Paradoxo de Raven - Raven paradox

O paradoxo corvo , também conhecido como o paradoxo de Hempel , corvos de Hempel , ou raramente o paradoxo da ornitologia interior , é um paradoxo decorrente da questão do que constitui evidência para um comunicado. Observar objetos que não são pretos nem corvos pode aumentar formalmente a probabilidade de que todos os corvos sejam pretos, embora, intuitivamente, essas observações não sejam relacionadas.

Esse problema foi proposto pelo lógico Carl Gustav Hempel na década de 1940 para ilustrar uma contradição entre a lógica indutiva e a intuição .

Paradoxo

Hempel descreve o paradoxo em termos da hipótese :

(1) Todos os corvos são pretos . Na forma de uma implicação, isso pode ser expresso como: Se algo é um corvo, então é preto.

Por contraposição , esta afirmação é equivalente a:

(2) Se algo não é preto, então não é um corvo.

Em todas as circunstâncias onde (2) é verdadeiro, (1) também é verdadeiro - e da mesma forma, em todas as circunstâncias onde (2) é falso (ou seja, se um mundo é imaginado em que algo que não era preto, mas era um corvo, existia), (1) também é falso.

Dada uma afirmação geral, como todos os corvos são negros , uma forma da mesma afirmação que se refere a uma instância observável específica da classe geral seria normalmente considerada como evidência para essa afirmação geral. Por exemplo,

(3) Meu corvo de estimação é preto.

Há evidências que apóiam a hipótese de que todos os corvos são negros .

O paradoxo surge quando esse mesmo processo é aplicado à afirmação (2). Ao avistar uma maçã verde, pode-se observar:

(4) Esta maçã verde não é preta e não é um corvo.

Pelo mesmo raciocínio, esta afirmação é evidência de que (2) se algo não é preto, então não é um corvo. Mas, uma vez que (como acima) esta afirmação é logicamente equivalente a (1) todos os corvos são pretos , segue-se que a visão de uma maçã verde é uma evidência que apóia a noção de que todos os corvos são pretos. Essa conclusão parece paradoxal porque implica que informações foram obtidas sobre os corvos olhando para uma maçã.

Resoluções propostas

O critério de Nicod diz que apenas as observações de corvos devem afetar a visão de alguém se todos os corvos são pretos. Observar mais ocorrências de corvos negros deve apoiar a visão, observar corvos brancos ou coloridos deve contradizê-la, e observações de não-corvos não devem ter qualquer influência.

A condição de equivalência de Hempel afirma que quando uma proposição, X, fornece evidência a favor de outra proposição Y, então X também fornece evidência a favor de qualquer proposição que seja logicamente equivalente a Y.

Realisticamente, o conjunto de corvos é finito. O conjunto de coisas não pretas é infinito ou está além da enumeração humana. Para confirmar a afirmação 'Todos os corvos são pretos', seria necessário observar todos os corvos. Isso é difícil, mas possível. Para confirmar a afirmação 'Todas as coisas não pretas são não corvos', seria necessário examinar todas as coisas não pretas. Isso não é possível. Observar um corvo negro pode ser considerado uma quantidade finita de evidência confirmatória, mas observar um não-corvo não negro seria uma quantidade infinitesimal de evidência.

O paradoxo mostra que o critério de Nicod e a condição de equivalência de Hempel não são mutuamente consistentes. Uma resolução para o paradoxo deve rejeitar pelo menos um de:

1. instâncias negativas sem influência (! PC),
2. condição de equivalência (EC), ou,
3. validação por instâncias positivas (NC).

Uma resolução satisfatória também deve explicar por que ingenuamente parece haver um paradoxo. Soluções que aceitam a conclusão paradoxal podem fazer isso apresentando uma proposição que intuitivamente sabemos ser falsa, mas que é facilmente confundida com (PC), enquanto soluções que rejeitam (EC) ou (NC) devem apresentar uma proposição que sabemos intuitivamente ser verdade, mas isso é facilmente confundido com (CE) ou (NC).

Aceitando não-corvos como relevantes

Embora essa conclusão do paradoxo pareça contra-intuitiva, algumas abordagens aceitam que observações de não-corvos (coloridos) podem de fato constituir evidências válidas em apoio a hipóteses sobre (a escuridão universal de) corvos.

Resolução de Hempel

O próprio Hempel aceitou a conclusão paradoxal, argumentando que a razão pela qual o resultado parece paradoxal é que possuímos informações anteriores, sem as quais a observação de um não-corvo não preto realmente forneceria evidências de que todos os corvos são pretos.

Ele ilustra isso com o exemplo da generalização "Todos os sais de sódio queimam em amarelo" e nos pede que consideremos a observação que ocorre quando alguém segura um pedaço de gelo puro em uma chama incolor que não fica amarela:

Esse resultado confirmaria a assertiva: "O que não queima amarelo não é sal de sódio" e, conseqüentemente, em virtude da condição de equivalência, confirmaria a formulação original. Por que isso nos impressiona como paradoxal? A razão fica clara quando comparamos a situação anterior com o caso de um experimento em que um objeto cuja constituição química ainda é desconhecida é mantido em uma chama e não consegue torná-lo amarelo, e onde a análise subsequente revela que ele não contém sódio. sal. Este resultado, devemos sem dúvida concordar, é o que era de se esperar com base na hipótese ... portanto, os dados aqui obtidos constituem evidência confirmatória para a hipótese. ... Nos casos aparentemente paradoxais de confirmação, muitas vezes não estamos realmente julgando a relação da evidência dada, E apenas com a hipótese H ... introduzimos tacitamente uma comparação de H com um corpo de evidência que consiste em E em em conjunto com uma quantidade adicional de informações que por acaso temos à nossa disposição; em nossa ilustração, essa informação inclui o conhecimento (1) de que a substância usada no experimento é o gelo e (2) de que o gelo não contém sal de sódio. Se assumirmos que essa informação adicional é dada, então, é claro, o resultado do experimento não pode adicionar força à hipótese em consideração. Mas se tivermos o cuidado de evitar essa referência tácita a conhecimentos adicionais ... os paradoxos desaparecem.

