Oscilador paramétrico - Parametric oscillator

Um dos primeiros amplificadores paramétricos varator, inventado no Bell Labs por volta de 1958. Este amplificador de 4 estágios alcançou ganho de 10 dB a 400 MHz. Os amplificadores paramétricos são usados ​​em aplicações que requerem ruído extremamente baixo.

Um oscilador paramétrico é um oscilador harmônico acionado no qual as oscilações são acionadas pela variação de algum parâmetro do sistema em alguma frequência, normalmente diferente da frequência natural do oscilador. Um exemplo simples de oscilador paramétrico é uma criança bombeando um balanço de playground periodicamente em pé e agachando-se para aumentar o tamanho das oscilações do balanço. Os movimentos da criança variam o momento de inércia do balanço como um pêndulo . Os movimentos de "bombeamento" da criança devem ter o dobro da frequência das oscilações do balanço. Exemplos de parâmetros que podem ser variados são a frequência de ressonância e o amortecimento do oscilador .

Os osciladores paramétricos são usados ​​em várias áreas da física. O oscilador paramétrico varator clássico consiste em um diodo varator semicondutor conectado a um circuito ressonante ou ressonador de cavidade . É acionado pela variação da capacitância do diodo pela aplicação de uma tensão de polarização variável . O circuito que varia a capacitância do diodo é chamado de "bomba" ou "driver". Na eletrônica de microondas, osciladores paramétricos baseados em guia de ondas / YAG operam da mesma maneira. Outro exemplo importante é o oscilador paramétrico óptico , que converte uma onda de luz laser de entrada em duas ondas de saída de frequência mais baixa ( ).

Quando operado em níveis de bomba abaixo da oscilação, o oscilador paramétrico pode amplificar um sinal, formando um amplificador paramétrico ( paramp ). Os amplificadores paramétricos Varactor foram desenvolvidos como amplificadores de baixo ruído na faixa de frequência de rádio e microondas. A vantagem de um amplificador paramétrico é que ele tem muito menos ruído do que um amplificador baseado em um dispositivo de ganho como um transistor ou válvula de vácuo . Isso ocorre porque no amplificador paramétrico uma reatância é variada em vez de uma resistência (que produz ruído) . Eles são usados ​​em receptores de rádio de muito baixo ruído em radiotelescópios e antenas de comunicação de espaçonaves .

A ressonância paramétrica ocorre em um sistema mecânico quando um sistema é parametricamente excitado e oscila em uma de suas frequências de ressonância. A excitação paramétrica difere do forçamento, pois a ação aparece como uma modificação variável no tempo em um parâmetro do sistema.

História

As oscilações paramétricas foram notadas pela primeira vez na mecânica. Michael Faraday (1831) foi o primeiro a notar oscilações de uma frequência sendo excitada por forças do dobro da frequência, nas crocantes (ondas de superfície enrugadas) observadas em uma taça de vinho excitada para "cantar". Franz Melde (1860) gerou oscilações paramétricas em uma corda, empregando um diapasão para variar periodicamente a tensão com o dobro da frequência de ressonância da corda. A oscilação paramétrica foi tratada pela primeira vez como um fenômeno geral por Rayleigh (1883,1887).

Um dos primeiros a aplicar o conceito a circuitos elétricos foi George Francis FitzGerald , que em 1892 tentou excitar oscilações em um circuito LC bombeando-o com uma indutância variável fornecida por um dínamo. Os amplificadores paramétricos ( paramps ) foram usados ​​pela primeira vez em 1913-1915 para radiotelefonia de Berlim a Viena e Moscou, e previa-se que teriam um futuro útil ( Ernst Alexanderson , 1916). Esses primeiros amplificadores paramétricos usavam a não linearidade de um indutor com núcleo de ferro , de modo que só podiam funcionar em baixas frequências.

