Fator Q - Q factor

Uma oscilação amortecida. Um fator Q baixo - cerca de 5 aqui - significa que a oscilação desaparece rapidamente.

Em física e engenharia , o fator de qualidade ou Q fator é um adimensional parâmetro que descreve como subamortecido um oscilador ou ressonador é. É aproximadamente definida como a razão entre a energia inicial armazenada no ressonador e a energia perdida em um radiano do ciclo de oscilação. O fator Q é alternativamente definido como a razão entre a frequência central de um ressonador e sua largura de banda quando sujeito a uma força motriz oscilante. Essas duas definições fornecem resultados numericamente semelhantes, mas não idênticos. Q superiorindica uma taxa mais baixa de perda de energia e as oscilações morrem mais lentamente. Um pêndulo suspenso por um rolamento de alta qualidade, oscilando no ar, tem um Q alto , enquanto um pêndulo imerso em óleo tem um baixo. Os ressonadores com fatores de alta qualidade têm baixo amortecimento , de modo que tocam ou vibram por mais tempo.

Explicação

O fator Q é um parâmetro que descreve o comportamento da ressonância de um oscilador harmônico subamortecido (ressonador). Ressonadores acionados sinusoidalmente com fatores Q mais altos ressoam com amplitudes maiores (na frequência de ressonância), mas têm uma faixa menor de frequências em torno daquela frequência para a qual eles ressoam; a faixa de frequências para as quais o oscilador ressoa é chamada de largura de banda. Assim, um circuito sintonizado com Q alto em um receptor de rádio seria mais difícil de sintonizar, mas teria mais seletividade ; faria um trabalho melhor ao filtrar os sinais de outras estações próximas no espectro. Os osciladores High- Q oscilam com uma faixa menor de frequências e são mais estáveis. (Veja ruído de fase do oscilador .)

O fator de qualidade dos osciladores varia substancialmente de sistema para sistema, dependendo de sua construção. Os sistemas para os quais o amortecimento é importante (como amortecedores que impedem que uma porta se feche) têm Q próximo de 1 ⁄ 2 . Relógios, lasers e outros sistemas de ressonância que precisam de forte ressonância ou estabilidade de alta frequência têm fatores de alta qualidade. Diapasões têm fatores de qualidade em torno de 1000. O fator de qualidade dos relógios atômicos , cavidades de RF supercondutoras usadas em aceleradores e alguns lasers de alto Q pode chegar a 10 ¹¹ e mais.

Existem muitas quantidades alternativas usadas por físicos e engenheiros para descrever o quão amortecido é um oscilador. Exemplos importantes incluem: a taxa de amortecimento , largura de banda relativa , largura de linha e largura de banda medida em oitavas .

O conceito de Q se originou com KS Johnson do Departamento de Engenharia da Western Electric Company , enquanto avaliava a qualidade das bobinas (indutores). Sua escolha do símbolo Q se deu apenas porque, na época, todas as outras letras do alfabeto foram levadas. O termo não foi concebido como uma abreviatura para "qualidade" ou "fator de qualidade", embora esses termos tenham crescido para estar associados a ele.

Definição

A definição de Q desde seu primeiro uso em 1914 foi generalizada para se aplicar a bobinas e condensadores, circuitos ressonantes, dispositivos ressonantes, linhas de transmissão ressonantes, ressonadores de cavidade e se expandiu para além do campo da eletrônica para ser aplicada a sistemas dinâmicos em geral: mecânicos e ressonadores acústicos, material Q e sistemas quânticos, como linhas espectrais e ressonâncias de partículas.

Definição de largura de banda

No contexto de ressonadores, existem duas definições comuns para Q , que não são exatamente equivalentes. Eles se tornam aproximadamente equivalentes à medida que Q se torna maior, o que significa que o ressonador se torna menos amortecido. Uma dessas definições é a relação frequência-largura de banda do ressonador:

{\ displaystyle Q \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {f_ {r}} {\ Delta f}} = {\ frac {\ omega _ {r}} {\ Delta \ omega}},}

onde f _r é a frequência de ressonância, Δ f é a largura de ressonância ou largura total na metade do máximo (FWHM), ou seja, a largura de banda sobre a qual a potência de vibração é maior que a metade da potência na frequência de ressonância, ω _r = 2 $π$ f _r é a frequência ressonante angular , e Δ ω é a largura de banda de meia potência angular.

Sob esta definição, Q é o recíproco da largura de banda fracionada .