Solução Bayesiana padrão

Uma das resoluções propostas mais populares é aceitar a conclusão de que a observação de uma maçã verde fornece evidências de que todos os corvos são pretos, mas argumentar que a quantidade de confirmação fornecida é muito pequena, devido à grande discrepância entre o número de corvos e o número de objetos não pretos. De acordo com essa resolução, a conclusão parece paradoxal porque intuitivamente estimamos que a quantidade de evidência fornecida pela observação de uma maçã verde seja zero, quando na verdade é diferente de zero, mas extremamente pequena.

A apresentação desse argumento por IJ Good em 1960 é talvez a mais conhecida, e variações do argumento têm sido populares desde então, embora tenham sido apresentadas em 1958 e as primeiras formas do argumento tenham aparecido já em 1940.

O argumento de Good envolve o cálculo do peso da evidência fornecida pela observação de um corvo preto ou de um sapato branco em favor da hipótese de que todos os corvos em uma coleção de objetos são pretos. O peso da evidência é o logaritmo do fator de Bayes , que neste caso é simplesmente o fator pelo qual as probabilidades da hipótese mudam quando a observação é feita. O argumento é o seguinte:

... suponha que existam objetos que podem ser vistos a qualquer momento, dos quais são corvos e são pretos, e que cada um dos objetos tem probabilidade de ser visto. Deixe ser a hipótese de que existem corvos não pretos, e suponha que as hipóteses são inicialmente equiprováveis. Então, se acontecer de nós vermos um corvo preto, o fator Bayes a favor de é${\ displaystyle N}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {N}}}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle H_ {1}, H_ {2}, ..., H_ {r}}$${\ displaystyle H_ {0}}$

${\ displaystyle {\ tfrac {r} {N}} {\ Big /} {\ text {média}} \ left ({\ tfrac {r-1} {N}}, {\ tfrac {r-2} { N}}, ... \, {\ tfrac {1} {N}} \ right) \ = \ {\ tfrac {2r} {r-1}}}$

ou seja, cerca de 2 se o número de corvos existentes for grande. Mas o fator se vemos um sapato branco é apenas

${\ displaystyle {\ tfrac {Nb} {N}} {\ Big /} {\ text {média}} \ left ({\ tfrac {Nb-1} {N}}, {\ tfrac {Nb-2} { N}}, ... \, \ max (0, {\ tfrac {Nbr} {N}}) \ right)}$

${\ displaystyle \ = \ {\ frac {Nb} {\ max \ left (Nb - {\ tfrac {r} {2}} - {\ tfrac {1} {2}} \, \ {\ tfrac {1} {2}} (Nb-1) \ direita)}}}$

e isso excede a unidade em apenas cerca de se for grande em comparação com . Assim, o peso da evidência fornecida pela visão de um sapato branco é positivo, mas é pequeno se o número de corvos é conhecido como pequeno em comparação com o número de objetos não pretos.${\ displaystyle r / (2N-2b)}$${\ displaystyle Nb}$${\ displaystyle r}$

Muitos dos proponentes desta resolução e variantes dela foram defensores da probabilidade bayesiana, e agora é comumente chamada de Solução Bayesiana, embora, como Chihara observa, “não exista tal coisa como a solução Bayesiana. soluções 'que os Bayesianos apresentaram usando técnicas Bayesianas. " Abordagens dignas de nota usando técnicas Bayesianas (algumas das quais aceitam! PC e rejeitam NC) incluem Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum , Howson e Urbach, Mackie e Hintikka, que afirma que sua abordagem é "mais Bayesiana do que a então- chamada de 'solução bayesiana' do mesmo paradoxo ". As abordagens bayesianas que fazem uso da teoria da inferência indutiva de Carnap incluem Humburg, Maher e Fitelson & Hawthorne. Vranas introduziu o termo "Solução Bayesiana Padrão" para evitar confusão.

Abordagem Carnap

Maher aceita a conclusão paradoxal e a refina:

Um não-corvo (de qualquer cor) confirma que todos os corvos são pretos porque

(i) a informação de que este objeto não é um corvo remove a possibilidade de que este objeto seja um contra-exemplo à generalização, e

(ii) reduz a probabilidade de que objetos não observados sejam corvos, reduzindo assim a probabilidade de que sejam contra-exemplos à generalização.

Para alcançar (ii), ele recorre à teoria da probabilidade indutiva de Carnap, que é (do ponto de vista bayesiano) uma forma de atribuir probabilidades a priori que naturalmente implementa a indução. De acordo com a teoria de Carnap, a probabilidade posterior,, de que um objeto ,, terá um predicado , após a evidência ter sido observada, é: ${\ displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle P (Fa | E) \ = \ {\ frac {n_ {F} + \ lambda P (Fa)} {n + \ lambda}}}$

onde é a probabilidade inicial que tem o predicado ; é o número de objetos examinados (de acordo com as evidências disponíveis ); é o número de objetos examinados que acabaram tendo o predicado e é uma constante que mede a resistência à generalização. ${\ displaystyle P (Fa)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle n_ {F}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ lambda}$

Se for próximo de zero, estará muito próximo de um após uma única observação de um objeto que acabou por ter o predicado , enquanto se for muito maior que , estará muito próximo de independentemente da fração de objetos observados que tinham o predicado . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P (Fa | E)}$${\ displaystyle P (Fa)}$${\ displaystyle F}$

Usando essa abordagem carnapiana, Maher identifica uma proposição que intuitivamente (e corretamente) sabemos que é falsa, mas facilmente confundir com a conclusão paradoxal. A proposição em questão é que observar não-corvos nos fala sobre a cor dos corvos. Embora isso seja intuitivamente falso e também seja falso de acordo com a teoria de indução de Carnap, observar não-corvos (de acordo com essa mesma teoria) nos faz reduzir nossa estimativa do número total de corvos e, assim, reduz o número estimado de contra-exemplos possíveis para a regra de que todos os corvos são pretos.

Portanto, do ponto de vista bayesiano-carnapiano, a observação de um não-corvo não nos diz nada sobre a cor dos corvos, mas nos fala sobre a prevalência de corvos, e sustenta "Todos os corvos são pretos", reduzindo nossa estimativa do número de corvos que podem não ser pretos.

Papel do conhecimento prévio

Grande parte da discussão do paradoxo em geral e da abordagem bayesiana em particular tem se centrado na relevância do conhecimento prévio. Surpreendentemente, Maher mostra que, para uma grande classe de configurações possíveis de conhecimento de fundo, a observação de um não-corvo não preto fornece exatamente a mesma quantidade de confirmação que a observação de um corvo preto. As configurações de conhecimento de fundo que ele considera são aquelas fornecidas por uma proposição de amostra , ou seja, uma proposição que é uma conjunção de proposições atômicas, cada uma das quais atribui um único predicado a um único indivíduo, sem duas proposições atômicas envolvendo o mesmo indivíduo . Assim, uma proposição da forma "A é um corvo preto e B é um sapato branco" pode ser considerada uma proposição de amostra tomando "corvo preto" e "sapato branco" como predicados.

A prova de Maher parece contradizer o resultado do argumento bayesiano, de que a observação de um não-corvo não preto fornece muito menos evidências do que a observação de um corvo preto. A razão é que o conhecimento de fundo que Good e outros usam não pode ser expresso na forma de uma proposição de amostra - em particular, as variantes da abordagem Bayesiana padrão muitas vezes supõem (como Good fez no argumento citado acima) que o número total de corvos, objetos não pretos e / ou o número total de objetos, são quantidades conhecidas. Maher comenta que: "A razão pela qual pensamos que existem mais coisas não negras do que corvos é porque isso tem acontecido com as coisas que observamos até agora. Provas desse tipo podem ser representadas por uma proposição de amostra. Mas ... dado qualquer proposição de amostra como evidência de fundo, um não-preto não-corvo confirma A tão fortemente quanto um corvo preto ... Assim, minha análise sugere que esta resposta ao paradoxo [isto é, o Bayesiano padrão] não pode ser correta. "

Fitelson & Hawthorne examinaram as condições sob as quais a observação de um não-corvo não preto fornece menos evidências do que a observação de um corvo preto. Eles mostram que, se for um objeto selecionado ao acaso, é a proposição de que o objeto é preto, e é a proposição de que o objeto é um corvo, então a condição: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle Ba}$${\ displaystyle Ra}$

${\ displaystyle {\ frac {P ({\ overline {Ba}} | {\ overline {H}})} {P (Ra | {\ overline {H}})}} \ - \ P ({\ overline { Ba}} | Ra {\ overline {H}}) \ \ geq \ P (Ba | Ra {\ overline {H}}) {\ frac {P ({\ overline {Ba}} | H)} {P ( Ra | H)}}}$

é suficiente para que a observação de um corvo não preto não forneça menos evidência do que a observação de um corvo preto. Aqui, uma linha sobre uma proposição indica a negação lógica dessa proposição.

Esta condição não nos diz quão grande é a diferença nas evidências fornecidas, mas um cálculo posterior no mesmo papel mostra que o peso da evidência fornecida por um corvo preto excede em aproximadamente o fornecido por um não preto não-corvo . Isso é igual à quantidade de informação adicional (em bits, se a base do logaritmo for 2) que é fornecida quando um corvo de cor desconhecida é preto, dada a hipótese de que nem todos os corvos são pretos. ${\ displaystyle - \ log P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$

Fitelson e Hawthorne explicam que:

Em circunstâncias normais, pode ser algo em torno de 0,9 ou 0,95; então está algo em torno de 1,11 ou 1,05. Assim, pode parecer que uma única instância de um corvo preto não produz muito mais suporte do que um não-corvo não preto. No entanto, sob condições plausíveis, pode ser mostrado que uma sequência de instâncias (ou seja, de n corvos negros, em comparação com n não-corvos não pretos) produz uma razão de razões de probabilidade da ordem de , que aumenta significativamente para grande .${\ displaystyle p = P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$${\ displaystyle 1 / p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (1 / p) ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

Os autores apontam que sua análise é completamente consistente com a suposição de que um não-preto não-corvo fornece uma quantidade extremamente pequena de evidência, embora eles não tentem prová-la; eles simplesmente calculam a diferença entre a quantidade de evidências que um corvo negro fornece e a quantidade de evidências que um não-preto não-corvo fornece.

Disputando a indução de instâncias positivas

Algumas abordagens para resolver o paradoxo se concentram na etapa indutiva. Eles contestam se a observação de uma instância particular (como um corvo preto) é o tipo de evidência que necessariamente aumenta a confiança na hipótese geral (como a de que os corvos são sempre pretos).

Arenque vermelho

Good dá um exemplo de conhecimento prévio em relação ao qual a observação de um corvo preto diminui a probabilidade de que todos os corvos sejam pretos:

Suponha que sabemos que estamos em um ou outro dos dois mundos, e a hipótese, H, em consideração é que todos os corvos em nosso mundo são pretos. Sabemos de antemão que em um mundo existem cem corvos negros, nenhum corvo não negro e um milhão de outros pássaros; e que no outro mundo existem mil corvos negros, um corvo branco e um milhão de outros pássaros. Um pássaro é selecionado equiprovavelmente ao acaso de todos os pássaros em nosso mundo. Acontece que é um corvo preto. Esta é uma forte evidência ... de que estamos no segundo mundo, onde nem todos os corvos são negros.

Good conclui que o sapato branco é um " arenque vermelho ": às vezes, até um corvo preto pode constituir evidência contra a hipótese de que todos os corvos são pretos, então o fato de que a observação de um sapato branco pode sustentá-lo não é surpreendente e não merece atenção . O critério de Nicod é falso, de acordo com Good, e assim a conclusão paradoxal não segue.

Hempel rejeitou isso como uma solução para o paradoxo, insistindo que a proposição 'c é um corvo e é preto' deve ser considerada "por si mesma e sem referência a qualquer outra informação", e apontando que "... foi enfatizada em seção 5.2 (b) do meu artigo em Mind ... que o próprio aparecimento de paradoxalidade em casos como o do sapato branco resulta em parte de uma falha em observar esta máxima. "

A questão que então surge é se o paradoxo deve ser entendido no contexto de absolutamente nenhuma informação de fundo (como sugere Hempel), ou no contexto das informações de fundo que realmente possuímos sobre corvos e objetos negros, ou com relação a todos possíveis configurações de informações de fundo.

Good havia mostrado que, para algumas configurações de conhecimento prévio, o critério de Nicod é falso (desde que estejamos dispostos a igualar "suporte indutivo" com "aumentar a probabilidade de" - veja abaixo). Restava a possibilidade de que, no que diz respeito à nossa configuração real do conhecimento, que é muito diferente do exemplo de Good, o critério de Nicod ainda pudesse ser verdadeiro e assim pudéssemos chegar à conclusão paradoxal. Hempel, por outro lado, insiste que nosso próprio conhecimento de fundo é a pista falsa, e que devemos considerar a indução com respeito a uma condição de ignorância perfeita.

Bebe do bom

Em sua resolução proposta, Maher implicitamente fez uso do fato de que a proposição "Todos os corvos são negros" é altamente provável quando é altamente provável que não haja corvos. Good havia usado esse fato antes para responder à insistência de Hempel de que o critério de Nicod deveria ser entendido como válido na ausência de informações de fundo:

... imagine um bebê recém-nascido infinitamente inteligente com circuitos neurais integrados que lhe permitem lidar com a lógica formal, a sintaxe inglesa e a probabilidade subjetiva. Ele pode agora argumentar, depois de definir um corvo em detalhes, que é extremamente improvável que haja qualquer corvo e, portanto, é extremamente provável que todos os corvos sejam pretos, isto é, isso é verdade. “Por outro lado”, ele prossegue, “se houver corvos, então há uma chance razoável de que sejam de uma variedade de cores. Portanto, se eu descobrisse que até mesmo um corvo negro existe, consideraria menos provável do que era inicialmente. '${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$

Isso, de acordo com Good, é o mais próximo que se pode razoavelmente esperar de uma condição de perfeita ignorância, e parece que a condição de Nicod ainda é falsa. Maher tornou o argumento de Good mais preciso usando a teoria da indução de Carnap para formalizar a noção de que, se há um corvo, é provável que haja muitos.

O argumento de Maher considera um universo de exatamente dois objetos, cada um dos quais muito improvável de ser um corvo (uma chance em mil) e razoavelmente improvável de ser preto (uma chance de um em dez). Usando a fórmula de indução de Carnap, ele descobre que a probabilidade de todos os corvos serem pretos diminui de 0,9985 para 0,8995 quando se descobre que um dos dois objetos é um corvo preto.

Maher conclui que não apenas a conclusão paradoxal é verdadeira, mas que o critério de Nicod é falso na ausência de conhecimento prévio (exceto pelo conhecimento de que o número de objetos no universo é dois e que corvos são menos prováveis ​​do que coisas negras).