Em 1948, Aldert van der Ziel apontou uma grande vantagem do amplificador paramétrico: porque ele usava uma reatância variável em vez de uma resistência para amplificação, tinha um ruído inerentemente baixo. Um amplificador paramétrico usado como a extremidade dianteira de um receptor de rádio pode amplificar um sinal fraco enquanto introduz muito pouco ruído. Em 1952, Harrison Rowe no Bell Labs estendeu alguns trabalhos matemáticos de 1934 sobre oscilações bombeadas por Jack Manley e publicou a teoria matemática moderna de oscilações paramétricas, as relações de Manley-Rowe .

O diodo varactor inventado em 1956 tinha uma capacitância não linear que era utilizável em frequências de micro-ondas. O amplificador paramétrico varactor foi desenvolvido por Marion Hines em 1956 na Western Electric . Na época em que foi inventado, as microondas estavam apenas sendo exploradas, e o amplificador varactor foi o primeiro amplificador semicondutor em frequências de microondas. Foi aplicado a receptores de rádio de baixo ruído em muitas áreas e tem sido amplamente utilizado em radiotelescópios , estações terrestres de satélite e radares de longo alcance . É o principal tipo de amplificador paramétrico usado hoje. Desde aquela época, amplificadores paramétricos foram construídos com outros dispositivos ativos não lineares, como junções Josephson .

A técnica foi estendida para frequências ópticas em osciladores e amplificadores paramétricos ópticos que usam cristais não lineares como o elemento ativo.

Analise matemática

Um oscilador paramétrico é um oscilador harmônico cujas propriedades físicas variam com o tempo. A equação desse oscilador é

Esta equação é linear em . Por suposição, os parâmetros e dependem apenas do tempo e não dependem do estado do oscilador. Em geral, e / ou presume-se que variem periodicamente, com o mesmo período .

Se os parâmetros variam em cerca de duas vezes a frequência natural do oscilador (definido abaixo), a fase do oscilador bloqueia a variação paramétrica e absorve energia a uma taxa proporcional à energia que já possui. Sem um mecanismo de compensação de perda de energia fornecido pelo , a amplitude de oscilação cresce exponencialmente. (Esse fenômeno é chamado de excitação paramétrica , ressonância paramétrica ou bombeamento paramétrico .) No entanto, se a amplitude inicial for zero, ela permanecerá assim; isso o distingue da ressonância não paramétrica de osciladores harmônicos simples acionados , nos quais a amplitude cresce linearmente no tempo, independentemente do estado inicial.

Uma experiência familiar de oscilação paramétrica e dirigida é jogar em um swing. Balançar para frente e para trás bombeia o balanço como um oscilador harmônico acionado , mas uma vez em movimento, o balanço também pode ser parametricamente acionado ficando alternadamente em pé e agachado em pontos-chave do arco de balanço. Isso muda o momento de inércia do balanço e, portanto, a frequência de ressonância, e as crianças podem rapidamente atingir grandes amplitudes, desde que tenham alguma amplitude para começar (por exemplo, dê um empurrão). Ficar de pé e agachar em repouso, entretanto, não leva a lugar nenhum.

Transformação da equação

Começamos fazendo uma mudança de variáveis

onde é uma integral de tempo do amortecimento

.

Esta mudança de variáveis ​​elimina o termo de amortecimento

onde a frequência transformada é definida

.

Em geral, as variações no amortecimento e frequência são perturbações relativamente pequenas

onde e são constantes, ou seja, a frequência média do oscilador e o amortecimento, respectivamente.

A frequência transformada pode ser escrita de maneira semelhante:

,

onde é a frequência natural do oscilador harmônico amortecido

e

.

Assim, nossa equação transformada pode ser escrita

.

As variações independentes e no amortecimento do oscilador e frequência de ressonância, respectivamente, podem ser combinadas em uma única função de bombeamento . A conclusão inversa é que qualquer forma de excitação paramétrica pode ser realizada variando a frequência de ressonância ou o amortecimento, ou ambos.

Solução da equação transformada

Vamos supor que seja sinusoidal, especificamente

onde a frequência de bombeamento, mas não precisa ser exatamente igual . A solução da nossa equação transformada pode ser escrita

onde os componentes de variação rápida foram fatorados ( e ) para isolar as amplitudes de variação lenta e . Isso corresponde à variação do método de parâmetros de Laplace.

