeiros matemáticos a admirar o trabalho de Cantor sobre conjuntos infinitos, provando ser um aliado valioso nas disputas de Cantor com Leopold Kronecker , que era filosoficamente oposto aos números transfinitos de Cantor .

Bibliografia

Literatura primária em inglês:

  • 1890. "Letter to Keferstein" em Jean van Heijenoort , 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 . Harvard Univ. Imprensa: 98–103.
  • 1963 (1901). Ensaios sobre a teoria dos números . Beman, WW, ed. e trans. Dover. Contém traduções para o inglês de Stetigkeit und irrationale Zahlen e Was sind und was sollen die Zahlen?
  • 1996. Theory of Algebraic Integers . Stillwell, John, ed. e trans. Cambridge Uni. Pressione. Uma tradução de Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen .
  • Ewald, William B., ed., 1996. De Kant a Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics , 2 vols. Oxford Uni. Pressione.
    • 1854. "Sobre a introdução de novas funções na matemática", 754-61.
    • 1872. "Continuity and irrational numbers", 765–78. (tradução de Stetigkeit ... )
    • 1888. O que são números e o que deveriam ser? , 787–832. (tradução de Was sind und ... )
    • 1872–1882, 1899. Correspondence with Cantor, 843–77, 930–40.

Literatura primária em alemão:

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

Existe uma bibliografia online da literatura secundária sobre Dedekind. Consulte também a "Introdução" de Stillwell a Dedekind (1996).

links externos