Constante de propagação - Propagation constant

A constante de propagação de uma onda eletromagnética senoidal é uma medida da mudança sofrida pela amplitude e fase da onda à medida que ela se propaga em uma determinada direção. A quantidade que está sendo medida pode ser a tensão , a corrente em um circuito ou um vetor de campo, como a intensidade do campo elétrico ou a densidade do fluxo . A própria constante de propagação mede a mudança por unidade de comprimento , mas, de resto, é adimensional. No contexto de redes de duas portas e suas cascatas, a constante de propagação mede a mudança sofrida pela quantidade de origem à medida que ela se propaga de uma porta para a próxima.

O valor da constante de propagação é expresso logaritmicamente , quase universalmente para a base e , ao invés da base 10 mais usual que é usada em telecomunicações em outras situações. A quantidade medida, como tensão, é expressa como um fasor senoidal . A fase da sinusóide varia com a distância, o que resulta na constante de propagação sendo um número complexo , sendo a parte imaginária causada pela mudança de fase.

Nomes alternativos

O termo "constante de propagação" é um nome incorreto, pois geralmente varia fortemente com ω . É provavelmente o termo mais usado, mas há uma grande variedade de nomes alternativos usados ​​por vários autores para essa quantidade. Isso inclui parâmetro de transmissão , função de transmissão , parâmetro de propagação , coeficiente de propagação e constante de transmissão . Se o plural for usado, sugere que α e β estão sendo referenciados separadamente, mas coletivamente como em parâmetros de transmissão , parâmetros de propagação , etc. Na teoria da linha de transmissão, α e β são contados entre os "coeficientes secundários", o termo secundário sendo usado para contrastar com os coeficientes da linha primária . Os coeficientes primários são as propriedades físicas da linha, a saber R, C, L e G, a partir dos quais os coeficientes secundários podem ser derivados usando a equação do telegrafista . Observe que, no campo das linhas de transmissão, o termo coeficiente de transmissão tem um significado diferente, apesar da semelhança de nome: é o companheiro do coeficiente de reflexão .

Definição

A constante de propagação, símbolo , para um determinado sistema é definida pela razão da amplitude complexa na fonte da onda para a amplitude complexa em alguma distância x , tal que, ${\ displaystyle {\ gamma}}$

${\ displaystyle {\ frac {A_ {0}} {A_ {x}}} = e ^ {\ gamma x}}$

Como a constante de propagação é uma quantidade complexa, podemos escrever:

$${\ displaystyle \ gamma = \ alpha + i \ beta \,}$$

Onde

• α , a parte real, é chamada de constante de atenuação
• β , a parte imaginária, é chamada de constante de fase

Que β realmente representa a fase pode ser visto na fórmula de Euler :

${\ displaystyle e ^ {i \ theta} = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} \, \!}$

que é uma senoide que varia em fase conforme θ varia, mas não varia em amplitude porque

${\ displaystyle \ left | e ^ {i \ theta} \ right | = {\ sqrt {\ cos ^ {2} {\ theta} + \ sin ^ {2} {\ theta}}} = 1}$

A razão para o uso da base e também ficou clara. A constante de fase imaginária, iβ , pode ser adicionada diretamente à constante de atenuação, α , para formar um único número complexo que pode ser manipulado em uma operação matemática, desde que estejam na mesma base. Os ângulos medidos em radianos requerem a base e , então a atenuação é da mesma forma na base e .

A constante de propagação para linhas condutoras pode ser calculada a partir dos coeficientes da linha primária por meio da relação

${\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {ZY}}}$

Onde

${\ displaystyle Z = R + i \ omega L \, \!}$, a impedância em série da linha por unidade de comprimento e,

${\ displaystyle Y = G + i \ omega C \, \!}$, a admitância do shunt da linha por unidade de comprimento.

Onda plana

O fator de propagação de uma onda plana viajando em um meio linear na direção x é dado por

${\ displaystyle P = e ^ {- \ gamma x}}$

Onde

${\ displaystyle \ gamma = \ alpha + i \ beta = {\ sqrt {i \ omega \ mu (\ sigma + i \ omega \ epsilon)}} \;}$

${\ displaystyle x =}$ distância percorrida na direção x

${\ displaystyle \ alpha =}$ constante de atenuação nas unidades de nepers / metro

${\ displaystyle \ beta =}$ constante de fase nas unidades de radianos / metro

${\ displaystyle \ omega =}$ frequência em radianos / segundo

${\ displaystyle \ sigma =}$ condutividade da mídia

${\ displaystyle \ epsilon = \ epsilon '-i \ epsilon' '\;}$= permissividade complexa da mídia

${\ displaystyle \ mu = \ mu '-i \ mu' '\;}$= permeabilidade complexa da mídia

${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

A convenção de sinal é escolhida pela consistência com a propagação em mídia com perdas. Se a constante de atenuação for positiva, a amplitude da onda diminui à medida que a onda se propaga na direção x.