Substituir esta solução na equação transformada e reter apenas os termos de primeira ordem resulta em duas equações acopladas

Essas equações podem ser dissociadas e resolvidas fazendo outra mudança de variáveis

que produz as equações

onde, por brevidade, o seguinte é definido

e a desafinação

.

A equação não depende de , e a linearização perto de sua posição de equilíbrio mostra que decai exponencialmente para seu equilíbrio

onde a constante de decadência

.

Em outras palavras, o oscilador paramétrico bloqueia a fase do sinal de bombeamento .

Tomando (ou seja, assumindo que a fase foi bloqueada), a equação torna-se

cuja solução é ; a amplitude da oscilação diverge exponencialmente. No entanto, a amplitude correspondente da variável não transformada não precisa divergir

A amplitude diverge, decai ou permanece constante, dependendo se é maior, menor ou igual a , respectivamente.

A taxa máxima de crescimento da amplitude ocorre quando . Nessa frequência, a fase de equilíbrio é zero, o que implica que e . À medida que varia de , afasta-se de zero e , ou seja, a amplitude cresce mais lentamente. Para desvios suficientemente grandes de , a constante de decaimento pode se tornar puramente imaginária, uma vez que

.

Se a desafinação exceder , torna-se puramente imaginária e varia sinusoidalmente. Usando a definição de desafinação , a frequência de bombeamento deve estar entre e para atingir o crescimento exponencial em . Expandir as raízes quadradas em uma série binomial mostra que a propagação nas frequências de bombeamento que resultam em crescimento exponencial é de aproximadamente .

Derivação intuitiva de excitação paramétrica

A derivação acima pode parecer um truque matemático, então pode ser útil dar uma derivação intuitiva. A equação pode ser escrita na forma

que representa um oscilador harmônico simples (ou, alternativamente, um filtro passa - banda ) sendo conduzido por um sinal que é proporcional à sua resposta .

Suponha que já tenha uma oscilação na frequência e que o bombeamento tenha o dobro da frequência e uma pequena amplitude . Aplicando uma identidade trigonométrica para produtos de sinusóides, seu produto produz dois sinais de acionamento, um na frequência e outro na frequência

Por estar fora da ressonância, o sinal é atenuado e pode ser negligenciado inicialmente. Em contraste, o sinal está em ressonância, serve para amplificar e é proporcional à amplitude . Conseqüentemente, a amplitude de cresce exponencialmente, a menos que seja inicialmente zero.

Expressada no espaço de Fourier, a multiplicação é uma convolução de suas transformadas e de Fourier . O feedback positivo surge porque o componente de converte o componente de em um sinal de direção em e vice-versa (inverta os sinais). Isso explica por que a frequência de bombeamento deve ser próxima ao dobro da frequência natural do oscilador. Bombear em uma frequência grosseiramente diferente não acopla (ou seja, fornece feedback positivo mútuo) entre os componentes e de .

Ressonância paramétrica

Ressonância paramétrica é o fenômeno de ressonância paramétrica de perturbação mecânica e oscilação em certas frequências (e os harmônicos associados ). Este efeito é diferente da ressonância regular porque exibe o fenômeno de instabilidade .

A ressonância paramétrica ocorre em um sistema mecânico quando um sistema é parametricamente excitado e oscila em uma de suas frequências de ressonância. A ressonância paramétrica ocorre quando a frequência de excitação externa é igual a duas vezes a frequência natural do sistema. A excitação paramétrica difere do forçamento, pois a ação aparece como uma modificação variável no tempo em um parâmetro do sistema. O exemplo clássico de ressonância paramétrica é o do pêndulo forçado verticalmente.

