Porism - Porism

Um porismo é uma proposição ou corolário matemático . Tem sido usado para se referir a uma consequência direta de uma prova, análogo a como um corolário se refere a uma consequência direta de um teorema . No uso moderno, é uma relação que vale para uma gama infinita de valores, mas apenas se uma certa condição for assumida, como o porismo de Steiner . O termo se origina de três livros de Euclides que foram perdidos. Uma proposição pode não ter sido provada, então um porismo pode não ser um teorema ou verdadeiro.

Origens

O livro que fala sobre porisms primeiro é Euclides 's Porisms . O que se sabe dele é em Pappus de Alexandria 's coleção , que menciona-lo juntamente com outros tratados geométricas, e dá vários lemas necessários para entendê-lo. Pappus afirma:

Os porismos de todas as classes não são teoremas nem problemas, mas ocupam uma posição intermediária entre os dois, de forma que seus enunciados podem ser enunciados como teoremas ou problemas, e conseqüentemente alguns geômetras pensam que são teoremas, e outros que são problemas, sendo guiado apenas pela forma de enunciação. Mas fica claro pelas definições que os antigos geômetras entendiam melhor a diferença entre as três classes. Os geômetras mais antigos consideravam um teorema direcionado para provar o que é proposto, um problema direcionado para construir o que é proposto e, finalmente, um porismo direcionado para encontrar o que é proposto ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ).

Pappus disse que a última definição foi alterada por certos geômetras posteriores, que definiram um porismo como uma característica acidental como τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( para leîpon hypései topikoû theōrḗmatos ), o que fica aquém de um locus ou teorema ) hipótese. Proclo apontou que a palavra porismo era usada em dois sentidos: um sentido é o de "corolário", como resultado não procurado, mas visto como decorrência de um teorema. No outro sentido, ele nada acrescentou à definição de "os geômetras mais antigos", exceto dizer que o achado do centro de um círculo e o achado da maior medida comum são porismos.

Pappus no porismo de Euclides

Pappus rejeitou a definição de porismo de Euclides . Um porismo, expresso em linguagem moderna, afirma que dadas quatro linhas retas, das quais três giram em torno dos pontos em que se encontram com a quarta, se dois dos pontos de intersecção dessas linhas estão cada um em uma linha reta fixa, o ponto restante de a intersecção também estará em outra linha reta. A definição geral se aplica a qualquer número, n , de linhas retas, das quais n pode girar em torno de tantos pontos fixos no ( n  + 1) th. Essas n linhas retas cortam dois e dois em 1 ⁄ 2 n ( n  - 1) pontos, 1 ⁄ 2 n ( n  - 1) sendo um número triangular cujo lado é n  - 1. Se eles girarem em torno dos n fixos pontos de modo que qualquer n  - 1 de seus 1 ⁄ 2 n ( n  - 1) pontos de interseção, escolhidos sujeitos a uma certa limitação, repousam em n  - 1 dadas linhas retas fixas, então cada um dos pontos restantes de interseção, 1 ⁄ 2 n ( n  - 1) ( n  - 2) em número, descreve uma linha reta.

O acima pode ser expresso como: Se cerca de dois pontos fixos, P e Q, faz-se a curva em duas linhas retas que se encontram em uma determinada linha reta, L, e se uma delas corta um segmento, AM, de uma linha reta fixa , AX, dado na posição, outra linha reta fixa BY e um ponto B fixo nela podem ser determinados, de modo que o segmento BM 'feito pela segunda linha móvel nesta segunda linha fixa medida de B tem uma dada razão X para AM. Os lemas que Pappus dá em relação aos porismos são:

  1. o teorema fundamental de que a relação cruzada ou anarmônica de um pencil de quatro retas que se encontram em um ponto é constante para todos os transversais;
  2. a prova das propriedades harmônicas de um quadrilátero completo;
  3. o teorema de que, se os seis vértices de um hexágono estão três e três em duas linhas retas, os três pontos do concurso de lados opostos estão em uma linha reta.

Análise posterior

Robert Simson explicou as únicas três proposições que Pappus indica com alguma completude, que foram publicadas em Philosophical Transactions em 1723. Mais tarde ele investigou o assunto dos porismos em geral em uma obra intitulada De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam for sperat auctor , e publicado após sua morte em um volume, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776).

O tratado de Simson, De porismatibus , começa com as definições de teorema, problema, dado, porismo e locus. Simon escreveu que a definição de Pappus é muito geral e que ele a substituiu como:

Porisma est propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt endem habent rationem, convocar ostendum est afeto quandam communem em propositione descriptam. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data demonstranda sunt, invenienda proponantur.

Simson disse que um locus é uma espécie de porismo. Em seguida, segue uma tradução latina da nota de Pappus sobre os porismos e as proposições que constituem a parte principal do tratado.

As memórias de John Playfair ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, vol. Iii.), Uma espécie de sequência do tratado de Simson, explorou a provável origem dos porismos, ou as etapas que levaram antigos geômetras a descobri-los. Playfair observou que a investigação cuidadosa de todos os casos particulares possíveis de uma proposição mostraria que

  1. sob certas condições, um problema se torna impossível;
  2. sob certas outras condições, indeterminado ou capaz de um número infinito de soluções.

Esses casos podiam ser definidos separadamente, eram de certa forma intermediários entre teoremas e problemas e eram chamados de "porismos". Playfair definiu um porismo como "[uma] proposição que afirma a possibilidade de encontrar tais condições que tornem um certo problema indeterminado ou capaz de inúmeras soluções."

Embora a definição de porismo da Playfair pareça ser a mais favorecida na Inglaterra, a visão de Simson foi mais geralmente aceita no exterior e teve o apoio de Michel Chasles . No entanto, em Liouville 's Journal de Mathematiques pures et Aplicada (vol. Xx., De julho de 1855), P. Breton publicou Recherches sur les nouvelles porismes d'Euclide , na qual ele deu uma nova tradução do texto de Pappus, e procurou basear uma visão da natureza de um porismo que se conforma mais de perto com a definição de Pappus. Seguiu-se na mesma revista e em La Science uma polêmica entre Breton e AJH Vincent, que contestou a interpretação do primeiro do texto de Pappus e se declarou favorável à idéia de Frans van Schooten , apresentada em seu Mathematicae exercitationes (1657). De acordo com Schooten, se as várias relações entre linhas retas em uma figura são escritas na forma de equações ou proporções, então a combinação dessas equações de todas as maneiras possíveis e de novas equações assim derivadas delas leva à descoberta de inúmeras novas propriedades da figura.

As discussões entre Breton e Vincent, às quais C. Housel se juntou, não levaram adiante o trabalho de restaurar os porismos de Euclides , que foi deixado para Chasles. Sua obra ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , Paris, 1860) faz pleno uso de todo o material encontrado em Pappus.

Uma hipótese interessante sobre porismos foi apresentada por HG Zeuthen ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, cap. Viii.). Zeuthen observou, por exemplo, o intercepto-porismo ainda é verdadeiro se os dois pontos fixos são pontos em uma cônica, e as linhas retas traçadas através deles se cruzam na cônica em vez de em uma linha reta fixa. Ele conjeturou que os porismos eram um subproduto de uma geometria projetiva totalmente desenvolvida de cônicas.

Veja também

Notas

Referências

Atribuição: