Quadratrix - Quadratrix

Em matemática , uma quadratrix (do latim palavra quadrator, quadrada) é uma curva que tem coordenadas que são uma medida da área (ou quadratura) de outra curva. As duas curvas mais famosas dessa classe são as de Dinostratus e EW Tschirnhaus , ambas relacionadas ao círculo .

Quadratrix de Dinostratus

A quadratriz de Dinostratus (também chamada de quadratriz de Hípias ) era bem conhecida dos antigos geômetras gregos e é mencionada por Proclo , que atribui a invenção da curva a um contemporâneo de Sócrates , provavelmente Hípias de Elis . Dinostratus, um geômetra grego e discípulo de Platão , discutiu a curva e mostrou como ela efetuou uma solução mecânica de quadratura do círculo . Pappus , em suas Coleções , trata sua história e fornece dois métodos pelos quais ela pode ser gerada.

  1. Deixe uma hélice ser desenhada em um cilindro circular direito ; uma superfície de parafuso é então obtida desenhando linhas de cada ponto desta espiral perpendicular ao seu eixo. A projeção ortogonal de uma seção dessa superfície por um plano contendo uma das perpendiculares e inclinada em relação ao eixo é a quadratriz.
  2. Um cilindro direito tendo como base uma espiral arquimediana é interseccionado por um cone circular direito que tem a linha geradora do cilindro passando pelo ponto inicial da espiral como seu eixo. De cada ponto da curva de interseção, perpendiculares são traçadas ao eixo. Qualquer seção plana da superfície do parafuso (plectoidal de Pappus) assim obtida é a quadratriz.
Quadratrix de Dinostratus (em vermelho)

Outra construção é a seguinte. DAB é um quadrante no qual a linha DA e o arco DB são divididos no mesmo número de partes iguais. Os raios são traçados do centro do quadrante aos pontos de divisão do arco, e esses raios são interceptados pelas linhas traçadas paralelas a AB e pelos pontos correspondentes no raio DA . O locus dessas interseções é a quadratriz.

Quadratriz de Dinostratus com porção central flanqueada por infinitos ramos

Deixando Um ser a origem do sistema de coordenadas cartesianas , D ser o ponto ( a , 0), a unidades da origem ao longo do x -axis, e B ser o ponto (0, um ), a unidades da origem ao longo do eixo y , a própria curva pode ser expressa pela equação

Como a função cotangente é invariante sob a negação de seu argumento e tem um pólo simples em cada múltiplo de π , a quadratriz tem simetria de reflexão no eixo y e, da mesma forma, tem um pólo para cada valor de x da forma x  = 2 na , para valores inteiros de n , exceto em x  = 0 onde o pólo na cotangente é cancelado pelo fator de x na fórmula da quadratriz. Esses pólos dividem a curva em uma porção central flanqueada por infinitos ramos. O ponto em que a curva passa o y -axis tem y  = 2 um / π ; portanto, se fosse possível construir a curva com precisão, poderia-se construir um segmento de reta cujo comprimento é um múltiplo racional de 1 / π , levando a uma solução do problema clássico de quadratura do círculo . Visto que isso é impossível com compasso e régua , a quadratriz, por sua vez, não pode ser construída com compasso e régua. Uma construção precisa da quadratriz também permitiria a solução de dois outros problemas clássicos conhecidos como impossíveis com compasso e régua: dobrar o cubo e fazer a trissecção de um ângulo .

Quadratrix de Tschirnhaus

Quadratriz de Tschirnhaus (vermelha),
quadratriz de Hippias (pontilhada)

A quadratriz de Tschirnhaus é construída dividindo o arco e o raio de um quadrante no mesmo número de partes iguais que antes. As intersecções mútuas das linhas traçadas a partir dos pontos de divisão do arco paralelo a DA , e as linhas traçadas paralelas a AB através dos pontos de divisão de DA , são pontos na quadratriz. A equação cartesiana é . A curva é periódica e corta o eixo x nos pontos , sendo um número inteiro; os valores máximos de são . Suas propriedades são semelhantes às da quadratriz de Dinostratus.

Outras quadratrizes

Outras curvas que têm sido usadas historicamente para o quadrado do círculo incluem:

Referências

  •  Este artigo incorpora texto de uma publicação agora em domínio público Chisholm, Hugh, ed. (1911). " Quadratrix ". Encyclopædia Britannica . 22 (11ª ed.). Cambridge University Press. p. 706.

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