Para pequenas amplitudes e por linearização, a estabilidade da solução periódica é dada pela equação de Mathieu :

onde está alguma perturbação da solução periódica. Aqui, o termo atua como uma fonte de 'energia' e supostamente excita o sistema parametricamente. A equação de Mathieu descreve muitos outros sistemas físicos para uma excitação paramétrica senoidal, como um circuito LC, onde as placas do capacitor se movem senoidalmente.

Amplificadores paramétricos

Introdução

Um amplificador paramétrico é implementado como um mixer . O ganho do mixer aparece na saída como ganho do amplificador. O sinal fraco de entrada é misturado com um sinal forte do oscilador local, e a saída forte resultante é usada nos estágios subsequentes do receptor.

Os amplificadores paramétricos também operam alterando um parâmetro do amplificador. Intuitivamente, isso pode ser entendido como segue, para um amplificador baseado em capacitor variável. A carga em um capacitor obedece a:


portanto, a voltagem é

Sabendo o que foi dito acima, se um capacitor for carregado até que sua voltagem seja igual à voltagem amostrada de um sinal fraco de entrada, e se a capacitância do capacitor for então reduzida (digamos, movendo manualmente as placas para mais longe), então a voltagem através do capacitor aumentará . Desta forma, a voltagem do sinal fraco é amplificada.

Se o capacitor for um diodo varicap , então "mover as placas" pode ser feito simplesmente aplicando voltagem DC variável no tempo ao diodo varicap. Essa tensão de acionamento geralmente vem de outro oscilador - às vezes chamado de "bomba".

O sinal de saída resultante contém frequências que são a soma e a diferença do sinal de entrada (f1) e do sinal da bomba (f2): (f1 + f2) e (f1 - f2).

Um oscilador paramétrico prático precisa das seguintes conexões: uma para o "comum" ou " terra ", uma para alimentar a bomba, uma para recuperar a saída e talvez uma quarta para polarização. Um amplificador paramétrico precisa de uma quinta porta para inserir o sinal que está sendo amplificado. Como um diodo varator tem apenas duas conexões, ele só pode ser parte de uma rede LC com quatro autovetores com nós nas conexões. Isso pode ser implementado como um amplificador de transimpedância , um amplificador de onda viajante ou por meio de um circulador .

Equação matemática

A equação do oscilador paramétrico pode ser estendida adicionando uma força motriz externa :

.

Assumimos que o amortecimento é suficientemente forte para que, na ausência da força motriz , a amplitude das oscilações paramétricas não seja divergente, ou seja, aquela . Nesta situação, o bombeamento paramétrico atua para diminuir o amortecimento efetivo do sistema. Para ilustração, deixe o amortecimento ser constante e suponha que a força motriz externa está na frequência de ressonância média , ou seja ,. A equação se torna

cuja solução é aproximadamente

.

Conforme se aproxima do limite , a amplitude diverge. Quando , o sistema entra em ressonância paramétrica e a amplitude começa a crescer exponencialmente, mesmo na ausência de uma força motriz .

Vantagens

  1. É altamente sensível
  2. amplificador de baixo nível de ruído para ultra-alta frequência e sinal de rádio de micro-ondas
  3. A capacidade única de operar como um amplificador alimentado sem fio que não requer fonte de alimentação interna

Outros resultados matemáticos relevantes

Se os parâmetros de qualquer equação diferencial linear de segunda ordem são variados periodicamente, a análise de Floquet mostra que as soluções devem variar senoidal ou exponencialmente.

A equação acima com variação periódica é um exemplo de uma equação de Hill . Se for uma senoide simples, a equação é chamada de equação de Mathieu .

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Kühn L. (1914) Elektrotech. Z. , 35 , 816-819.
  • Mumford, WW (1960). "Algumas notas sobre a história dos transdutores paramétricos". Anais do Institute of Radio Engineers . 48 (5): 848–853. doi : 10.1109 / jrproc.1960.287620 . S2CID  51646108 .
  • Pungs L. DRGM Nr. 588 822 (24 de outubro de 1913); DRP Nr. 281440 (1913); Elektrotech. Z. , 44 , 78-81 (1923?); Proc. IRE , 49 , 378 (1961).

Artigos externos