Aula de arremesso - Pitch class

Reprodução de oitava perfeita Sobre este som 
Todos os Cs de C 1 a C 7 inclusive Play .Sobre este som 

Em música , uma classe passo ( PC ou PC ) é um conjunto de todas as localizações que são um número inteiro de oitavas separados, por exemplo, a classe C passo consiste no Cs em todos oitavas. "A classe de afinação C representa todos os Cs possíveis, em qualquer posição de oitava." Importante para a teoria dos conjuntos musicais , uma classe de notas é "todas as notas relacionadas entre si por oitava, equivalência enarmônica ou ambas". Assim, usando a notação científica de pitch , a classe de pitch "C" é o conjunto

{C n  : n é um inteiro } = {..., C −2 , C −1 , C 0 , C 1 , C 2 , C 3 ...}.

Embora não haja um limite superior ou inferior formal para essa sequência, apenas alguns desses tons são audíveis ao ouvido humano. A classe de notas é importante porque a percepção humana de notas é periódica : notas pertencentes à mesma classe de notas são percebidas como tendo uma qualidade ou cor semelhante, uma propriedade chamada " equivalência de oitava ".

Os psicólogos referem-se à qualidade de um pitch como seu "croma". O croma é um atributo dos tons (em oposição à altura do tom ), assim como o tom é um atributo da cor . Uma classe de pitch é um conjunto de todos os pitches que compartilham o mesmo croma, assim como "o conjunto de todas as coisas brancas" é a coleção de todos os objetos brancos.

Observe que no temperamento igual ocidental padrão , grafias distintas podem se referir ao mesmo objeto sonoro: B 3 , C 4 e D 4 se referem ao mesmo tom, portanto, compartilham o mesmo croma e, portanto, pertencem à mesma classe de tom; um fenômeno denominado equivalência enarmônica . apartamento duplo

Notação inteira

Para evitar o problema de grafias enarmônicas, os teóricos geralmente representam classes de notas usando números começando de zero, com cada número inteiro sucessivamente maior representando uma classe de notas que seria um semitom mais alta do que a anterior, se todas fossem realizadas como notas reais na mesma oitava. Como as afinações relacionadas à oitava pertencem à mesma classe, quando uma oitava é atingida, os números começam novamente em zero. Este sistema cíclico é conhecido como aritmética modular e, no caso usual das escalas cromáticas de doze tons, a numeração da classe de afinação é considerada como "módulo 12" (normalmente abreviado como "mod 12" na literatura de teoria musical) - isto é , cada décimo segundo membro é idêntico. Pode-se mapear a frequência fundamental f de um tom (medido em hertz ) para um número real p usando a equação

Isso cria um espaço de afinação linear em que as oitavas têm tamanho 12, os semitons (a distância entre as teclas adjacentes no teclado do piano) têm tamanho 1 e o dó central (C 4 ) é atribuído ao número 0 (assim, os tons no piano são - 39 a +48). De fato, o mapeamento de notas para números reais definidos dessa maneira forma a base do MIDI Tuning Standard , que usa os números reais de 0 a 127 para representar as notas de C −1 a G 9 (portanto, C do meio é 60). Para representar passo aulas , é necessário identificar ou "unir" todas as localizações que pertencem ao mesmo campo classe-isto é, todos os números de p e p  + 12. O resultado é uma cíclico grupo quociente que músicos chamar espaço classe passo e matemáticos chamam R / 12 Z . Os pontos neste espaço podem ser rotulados usando números reais no intervalo 0 ≤  x  <12. Esses números fornecem alternativas numéricas para os nomes das letras da teoria musical elementar:

0 = C, 1 = C / D , 2 = D, 2,5 = D meio afiado(um quarto de tom sustenido), 3 = D / E ,

e assim por diante. Nesse sistema, as classes de notas representadas por inteiros são classes de temperamento igual de doze tons (assumindo o concerto padrão A).

Notação inteira.

Na música , a notação de inteiros é a tradução de classes de notas e / ou classes de intervalos em números inteiros . Assim, se C = 0, então C  = 1 ... A  = 10, B = 11, com "10" e "11" substituídos por "t" e "e" em algumas fontes, A e B em outras ( como o sistema numeral duodecimal , que também usa "t" e "e", ou A e B , para "10" e "11"). Isso permite a apresentação mais econômica de informações sobre materiais pós-tonais .

No modelo inteiro de pitch, todas as classes de pitch e intervalos entre classes de pitch são designados usando os números de 0 a 11. Não é usado para notar música para performance, mas é uma ferramenta analítica e composicional comum ao trabalhar com música cromática, incluindo doze tom , série ou música atonal .