Comprimento de onda , velocidade de fase e profundidade de pele têm relações simples com os componentes da constante de propagação:

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {\ beta}} \ qquad v_ {p} = {\ frac {\ omega} {\ beta}} \ qquad \ delta = {\ frac {1} { \ alpha}}}$

Constante de atenuação

Em telecomunicações , o termo constante de atenuação , também chamado de parâmetro de atenuação ou coeficiente de atenuação , é a atenuação de uma onda eletromagnética que se propaga por um meio por unidade de distância da fonte. É a parte real da constante de propagação e é medida em nepers por metro. Um neper é de aproximadamente 8,7  dB . A constante de atenuação pode ser definida pela razão de amplitude

${\ displaystyle \ left | {\ frac {A_ {0}} {A_ {x}}} \ right | = e ^ {\ alpha x}}$

A constante de propagação por unidade de comprimento é definida como o logaritmo natural da razão entre a corrente ou voltagem da extremidade emissora e a corrente ou voltagem da extremidade receptora.

Linhas condutoras

A constante de atenuação para linhas condutivas pode ser calculada a partir dos coeficientes da linha primária, conforme mostrado acima. Para uma linha que atende a condição sem distorção , com uma condutância G no isolador, a constante de atenuação é dada por

${\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {RG}} \, \!}$

no entanto, é improvável que uma linha real atenda a essa condição sem a adição de bobinas de carga e, além disso, existem alguns efeitos dependentes da frequência operando nas "constantes" primárias que causam uma dependência da frequência da perda. Existem dois componentes principais para essas perdas, a perda de metal e a perda dielétrica.

A perda da maioria das linhas de transmissão é dominada pela perda de metal, que causa uma dependência de frequência devido à condutividade finita dos metais e o efeito de pele dentro de um condutor. O efeito de pele faz com que R ao longo do condutor seja aproximadamente dependente da frequência de acordo com

${\ displaystyle R \ propto {\ sqrt {\ omega}}}$

As perdas no dielétrico dependem da tangente de perda (tan  δ ) do material dividido pelo comprimento de onda do sinal. Portanto, eles são diretamente proporcionais à frequência.

${\ displaystyle \ alpha _ {d} = {{\ pi} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r}}} \ over {\ lambda}} {\ tan \ delta}}$

Fibra óptica

A constante de atenuação para um determinado modo de propagação em uma fibra óptica é a parte real da constante de propagação axial.

Constante de fase

Na teoria eletromagnética , a constante de fase , também chamada de constante de mudança de fase , parâmetro ou coeficiente, é o componente imaginário da constante de propagação de uma onda plana. Ele representa a mudança na fase por unidade de comprimento ao longo do caminho percorrido pela onda em qualquer instante e é igual à parte real do número de onda angular da onda. É representado pelo símbolo β e é medido em unidades de radianos por unidade de comprimento.

A partir da definição de número de onda (angular) para ondas TEM em meios sem perdas:

${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = \ beta}$

Para uma linha de transmissão , a condição de Heaviside da equação do telegrafista nos diz que o número de onda deve ser proporcional à freqüência para que a transmissão da onda não seja distorcida no domínio do tempo . Isso inclui, mas não se limita ao caso ideal de uma linha sem perdas. A razão para esta condição pode ser vista considerando que um sinal útil é composto de muitos comprimentos de onda diferentes no domínio da frequência. Para que não haja distorção da forma de onda , todas essas ondas devem viajar na mesma velocidade para que cheguem ao final da linha ao mesmo tempo que um grupo . Uma vez que a velocidade da fase da onda é dada por

${\ displaystyle v_ {p} = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {f} {\ tilde {\ nu}}} = {\ frac {\ omega} {\ beta}},}$

está provado que β deve ser proporcional a ω . Em termos de coeficientes primários da linha, isso resulta da equação do telégrafo para uma linha sem distorção, a condição

${\ displaystyle \ beta = \ omega {\ sqrt {LC}},}$

onde L e C são, respectivamente, a indutância e a capacitância por unidade de comprimento da linha. No entanto, as linhas práticas só podem atender aproximadamente a essa condição em uma faixa de frequência limitada.