Definição de energia armazenada

A outra definição quase equivalente comum para Q é a razão da energia armazenada no ressonador oscilante para a energia dissipada por ciclo por processos de amortecimento:

{\ displaystyle Q \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ 2 \ pi \ times {\ frac {\ text {energia armazenada}} {\ text {energia dissipada por ciclo}}} = 2 \ pi f_ {r} \ times {\ frac {\ text {energia armazenada}} {\ text {perda de potência}}}.}

O fator 2 $π$ torna Q expressável em termos mais simples, envolvendo apenas os coeficientes da equação diferencial de segunda ordem que descreve a maioria dos sistemas ressonantes, elétricos ou mecânicos. Em sistemas elétricos, a energia armazenada é a soma das energias armazenadas em indutores e capacitores sem perdas ; a energia perdida é a soma das energias dissipadas em resistores por ciclo. Em sistemas mecânicos, a energia armazenada é a soma das energias potencial e cinética em algum ponto no tempo; a energia perdida é o trabalho realizado por uma força externa , por ciclo, para manter a amplitude.

Mais geralmente e no contexto da especificação do componente reativo (especialmente indutores), a definição dependente da frequência de Q é usada:

{\ displaystyle Q (\ omega) = \ omega \ times {\ frac {\ text {energia máxima armazenada}} {\ text {perda de energia}}},}

onde ω é a frequência angular na qual a energia armazenada e a perda de potência são medidas. Esta definição é consistente com a sua utilização na descrição de circuitos com um único elemento reactivo (condensador ou indutor), onde ele pode ser mostrado para ser igual à razão de potência reactiva para poder real . ( Consulte Componentes reativos individuais .)

Fator Q e amortecimento

O fator Q determina o comportamento qualitativo de osciladores amortecidos simples. (Para obter detalhes matemáticos sobre esses sistemas e seu comportamento, consulte o oscilador harmônico e o sistema linear invariante no tempo (LTI) .)

Um sistema com baixo fator de qualidade ( Q < 1 ⁄ 2 ) é considerado superamortecido . Tal sistema não oscila em absoluto, mas quando deslocado de sua saída de estado estacionário de equilíbrio, ele retorna a ele por decaimento exponencial , aproximando-se do valor de estado estacionário assintoticamente . Ele tem uma resposta de impulso que é a soma de duas funções exponenciais decadentes com taxas de decaimento diferentes. À medida que o fator de qualidade diminui, o modo de decaimento mais lento se torna mais forte em relação ao modo mais rápido e domina a resposta do sistema, resultando em um sistema mais lento. Um filtro passa-baixa de segunda ordem com um fator de qualidade muito baixo tem uma resposta ao degrau quase de primeira ordem; a saída do sistema responde a uma entrada escalonada subindo lentamente em direção a uma assíntota .
Um sistema com fator de alta qualidade ( Q > 1 ⁄ 2 ) é considerado subamortecido . Os sistemas subamortecidos combinam a oscilação em uma frequência específica com um declínio da amplitude do sinal. Sistemas subamortecidos com baixo fator de qualidade (um pouco acima de Q = 1 ⁄ 2 ) podem oscilar apenas uma ou algumas vezes antes de morrer. Conforme o fator de qualidade aumenta, a quantidade relativa de amortecimento diminui. Um sino de alta qualidade toca com um único tom puro por muito tempo após ser tocado. Um sistema puramente oscilatório, como um sino que toca para sempre, tem um fator de qualidade infinito. De modo mais geral, a saída de um filtro passa-baixa de segunda ordem com um fator de qualidade muito alto responde a uma entrada em degrau subindo rapidamente acima, oscilando e, eventualmente, convergindo para um valor de estado estacionário.
Um sistema com um fator de qualidade intermediário ( Q = 1 ⁄ 2 ) é considerado criticamente amortecido . Como um sistema superamortecido, a saída não oscila e não ultrapassa sua saída de estado estacionário (ou seja, ela se aproxima de uma assíntota de estado estacionário). Como uma resposta subamortecida, a saída de tal sistema responde rapidamente a uma entrada de etapa da unidade. O amortecimento crítico resulta na resposta mais rápida (aproximação do valor final) possível sem ultrapassagem. As especificações reais do sistema geralmente permitem algum overshoot para uma resposta inicial mais rápida ou exigem uma resposta inicial mais lenta para fornecer uma margem de segurança contra overshoot.

Em sistemas de feedback negativo , a resposta em malha fechada dominante costuma ser bem modelada por um sistema de segunda ordem. A margem de fase do sistema em malha aberta define o fator de qualidade Q do sistema em malha fechada; à medida que a margem de fase diminui, o sistema de malha fechada de segunda ordem aproximado torna-se mais oscilatório (ou seja, tem um fator de qualidade superior).

Alguns exemplos

Uma topologia de filtro passa-baixa Sallen-Key de ganho unitário com capacitores e resistores iguais é criticamente amortecida (isto é, Q = 1 ⁄ 2 ).
Um filtro de Bessel de segunda ordem (ou seja, filtro de tempo contínuo com retardo de grupo mais plano ) tem um Q subamortecido = 1 ⁄ √ 3 .
Um filtro Butterworth de segunda ordem (ou seja, filtro de tempo contínuo com a resposta de frequência de banda passante mais plana) tem um Q subamortecido = 1 ⁄ √ 2 .
O fator Q de um pêndulo é:, onde M é a massa do pêndulo , ω = 2 π / T é a frequência radiana de oscilação do pêndulo e Γ é a força de amortecimento de atrito no pêndulo por unidade de velocidade. ${\ textstyle Q = {M \ omega} / {\ Gamma}}$
O desenho de uma alta energia (perto THz) gyrotron considera ambos Q-factor de difracção, como uma função do comprimento do ressonador ( L ) e do comprimento de onda ( ), e Q-factor óhmica ( -modes) , onde é o raio das paredes da cavidade, é a profundidade da pele da parede da cavidade, é o escalar de autovalor (m é o índice de azimute, p é o índice radial) (nota: a profundidade da pele nesta aplicação é ) ${\ textstyle Q_ {D} \ approx 30 \ left ({\ frac {L} {\ lambda}} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle TE_ {m, p}}$ ${\ textstyle Q _ {\ Omega} = \ left ({\ frac {R_ {w}} {\ delta}} \ right) \ left ({\ frac {1-m ^ {2}} {v_ {m, p } ^ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle R_ {w}}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle V_ {mp}}$ ${\ textstyle \ delta = {1} / {\ sqrt {\ pi f \ sigma u_ {o}}}}$

Interpretação física

Fisicamente falando, Q é aproximadamente a razão entre a energia armazenada e a energia dissipada em um radiano da oscilação; ou quase equivalentemente, em valores de Q altos o suficiente , 2 $π$ vezes a razão entre a energia total armazenada e a energia perdida em um único ciclo.

É um parâmetro adimensional que compara a constante de tempo exponencial $τ$ para o decaimento da amplitude de um sistema físico oscilante ao seu período de oscilação . Da mesma forma, ele compara a frequência na qual um sistema oscila com a taxa na qual ele dissipa sua energia. Mais precisamente, a frequência e o período usados devem ser baseados na frequência natural do sistema, que em valores Q baixos é um pouco mais alta do que a frequência de oscilação medida por cruzamentos de zero.

Equivalentemente (para grandes valores de Q ), o fator Q é aproximadamente o número de oscilações necessárias para que a energia de um sistema de oscilação livre caia para e ^{−2 $π$} , ou cerca de 1 ⁄ 535 ou 0,2%, de sua energia original. Isso significa que a amplitude cai para aproximadamente e ^{- $π$} ou 4% de sua amplitude original.

A largura (largura de banda) da ressonância é dada por (aproximadamente):

{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {f _ {\ mathrm {N}}} {Q}}, \,}

onde f _N é a frequência natural e Δ f , a largura de banda , é a largura da faixa de frequências para a qual a energia é pelo menos metade do seu valor de pico.

A frequência ressonante é frequentemente expressa em unidades naturais (radianos por segundo), em vez de usar f _N em hertz , como

{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {N}} = 2 \ pi f _ {\ mathrm {N}}.}

Os fatores Q , razão de amortecimento ζ , frequência natural ω _N , taxa de atenuação α e constante de tempo exponencial $τ$ estão relacionados de modo que:

{\ displaystyle Q = {\ frac {1} {2 \ zeta}} = {\ omega _ {\ mathrm {N}} \ over 2 \ alpha} = {\ tau \ omega _ {\ mathrm {N}} \ mais de 2},}

e a taxa de amortecimento pode ser expressa como:

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {2Q}} = {\ alpha \ over \ omega _ {\ mathrm {N}}} = {1 \ over \ tau \ omega _ {\ mathrm {N}} }.}

O envelope de oscilação decai proporcionalmente a e ^{- αt} ou e ^{- t / $τ$} , onde α e $τ$ podem ser expressos como:

{\ displaystyle \ alpha = {\ omega _ {\ mathrm {N}} \ over 2Q} = \ zeta \ omega _ {\ mathrm {N}} = {1 \ over \ tau}}

e

{\ displaystyle \ tau = {2Q \ over \ omega _ {\ mathrm {N}}} = {1 \ over \ zeta \ omega _ {\ mathrm {N}}} = {1 \ over \ alpha}.}

A energia de oscilação, ou dissipação de potência, decai duas vezes mais rápido, ou seja, quanto ao quadrado da amplitude, como e ^{−2 αt} ou e ^{−2 t / $τ$} .