As classes de afinação podem ser notadas dessa maneira atribuindo o número 0 a alguma nota e atribuindo inteiros consecutivos a semitons consecutivos ; portanto, se 0 é C natural, 1 é C , 2 é D e assim por diante até 11, que é B . OC acima disso não é 12, mas 0 novamente (12 - 12 = 0). Assim, o módulo aritmético 12 é usado para representar a equivalência de oitava . Uma vantagem desse sistema é que ele ignora a "grafia" das notas (B , C e D são todos 0) de acordo com sua funcionalidade diatônica . apartamento duplo

Desvantagens

Existem algumas desvantagens com a notação de inteiros. Primeiro, os teóricos tradicionalmente usam os mesmos números inteiros para indicar elementos de diferentes sistemas de afinação. Assim, os números 0, 1, 2, ... 5, são usados ​​para notar classes de notas em temperamento igual de 6 tons. Isso significa que o significado de um determinado número inteiro muda com o sistema de afinação subjacente: "1" pode se referir a C em temperamento igual de 12 tons, mas D em temperamento igual de 6 tons.

Além disso, os mesmos números são usados ​​para representar alturas e intervalos . Por exemplo, o número 4 serve como um rótulo para a classe de pitch E (se C = 0) e como um rótulo para a distância entre as classes de pitch D e F . (Da mesma forma, o termo "10 graus" pode rotular tanto uma temperatura quanto a distância entre duas temperaturas.) Apenas uma dessas classificações é sensível à escolha (arbitrária) da classe de pitch 0. Por exemplo, se alguém fizer uma escolha diferente sobre qual classe de pitch é rotulada 0, então a classe de pitch E não será mais rotulada como "4". No entanto, a distância entre D e F ainda receberá o número 4. Tanto isso quanto o problema no parágrafo diretamente acima podem ser vistos como desvantagens (embora matematicamente, um elemento "4" não deva ser confundido com a função "+ 4 ").

Outras maneiras de rotular as classes de argumento de venda

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Contrapartes tonais Solfege
0 C (também B , D apartamento duplo) Faz
1 C , D (também B duas pontas)
2 D (também C duas pontas, E apartamento duplo)
3 D , E (também F apartamento duplo)
4 E (também D duas pontas, F ) mi
5 F (também E , G apartamento duplo) fa
6 F , G (também E duas pontas)
7 G (também F duas pontas, A apartamento duplo) Sol
8 G , A
9 A (também G duas pontas, B apartamento duplo) la
10, t ou A A , B (também C apartamento duplo)
11, e ou B B (também A duas pontas, C ) si

O sistema descrito acima é flexível o suficiente para descrever qualquer classe de afinação em qualquer sistema de afinação: por exemplo, pode-se usar os números {0, 2,4, 4,8, 7,2, 9,6} para se referir à escala de cinco tons que divide a oitava uniformemente. No entanto, em alguns contextos, é conveniente usar sistemas de rotulagem alternativos. Por exemplo, apenas na entonação , podemos expressar as alturas em termos de números racionais positivosp/q, expresso por referência a 1 (frequentemente escrito "1/1"), O que representa um passo fixo. Se um e b são dois números racionais positivos, eles pertencem à mesma classe campo se e somente se

para algum número inteiro n . Portanto, podemos representar classes de pitch neste sistema usando razõesp/qonde nem p nem q são divisíveis por 2, ou seja, como proporções de inteiros ímpares. Alternativamente, podemos representar apenas classes de afinação de entonação, reduzindo à oitava, 1 ≤ p/q <2.

Também é muito comum rotular classes de notas com referência a alguma escala . Por exemplo, um pode etiquetar as classes de notas de n -tone igual temperamento utilizando os números inteiros de 0 a n  - 1. Da mesma maneira, um pode etiquetar as classes de passo da escala maior C, C-D-E-F- G – A – B, usando os números de 0 a 6. Este sistema tem duas vantagens sobre o sistema de etiquetagem contínua descrito acima. Em primeiro lugar, elimina qualquer sugestão de que há algo natural na divisão doze vezes da oitava. Em segundo lugar, evita universos de classe de afinação com expansões decimais pesadas quando considerados em relação a 12; por exemplo, no sistema contínuo, as classes de notas de 19 temperamentos iguais são rotuladas de 0,63158 ..., 1,26316 ..., etc. Rotular essas classes de notas {0, 1, 2, 3 ..., 18} simplifica o aritmética usada em manipulações de conjuntos de classes de afinação.

A desvantagem do sistema baseado em escala é que ele atribui um número infinito de nomes diferentes a acordes que soam idênticos. Por exemplo, em doze tons de temperamento igual, a tríade de Dó maior é notada {0, 4, 7}. No temperamento igual de vinte e quatro tons, essa mesma tríade é rotulada {0, 8, 14}. Além disso, o sistema baseado em escala parece sugerir que diferentes sistemas de afinação usam etapas do mesmo tamanho ("1"), mas têm oitavas de tamanhos diferentes ("12" em 12 tons de temperamento igual, "19" em 19 tons temperamento igual e assim por diante), enquanto na verdade o oposto é verdadeiro: diferentes sistemas de afinação dividem a mesma oitava em passos de tamanhos diferentes.

Em geral, geralmente é mais útil usar o sistema tradicional de inteiros quando se trabalha com um único temperamento; quando se compara acordes de temperamentos diferentes, o sistema contínuo pode ser mais útil.

Veja também

Fontes

Leitura adicional