Predicados distintos

Quine argumentou que a solução para o paradoxo reside no reconhecimento de que certos predicados , que ele chamou de tipos naturais , têm um status distinto com respeito à indução. Isso pode ser ilustrado com o exemplo de Nelson Goodman do predicado grue . Um objeto é amargo se for azul antes (digamos) de 2021 e verde depois disso. Claramente, esperamos que objetos que eram azuis antes de 2021 permaneçam azuis depois, mas não esperamos que os objetos que foram encontrados como verdes antes de 2021 sejam azuis depois de 2021, já que depois de 2021 eles seriam verdes. A explicação de Quine é que "azul" é um tipo natural; um predicado privilegiado que podemos usar para indução, enquanto "grue" não é um tipo natural e usar indução com ele leva ao erro.

Isso sugere uma resolução para o paradoxo - o critério de Nicod é verdadeiro para tipos naturais, como "azul" e "preto", mas é falso para predicados artificialmente inventados, como "grue" ou "não-corvo". O paradoxo surge, de acordo com esta resolução, porque implicitamente interpretamos o critério de Nicod como aplicável a todos os predicados quando na verdade só se aplica a espécies naturais.

Outra abordagem, que favorece predicados específicos em detrimento de outros, foi adotada por Hintikka. Hintikka foi motivado a encontrar uma abordagem bayesiana para o paradoxo que não fazia uso do conhecimento sobre as frequências relativas de corvos e coisas negras. Argumentos relativos a frequências relativas, ele afirma, nem sempre podem explicar a irrelevância percebida de evidências consistindo em observações de objetos do tipo A com o propósito de aprender sobre objetos do tipo não-A.

Seu argumento pode ser ilustrado reformulando o paradoxo usando outros predicados além de "raven" e "black". Por exemplo, "Todos os homens são altos" é equivalente a "Todas as pessoas baixas são mulheres", portanto, observar que uma pessoa selecionada aleatoriamente é uma mulher baixa deve fornecer evidências de que todos os homens são altos. Apesar do fato de não termos conhecimento prévio para indicar que há dramaticamente menos homens do que pessoas baixas, ainda nos encontramos inclinados a rejeitar a conclusão. O exemplo de Hintikka é: "... uma generalização como 'nenhum corpo material é infinitamente divisível' parece ser completamente não afetada por questões relativas a entidades imateriais, independentemente do que se pensa das frequências relativas de entidades materiais e imateriais em seu universo de discurso. "

Sua solução é introduzir uma ordem no conjunto de predicados. Quando o sistema lógico está equipado com esta ordem, é possível restringir o escopo de uma generalização como "Todos os corvos são negros" para que se aplique apenas a corvos e não a coisas não negras, uma vez que a ordem privilegia corvos sobre não -coisas pretas. Como ele diz:

"Se formos justificados em supor que o escopo da generalização 'Todos os corvos são negros' pode ser restrito aos corvos, isso significa que temos algumas informações externas nas quais podemos confiar no que diz respeito à situação factual. O paradoxo surge do fato que esta informação, que dá cor à nossa visão espontânea da situação, não é incorporada nos tratamentos usuais da situação indutiva. "

Rejeições da condição de equivalência de Hempel

Algumas abordagens para a resolução do paradoxo rejeitam a condição de equivalência de Hempel. Ou seja, eles podem não considerar evidências que apóiem ​​a afirmação de que todos os objetos não pretos são não-corvos para necessariamente apoiar declarações logicamente equivalentes, como todos os corvos são pretos .

Confirmação seletiva

Scheffler e Goodman abordaram o paradoxo que incorpora a visão de Karl Popper de que as hipóteses científicas nunca são realmente confirmadas, apenas falsificadas.

A abordagem começa observando que a observação de um corvo preto não prova que "Todos os corvos são pretos", mas falsifica a hipótese contrária, "Nenhum corvo é preto". Um não-corvo não preto, por outro lado, é consistente tanto com "Todos os corvos são pretos" quanto com "Nenhum corvo é preto". Como os autores colocaram:

... a afirmação de que todos os corvos são pretos não é meramente satisfeita pela evidência de um corvo preto, mas é favorecida por tal evidência, uma vez que um corvo preto refuta a afirmação contrária de que todos os corvos não são pretos, isto é, satisfaz sua negação. Em outras palavras, um corvo preto satisfaz a hipótese de que todos os corvos são pretos e não não: ele confirma seletivamente que todos os corvos são pretos .

A confirmação seletiva viola a condição de equivalência, uma vez que um corvo negro confirma seletivamente "Todos os corvos são negros", mas não "Todas as coisas não pretas são não corvos".

Indução probabilística ou não probabilística

O conceito de confirmação seletiva de Scheffler e Goodman é um exemplo de uma interpretação de "fornece evidências em favor de ..." que não coincide com "aumentar a probabilidade de ...". Esta deve ser uma característica geral de todas as resoluções que rejeitam o condição de equivalência, uma vez que as proposições logicamente equivalentes devem sempre ter a mesma probabilidade.

É impossível para a observação de um corvo preto aumentar a probabilidade da proposição "Todos os corvos são pretos" sem causar exatamente a mesma mudança na probabilidade de que "Todas as coisas não pretas são não corvos". Se uma observação apóia indutivamente o primeiro, mas não o último, então "suporte indutivo" deve se referir a algo diferente de mudanças nas probabilidades de proposições. Uma possível lacuna é interpretar "Todos" como "Quase todos" - "Quase todos os corvos são pretos" não é equivalente a "Quase todas as coisas não pretas são não corvos", e essas proposições podem ter probabilidades muito diferentes.