Em particular, a constante de fase nem sempre é equivalente ao número de onda . De um modo geral, a seguinte relação ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ beta = k}$

é sustentável para a onda TEM (onda eletromagnética transversal) que viaja no espaço livre ou dispositivos TEM como o cabo coaxial e duas linhas de transmissão de fios paralelos . No entanto, é inválido para a onda TE (onda elétrica transversal) e a onda TM (onda magnética transversal). Por exemplo, em um guia de onda oco onde a onda TEM não pode existir, mas as ondas TE e TM podem se propagar,

${\ displaystyle k = {\ frac {\ omega} {c}}}$

${\ displaystyle \ beta = k {\ sqrt {1 - {\ frac {\ omega _ {c} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}}}}}$

Aqui está a frequência de corte . Em um guia de onda retangular, a frequência de corte é ${\ displaystyle \ omega _ {c}}$

${\ displaystyle \ omega _ {c} = c {\ sqrt {\ left ({\ frac {n \ pi} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m \ pi} { b}} \ right) ^ {2}}},}$

onde estão os números de modo para os lados do retângulo de comprimento e respectivamente. Para modos TE, (mas não é permitido), enquanto para modos TM . ${\ displaystyle m, n \ geq 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle m, n \ geq 0}$${\ displaystyle m = n = 0}$${\ displaystyle m, n \ geq 1}$

A velocidade da fase é igual a

${\ displaystyle v_ {p} = {\ frac {\ omega} {\ beta}} = {\ frac {c} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {c}} ^ {2 }} {\ omega ^ {2}}}}}}> c}$

A constante de fase também é um conceito importante na mecânica quântica porque o momento de um quantum é diretamente proporcional a ela, ou seja, ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p = \ hbar \ beta}$

onde ħ é chamado de constante de Planck reduzida (pronuncia-se "h-bar"). É igual à constante de Planck dividida por 2 π .

Filtros e redes de duas portas

O termo constante de propagação ou função de propagação é aplicado a filtros e outras redes de duas portas usadas para processamento de sinal . Nestes casos, entretanto, os coeficientes de atenuação e fase são expressos em termos de nepers e radianos por seção de rede, em vez de por unidade de comprimento. Alguns autores fazem uma distinção entre medidas de comprimento por unidade (para as quais "constante" é usada) e medidas por seção (para as quais "função" é usada).

A constante de propagação é um conceito útil no projeto de filtro que invariavelmente usa uma topologia de seção em cascata . Em uma topologia em cascata, a constante de propagação, a constante de atenuação e a constante de fase de seções individuais podem ser simplesmente adicionadas para encontrar a constante de propagação total, etc.

Redes em cascata

Três redes com constantes de propagação arbitrárias e impedâncias conectadas em cascata. Os termos Z _i representam a impedância da imagem e assume-se que as conexões são entre impedâncias de imagem correspondentes.

A relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada para cada rede é dada por

${\ displaystyle {\ frac {V_ {1}} {V_ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I1}} {Z_ {I2}}}} e ^ {\ gamma _ {1}} }$

${\ displaystyle {\ frac {V_ {2}} {V_ {3}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I2}} {Z_ {I3}}}} e ^ {\ gamma _ {2}} }$

${\ displaystyle {\ frac {V_ {3}} {V_ {4}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I3}} {Z_ {I4}}}} e ^ {\ gamma _ {3}} }$

Os termos são termos de escala de impedância e seu uso é explicado no artigo sobre impedância de imagem . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {Z_ {In}} {Z_ {Im}}}}}$

A relação de tensão geral é dada por

${\ displaystyle {\ frac {V_ {1}} {V_ {4}}} = {\ frac {V_ {1}} {V_ {2}}} \ cdot {\ frac {V_ {2}} {V_ { 3}}} \ cdot {\ frac {V_ {3}} {V_ {4}}} = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I1}} {Z_ {I4}}}} e ^ {\ gamma _ { 1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _ {3}}}$

Assim, para n seções em cascata, todas com impedâncias correspondentes voltadas uma para a outra, a constante de propagação geral é dada por

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {total}} = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _ {3} + \ cdots + \ gamma _ {n}}$

Veja também

O conceito de profundidade de penetração é uma das muitas maneiras de descrever a absorção de ondas eletromagnéticas. Para os outros, e suas inter-relações, consulte o artigo: Descrições matemáticas de opacidade .

• Velocidade de propagação

Notas

Referências

links externos

• "Constante de propagação" . Enciclopédia de microondas. 2011. Arquivado do original (online) em 14 de julho de 2014 . Recuperado em 2 de fevereiro de 2011 .
• Paschotta, Dr. Rüdiger (2011). "Constante de propagação" (online) . Enciclopédia de Física e Tecnologia Laser . Página visitada em 2 de fevereiro de 2011 .
• Janezic, Michael D .; Jeffrey A. Jargon (fevereiro de 1999). "Determinação de permissividade complexa a partir de medições da constante de propagação" (PDF) . Letras IEEE de Microondas e Ondas Guiadas . 9 (2): 76–78. doi : 10.1109 / 75.755052 . Página visitada em 2 de fevereiro de 2011 .O download de PDF gratuito está disponível. Existe uma versão atualizada datada de 6 de agosto de 2002.