Para um filtro passa-baixo de dois pólos, a função de transferência do filtro é

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}} {s ^ {2} + \ underbrace {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}} } {Q}} _ {2 \ zeta \ omega _ {\ mathrm {N}} = 2 \ alpha} s + \ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}}} \,}

Para este sistema, quando Q > 1 ⁄ 2 (ou seja, quando o sistema está subamortecido), ele possui dois pólos conjugados complexos, cada um com uma parte real de - α . Ou seja, o parâmetro de atenuação α representa a taxa de decaimento exponencial das oscilações (ou seja, da saída após um impulso ) no sistema. Um fator de qualidade superior implica em uma taxa de atenuação mais baixa e, portanto, sistemas com Q alto oscilam por muitos ciclos. Por exemplo, sinos de alta qualidade têm um tom sinusoidal aproximadamente puro por muito tempo após serem atingidos por um martelo.

Tipo de filtro (2ª ordem)	Função de transferência
Lowpass	${\ displaystyle H (s) = {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}}} { Q}} s + \ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}}}}$
Bandpass	${\ displaystyle H (s) = {\ frac {{\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}}} {Q}} s} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}}} {Q}} s + \ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}}}}$
Notch (Bandstop)	${\ displaystyle H (s) = {\ frac {s ^ {2} + \ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}}} {Q}} s + \ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}}}}$
Highpass	${\ displaystyle H (s) = {\ frac {s ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {N}}} {Q}} s + \ omega _ {\ mathrm {N}} ^ {2}}}}$

Sistemas elétricos

Um gráfico da magnitude do ganho de um filtro, ilustrando o conceito de -3 dB com um ganho de tensão de 0,707 ou largura de banda de meia potência. O eixo de frequência deste diagrama simbólico pode ser linear ou escalado logaritmicamente .

Para um sistema eletricamente ressonante, o fator Q representa o efeito da resistência elétrica e, para ressonadores eletromecânicos, como cristais de quartzo , o atrito mecânico .

Relação entre Q e largura de banda

A largura de banda de dois lados em relação a uma frequência de ressonância de F ₀ Hz é F ₀ / Q .

Por exemplo, uma antena ajustada para ter um valor Q de 10 e uma frequência central de 100 kHz teria uma largura de banda de 3 dB de 10 kHz.

Em áudio, a largura de banda é frequentemente expressa em oitavas . Então, a relação entre Q e largura de banda é

{\ displaystyle Q \ = \ {\ frac {2 ^ {\ frac {BW} {2}}} {2 ^ {BW} -1}} \ = \ {\ frac {1} {2 \ sinh \ left ( {\ frac {\ ln (2)} {2}} BW \ right)}},}

onde BW é a largura de banda em oitavas.

Circuitos RLC

Em um circuito RLC em série ideal e em um receptor de radiofrequência sintonizado (TRF), o fator Q é:

{\ displaystyle Q = {\ frac {1} {R}} {\ sqrt {\ frac {L} {C}}} = {\ frac {\ omega _ {0} L} {R}} = {\ frac {1} {\ omega _ {0} RC}}}

onde R , L e C são a resistência , indutância e capacitância do circuito sintonizado, respectivamente. Quanto maior a resistência em série, o circuito inferior a Q .

Para um circuito RLC paralelo , o fator Q é o inverso do caso em série:

{\ displaystyle Q = R {\ sqrt {\ frac {C} {L}}} = {\ frac {R} {\ omega _ {0} L}} = \ omega _ {0} RC}

Considere um circuito onde R , L e C estão todos em paralelo. Quanto menor for a resistência paralela, o mais efeito que terá no amortecimento do circuito e, assim, a reduzir a Q . Isso é útil no projeto de filtro para determinar a largura de banda.