Isso levanta a questão mais ampla da relação da teoria da probabilidade com o raciocínio indutivo. Karl Popper argumentou que a teoria da probabilidade sozinha não pode explicar a indução. Seu argumento envolve a divisão de uma hipótese,, em uma parte dedutivamente acarretada pela evidência , e outra parte. Isso pode ser feito de duas maneiras. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Primeiro, considere a divisão:

${\ displaystyle H = A \ and \ B \ \ \ \ \ \ \ E = B \ and \ C}$

onde , e são probabilisticamente independentes: e assim por diante. A condição necessária para que tal divisão de H e E seja possível é , isto é, que é suportada probabilisticamente por . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P (A \ e \ B) = P (A) P (B)}$${\ displaystyle P (H | E)> P (H)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

A observação de Popper é que a parte, , de que recebe apoio de realmente segue deductively partir , enquanto a parte de que não segue deductively partir recebe nenhum apoio em tudo a partir de - isto é, . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle P (A | E) = P (A)}$

Em segundo lugar, a divisão:

${\ displaystyle H = (H \ ou \ E) \ and \ (H \ ou \ {\ overline {E}})}$

separa em , que como diz Popper, "é a parte logicamente mais forte de (ou do conteúdo de ) que segue [dedutivamente] de ", e que, diz ele, "contém tudo o que vai além ". Ele continua: ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (H \ ou \ E)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ ou \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$

Será que , neste caso, fornecer qualquer tipo de apoio para o fator , que na presença de é só necessário para obter ? A resposta é: Não. Nunca acontece. Na verdade, contra-apóia a menos que ou (que são possibilidades sem interesse). ...${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ ou \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (H \ ou \ {\ overline {E}})}$${\ displaystyle P (H | E) = 1}$${\ displaystyle P (E) = 1}$

Esse resultado é completamente devastador para a interpretação indutiva do cálculo de probabilidade. Todo suporte probabilístico é puramente dedutivo: aquela parte de uma hipótese que não é dedutivamente acarretada pela evidência é sempre fortemente contra-suportada pela evidência ... Existe o que se chama de suporte probabilístico; pode até haver suporte indutivo (embora dificilmente pensemos assim). Mas o cálculo da probabilidade revela que o suporte probabilístico não pode ser um suporte indutivo.

Abordagem ortodoxa

A teoria ortodoxa de Neyman-Pearson de teste de hipótese considera como decidir se deve aceitar ou rejeitar uma hipótese, em vez de qual probabilidade atribuir à hipótese. Deste ponto de vista, a hipótese de que "Todos os corvos são negros" não é aceita gradativamente , pois sua probabilidade aumenta para um quando mais e mais observações são feitas, mas é aceita em uma única ação como resultado da avaliação dos dados que tem já foi coletado. Como Neyman e Pearson colocaram:

Sem esperar saber se cada hipótese separada é verdadeira ou falsa, podemos buscar regras para governar nosso comportamento em relação a elas, seguindo as quais garantimos que, no longo prazo da experiência, não estaremos muitas vezes errados.

De acordo com esta abordagem, não é necessário atribuir qualquer valor à probabilidade de uma hipótese , embora se deva certamente levar em consideração a probabilidade dos dados dada a hipótese, ou dada uma hipótese concorrente, ao decidir se aceita ou rejeita . A aceitação ou rejeição de uma hipótese traz consigo o risco de erro .

Isso contrasta com a abordagem bayesiana, que exige que a hipótese seja atribuída a uma probabilidade prévia, que é revisada à luz dos dados observados para obter a probabilidade final da hipótese. Na estrutura bayesiana não há risco de erro, pois as hipóteses não são aceitas ou rejeitadas; em vez disso, eles são atribuídos a probabilidades.

Uma análise do paradoxo do ponto de vista ortodoxo foi realizada, e leva a, entre outros insights, uma rejeição da condição de equivalência:

Parece óbvio que não se pode aceitar a hipótese de que todos os P's são Q e também rejeitar a contrapositiva, ou seja, que todos os não-Q são não-P. Ainda assim, é fácil ver que, na teoria de teste de Neyman-Pearson, um teste de "Todos os P's são Q" não é necessariamente um teste de "Todos os não Q são não P" ou vice-versa. Um teste de "Todos os P's são Q" requer referência a alguma hipótese estatística alternativa da forma de todos os P's são Q , enquanto um teste de "Todos os não Q são não P" requer referência a alguma alternativa estatística da forma de todos os não-Q são não-P ,. Mas esses dois conjuntos de alternativas possíveis são diferentes ... Assim, alguém poderia ter um teste sem ter um teste de sua contraposição.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 0 <r <1}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 0 <r <1}$${\ displaystyle H}$

Rejeitando a implicação material

As seguintes proposições implicam umas nas outras: "Todo objeto é preto ou não é um corvo", "Todo corvo é negro" e "Todo objeto não preto é um não corvo". Eles são, portanto, por definição, logicamente equivalentes. No entanto, as três proposições têm domínios diferentes: a primeira proposição diz algo sobre "todos os objetos", enquanto a segunda diz algo sobre "todos os corvos".

A primeira proposição é a única cujo domínio de quantificação é irrestrito ("todos os objetos"), então esta é a única que pode ser expressa na lógica de primeira ordem . É logicamente equivalente a:

${\ displaystyle \ forall \ x, Rx \ \ rightarrow \ Bx}$

e também para

${\ displaystyle \ forall \ x, {\ overline {Bx}} \ \ rightarrow \ {\ overline {Rx}}}$

onde indica a condicional material , de acordo com a qual "Se, então " pode ser entendido como significando " ou ".${\ displaystyle \ rightarrow}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$

Vários autores argumentaram que a implicação material não captura totalmente o significado de "Se então " (veja os paradoxos da implicação material ). "Para cada objeto, , é preto ou não um corvo" é verdadeira quando não há corvos. É por isso que "Todos os corvos são negros" é considerado verdadeiro quando não há corvos. Além disso, os argumentos que Good e Maher usaram para criticar o critério de Nicod (ver § O bebê de Good , acima) baseavam-se neste fato - que "Todos os corvos são negros" é altamente provável quando é altamente provável que não haja corvos. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Dizer que todos os corvos são negros na ausência de qualquer corvo é uma afirmação vazia. Não se refere a nada. "Todos os corvos são brancos" é igualmente relevante e verdadeiro, se esta afirmação for considerada como tendo alguma verdade ou relevância.

Algumas abordagens do paradoxo procuraram encontrar outras maneiras de interpretar "Se, então " e "Todos são ", o que eliminaria a equivalência percebida entre "Todos os corvos são negros" e "Todas as coisas não pretas são não corvos". ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Uma dessas abordagens envolve a introdução de uma lógica de muitos valores de acordo com a qual "Se então " tem o valor verdade , significando "Indeterminado" ou "Inadequado" quando é falso. Em tal sistema, a contraposição não é permitida automaticamente: "Se então " não é equivalente a "Se então ". Consequentemente, "Todos os corvos são pretos" não é equivalente a "Todas as coisas não pretas são não corvos". ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {B}}}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$

Neste sistema, quando contraposição ocorre, a modalidade das condicionais alterações envolvido desde o indicativo ( "Se esse pedaço de manteiga foi aquecida a 32 ° C, em seguida, ela foi derretido") para o contrafactual ( "Se esse pedaço de manteiga fosse aquecido a 32 ° C então teria derretido "). De acordo com esse argumento, isso remove a suposta equivalência necessária para concluir que vacas amarelas podem nos informar sobre corvos:

No uso gramatical apropriado, um argumento contrapositivo não deve ser declarado inteiramente no indicativo. Desse modo:

Do fato de que, se este fósforo estiver riscado, acenderá, segue-se que, se não acender, não foi riscado.

é estranho. Devemos dizer:

A partir do fato de que se este jogo é riscado ele irá acender, segue-se que se foram não à luz que se não foram riscados. ...

Pode-se perguntar que efeito essa interpretação da Lei da Contraposição tem sobre o paradoxo da confirmação de Hempel. "Se é um corvo, então é preto" é equivalente a "Se não fosse preto, então não seria um corvo". Portanto, tudo o que confirma o último deve também, pela Condição de Equivalência, confirmar o primeiro. É verdade, mas as vacas amarelas ainda não podem figurar na confirmação de "Todos os corvos são negros" porque, na ciência, a confirmação é realizada por predição, e as predições são devidamente declaradas no modo indicativo. Não faz sentido perguntar o que confirma um contrafactual.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Resultados diferentes de aceitar as hipóteses

Vários comentaristas observaram que as proposições "Todos os corvos são negros" e "Todas as coisas não pretas são não corvos" sugerem procedimentos diferentes para testar as hipóteses. Por exemplo, Good escreve:

Como proposições, as duas afirmações são logicamente equivalentes. Mas eles têm um efeito psicológico diferente no experimentador. Se ele for solicitado a testar se todos os corvos são pretos, ele procurará um corvo e então decidirá se ele é preto. Mas se ele for solicitado a testar se todas as coisas não pretas são não corvos, ele pode procurar um objeto não preto e então decidir se é um corvo.

Mais recentemente, foi sugerido que "Todos os corvos são negros" e "Todas as coisas não pretas são não corvos" podem ter efeitos diferentes quando aceitos . O argumento considera situações em que os números totais ou prevalências de corvos e objetos pretos são desconhecidos, mas estimados. Quando a hipótese "Todos os corvos são pretos" é aceita, de acordo com o argumento, o número estimado de objetos pretos aumenta, enquanto o número estimado de corvos não muda.

Isso pode ser ilustrado considerando a situação de duas pessoas que têm informações idênticas sobre corvos e objetos pretos, e que têm estimativas idênticas do número de corvos e objetos pretos. Para ser mais concreto, suponha que haja 100 objetos no total e, de acordo com as informações disponíveis para as pessoas envolvidas, cada objeto tem a mesma probabilidade de ser um não-corvo e também de ser um corvo, e também de ser preto como é para não ser preto:

${\ displaystyle P (Ra) = {\ frac {1} {2}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ P (Ba) = {\ frac {1} {2}}}$

e as proposições são independentes para objetos diferentes , e assim por diante. Então, o número estimado de corvos é 50; o número estimado de coisas pretas é 50; o número estimado de corvos negros é 25, e o número estimado de corvos não negros (contra-exemplos às hipóteses) é 25. ${\ displaystyle Ra, \ Rb}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Uma das pessoas realiza um teste estatístico (por exemplo, um teste de Neyman-Pearson ou a comparação do peso acumulado da evidência com um limiar) da hipótese de que "Todos os corvos são pretos", enquanto a outra testa a hipótese de que "Todos os não objetos pretos não são corvos ". Para simplificar, suponha que a evidência usada para o teste não tenha nada a ver com a coleção de 100 objetos tratados aqui. Se a primeira pessoa aceitar a hipótese de que "Todos os corvos são pretos", então, de acordo com o argumento, cerca de 50 objetos cujas cores antes eram duvidosas (os corvos) agora são considerados pretos, enquanto nada de diferente é pensado sobre os objetos restantes (os não-corvos). Consequentemente, ele deve estimar o número de corvos negros em 50, o número de não-corvos negros em 25 e o número de não-corvos não-pretos em 25. Ao especificar essas mudanças, este argumento restringe explicitamente o domínio de "Todos os corvos são negros "para os corvos.