Em um circuito LC paralelo onde a perda principal é a resistência do indutor, R , em série com a indutância, L , Q é como no circuito em série. Esta é uma circunstância comum para ressonadores, onde limitar a resistência do indutor para melhorar Q e estreitar a largura de banda é o resultado desejado.

Componentes reativos individuais

O Q de um componente reativo individual depende da frequência na qual ele é avaliado, que normalmente é a frequência ressonante do circuito em que é usado. O Q de um indutor com uma resistência de perda em série é o Q de um circuito ressonante usando esse indutor (incluindo sua perda em série) e um capacitor perfeito.

{\ displaystyle Q_ {L} = {\ frac {X_ {L}} {R_ {L}}} = {\ frac {\ omega _ {0} L} {R_ {L}}}}

Onde:

ω ₀ é a frequência de ressonância em radianos por segundo,
L é a indutância,
X _L é a reatância indutiva , e
R _L é a resistência em série do indutor.

O Q de um capacitor com uma resistência de perda em série é o mesmo que o Q de um circuito ressonante usando esse capacitor com um indutor perfeito:

{\ displaystyle Q_ {C} = {\ frac {-X_ {C}} {R_ {C}}} = {\ frac {1} {\ omega _ {0} CR_ {C}}}}

Onde:

ω ₀ é a frequência de ressonância em radianos por segundo,
C é a capacitância,
X _C é a reatância capacitiva , e
R _C é a resistência em série do capacitor.

Em geral, o Q de um ressonador envolvendo uma combinação em série de um capacitor e um indutor pode ser determinado a partir dos valores Q dos componentes, sejam suas perdas provenientes da resistência em série ou de outra forma:

{\ displaystyle Q = {\ frac {1} {{\ frac {1} {Q_ {L}}} + {\ frac {1} {Q_ {C}}}}}}

Sistemas mecânicos

Para um único sistema de massa-mola amortecida, o fator Q representa o efeito do amortecimento viscoso simplificado ou arrasto , onde a força de amortecimento ou força de arrasto é proporcional à velocidade. A fórmula para o fator Q é:

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ sqrt {Mk}} {D}}, \,}

onde M é a massa, k é a constante da mola e D é o coeficiente de amortecimento, definido pela equação F _{amortecimento} = - Dv , onde v é a velocidade.

Sistemas acústicos

O Q de um instrumento musical é crítico; um Q excessivamente alto em um ressonador não amplificará uniformemente as múltiplas frequências que um instrumento produz. Por esse motivo, os instrumentos de cordas costumam ter corpos com formas complexas, de modo que produzem uma ampla gama de frequências de maneira bastante uniforme.

O Q de um instrumento de sopro ou instrumento de sopro precisa ser alto o suficiente para escolher uma frequência do zumbido de espectro mais amplo dos lábios ou palheta. Em contraste, uma vuvuzela é feita de plástico flexível e, portanto, tem um Q muito baixo para um instrumento de latão, dando-lhe um tom turvo e soproso. Instrumentos feitos de plástico, latão ou madeira mais rígidos têm Q superior. Um Q excessivamente alto pode tornar mais difícil acertar uma nota. Q em um instrumento pode variar entre as frequências, mas isso pode não ser desejável.

Os ressonadores de Helmholtz têm um Q muito alto, pois são projetados para captar uma faixa muito estreita de frequências.

Sistemas ópticos

Em óptica , o fator Q de uma cavidade ressonante é dado por

{\ displaystyle Q = {\ frac {2 \ pi f_ {o} \, E} {P}}, \,}

onde f _o é a frequência ressonante, E é a energia armazenada na cavidade, e P = -dE/dté o poder dissipado. O Q óptico é igual à razão entre a frequência de ressonância e a largura de banda da ressonância da cavidade. O tempo de vida médio de um fóton ressonante na cavidade é proporcional ao Q da cavidade . Se o fator Q da cavidade de um laser for alterado abruptamente de um valor baixo para um alto, o laser emitirá um pulso de luz que é muito mais intenso do que a saída contínua normal do laser. Esta técnica é conhecida como Q -switching . O fator Q é de particular importância em plasmônicos , onde a perda está ligada ao amortecimento da ressonância plasmônica de superfície . Embora a perda seja normalmente considerada um obstáculo no desenvolvimento de dispositivos plasmônicos, é possível aproveitar essa propriedade para apresentar novas funcionalidades aprimoradas.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Agarwal, Anant ; Lang, Jeffrey (2005). Fundamentos de Circuitos Eletrônicos Analógicos e Digitais . Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-735-8.

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