Por outro lado, se a segunda pessoa aceitar a hipótese de que "Todos os objetos não pretos são não corvos", então os cerca de 50 objetos não pretos sobre os quais era incerto se cada um era um corvo, serão considerados não -ravens. Ao mesmo tempo, nada diferente será pensado sobre os cerca de 50 objetos restantes (os objetos pretos). Consequentemente, ele deve estimar o número de corvos negros em 25, o número de não-corvos negros em 25 e o número de não-corvos não negros em 50. De acordo com este argumento, uma vez que as duas pessoas discordam sobre suas estimativas depois de aceitaram as diferentes hipóteses, aceitar "Todos os corvos são negros" não é equivalente a aceitar "Todas as coisas não pretas são não corvos"; aceitar o primeiro significa estimar mais coisas como negras, enquanto aceitar o último envolve estimar mais coisas como não-corvos. Correspondentemente, prossegue o argumento, o primeiro exige como evidência os corvos que acabam sendo pretos e o último exige coisas não pretas que acabam sendo não-corvos.

Pressuposições existenciais

Vários autores argumentaram que as proposições da forma "Todos são " pressupõem que há objetos que são . Esta análise foi aplicada ao paradoxo do corvo: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

... : "Todos os corvos são pretos" e : "Todas as coisas não pretas são não-corvos" não são estritamente equivalentes ... devido às suas diferentes pressuposições existenciais. Além disso, embora e descrevam a mesma regularidade - a inexistência de corvos não negros - eles têm diferentes formas lógicas. As duas hipóteses têm sentidos diferentes e incorporam procedimentos diferentes para testar a regularidade que descrevem.${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Uma lógica modificada pode levar em conta as pressuposições existenciais usando o operador pressuposicional, '*'. Por exemplo,

${\ displaystyle \ forall \ x, \ * Rx \ rightarrow Bx}$

pode denotar "Todos os corvos são negros", enquanto indica que são corvos e não objetos não negros que se supõe que existam neste exemplo.

... a forma lógica de cada hipótese a distingue com respeito ao seu tipo recomendado de evidência de apoio: as instâncias de substituição possivelmente verdadeiras de cada hipótese se relacionam a diferentes tipos de objetos. O fato de que as duas hipóteses incorporam diferentes tipos de procedimentos de teste é expresso na linguagem formal pela prefixação do operador '*' a um predicado diferente. O operador pressuposicional, portanto, também serve como um operador de relevância. É prefixado ao predicado ' é um corvo' em porque os objetos relevantes para o procedimento de teste incorporado em "Todos os corvos são pretos" incluem apenas corvos; é prefixado ao predicado ' não é preto', em , porque os objetos relevantes para o procedimento de teste incorporado em "Todas as coisas não pretas são não pretas" incluem apenas coisas não pretas. ... Usando termos fregeanos : sempre que seus pressupostos são válidos, as duas hipóteses têm o mesmo referente (valor de verdade), mas sentidos diferentes ; isto é, eles expressam duas maneiras diferentes de determinar esse valor de verdade.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Veja também

• Falácia de associação
• Epistemologia bayesiana
• Teoria do cisne negro
• Lista de paradoxos

Notas

Leitura adicional

• Chang, Hasok ; Fisher, Grant (2011). “O que os corvos realmente nos ensinam: a contextualidade intrínseca da evidência” . Em Dawid, Philip; Twining, William L .; Vasilaki, Mimi (eds.). Evidência, inferência e investigação . Anais da Academia Britânica. 171 . Oxford; Nova York: Oxford University Press. doi : 10.5871 / bacad / 9780197264843.003.0013 . ISBN 9780197264843. OCLC  709682874 .
• Franceschi, Paul (04/02/2011). "O argumento do Juízo Final e o problema de Hempel" . paulfranceschi.com . Página visitada em 2020-04-27 .Tradução para o inglês de um artigo publicado inicialmente em francês como: Franceschi, Paul (março de 1999). "Comentário l'Urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel". Canadian Journal of Philosophy . 29 (1): 139–156. doi : 10.1080 / 00455091.1999.10717508 . JSTOR  40232048 .
• Hempel, Carl G. (dezembro de 1943). "Uma definição puramente sintática de confirmação" (PDF) . Journal of Symbolic Logic . 8 (4): 122–143. doi : 10.2307 / 2271053 . JSTOR  2271053 .
• Hempel, Carl G. (1966). “Estudos na lógica da confirmação”. Em Foster, Marguerite H .; Martin, Michael (eds.). Probabilidade, confirmação e simplicidade: leituras na filosofia da lógica indutiva . Nova York: Odyssey Press. pp. 145–183. OCLC  284885 .
• Whiteley, CH (abril de 1945). "Os paradoxos da confirmação de Hempel". Mente . 54 (214): 156–158. doi : 10.1093 / mind / liv.214.156 . JSTOR  2250951 .