Espaço paracompacto - Paracompact space

Em matemática , um espaço paracompacto é um espaço topológico no qual toda tampa aberta tem um refinamento aberto que é localmente finito . Esses espaços foram introduzidos por Dieudonné (1944) . Cada espaço compacto é paracompacto. Todo espaço de Hausdorff paracompacto é normal , e um espaço de Hausdorff é paracompacto se e somente se admitir partições de unidade subordinadas a qualquer cobertura aberta. Às vezes, espaços paracompactos são definidos de modo a sempre ser Hausdorff.

Cada subespaço fechado de um espaço paracompacto é paracompacto. Embora subconjuntos compactos de espaços de Hausdorff estejam sempre fechados, isso não é verdade para subconjuntos paracompactos. Um espaço tal que cada subespaço é um espaço para-compacto é denominado hereditariamente para-compacto . Isso equivale a exigir que todo subespaço aberto seja paracompacto.

O teorema de Tychonoff (que afirma que o produto de qualquer coleção de espaços topológicos compactos é compacto) não generaliza para espaços paracompactos no sentido de que o produto de espaços paracompactos não precisa ser paracompacto. No entanto, o produto de um espaço paracompacto e de um espaço compacto é sempre paracompacto.

Cada espaço métrico é paracompacto. Um espaço topológico é metrizável se e somente se for um espaço de Hausdorff paracompacto e localmente metrizável .

Definição

A tampa de um conjunto é uma coleção de subconjuntos de cuja união contém . Em símbolos, se é uma família indexada de subconjuntos de , então é uma capa de se

Uma cobertura de um espaço topológico é aberta se todos os seus membros forem conjuntos abertos . Um refinamento de uma capa de um espaço é uma nova capa do mesmo espaço de forma que cada conjunto na nova capa é um subconjunto de algum conjunto na capa antiga. Em símbolos, a capa é um refinamento da capa se e somente se, para algum em , existir algum em tal .

Uma cobertura aberta de um espaço é localmente finita se cada ponto do espaço tiver uma vizinhança que cruze apenas um número finito de conjuntos na cobertura. Em símbolos, é localmente finito se e somente se, para qualquer em , existe alguma vizinhança de tal que o conjunto

é finito. Um espaço topológico é agora considerado paracompacto se cada tampa aberta tem um refinamento aberto localmente finito.

Exemplos

Alguns exemplos de espaços que não são paracompactos incluem:

Propriedades

A paracompactação é fracamente hereditária, ou seja, todo subespaço fechado de um espaço paracompacto é paracompacto. Isso pode ser estendido para subespaços F-sigma também.

  • Um espaço regular é paracompacto se toda tampa aberta admitir um refinamento localmente finito. (Aqui, o refinamento não precisa ser aberto.) Em particular, todo espaço regular de Lindelöf é paracompacto.
  • ( Teorema da metrização de Smirnov ) Um espaço topológico é metrizável se e somente se for paracompacto, Hausdorff, e localmente metrizável.
  • O teorema de seleção de Michael afirma que multifunções semicontínuas inferiores de X em subconjuntos convexos fechados não vazios de espaços de Banach admitem seleção contínua se X for paracompacto.

Embora um produto de espaços paracompactos não precise ser paracompacto, o seguinte é verdadeiro:

Ambos os resultados podem ser provados pelo lema do tubo que é usado na prova de que um produto de muitos espaços compactos finitos é compacto.

Espaços de Hausdorff paracompactos

Espaços paracompactos às vezes também são obrigados a ser Hausdorff para estender suas propriedades.

  • ( Teorema de Jean Dieudonné ) Todo espaço de Hausdorff paracompacto é normal .
  • Cada espaço de Hausdorff paracompacto é um espaço encolhendo , ou seja, cada tampa aberta de um espaço de Hausdorff paracompacto tem um encolhimento: outra tampa aberta indexada pelo mesmo conjunto de forma que o fechamento de cada conjunto na nova capa fique dentro do conjunto correspondente no capa velha.
  • Em espaços paracompactos de Hausdorff, a cohomologia de feixe e a cohomologia Čech são iguais.

Partições de unidade

A característica mais importante dos espaços de Hausdorff paracompactos é que eles são normais e admitem partições de unidade subordinadas a qualquer tampa aberta. Isso significa o seguinte: se X é um espaço de Hausdorff paracompacto com uma determinada tampa aberta, então existe uma coleção de funções contínuas em X com valores no intervalo unitário [0, 1] tais que:

  • para cada função fX  →  R da coleção, há um conjunto aberto U da tampa, de modo que o suporte de f está contido em U ;
  • para cada ponto x em X , existe uma vizinhança V de x de modo a que todos mas finita muitas das funções da recolha são identicamente 0 em V e a soma das funções diferentes de zero é identicamente 1 em V .

De fato, um espaço T 1 é de Hausdorff e paracompacto se e somente se admitir partições de unidade subordinadas a qualquer tampa aberta (ver abaixo ). Esta propriedade às vezes é usada para definir espaços para-compactos (pelo menos no caso de Hausdorff).

As divisórias de unidade são úteis porque muitas vezes permitem estender as construções locais a todo o espaço. Por exemplo, a integral das formas diferenciais em variedades paracompactas é primeiro definida localmente (onde a variedade se parece com o espaço euclidiano e a integral é bem conhecida), e essa definição é então estendida a todo o espaço por meio de uma partição da unidade.

Prova de que espaços paracompactos de Hausdorff admitem partições de unidade

(Clique em "mostrar" à direita para ver a prova ou em "ocultar" para ocultá-la.)

Um espaço de Hausdorff é paracompacto se e somente se cada tampa aberta admitir uma partição subordinada de unidade. A direção if é direta. Agora, para a direção apenas se , fazemos isso em alguns estágios.

Lema 1: Se for uma cobertura aberta localmente finita, então existem conjuntos abertos para cada um , de modo que cada um e é um refinamento localmente finito.
Lema 2: Se é uma cobertura aberta localmente finita, então existem funções contínuas tais que e tal que é uma função contínua que é sempre diferente de zero e finita.
Teorema: Em um espaço de Hausdorff paracompacto , se for uma tampa aberta, então existe uma partição de unidade subordinada a ela.
Prova (Lema 1):
Seja a coleção de conjuntos abertos encontrando-se apenas com um número finito de conjuntos em , e cujo fechamento está contido em um conjunto em . Pode-se verificar como exercício que isso fornece um refinamento aberto, uma vez que os espaços de Hausdorff paracompactos são regulares e localmente finitos. Agora substitua por um refinamento aberto localmente finito. Pode-se verificar facilmente que cada conjunto neste refinamento possui as mesmas propriedades daquele que caracterizou a capa original.
Agora nós definimos . A propriedade das garantias de que todo está contido em algum . Portanto, é um refinamento aberto de . Como o fizemos , essa cobertura é imediatamente finita localmente.
Agora queremos mostrar isso a cada um . Para cada , vamos provar isso . Visto que escolhemos ser localmente finitos, existe uma vizinhança de tal que apenas muitos conjuntos finitos em têm interseção não vazia com , e notamos aqueles na definição de . Portanto, podemos decompor em duas partes: quem se cruza e o resto que não, o que significa que estão contidos no conjunto fechado . Agora temos . Desde e , temos para todos . E como é complemento de um bairro de , também não está em . Portanto, temos .

 

 

 

 

(Lem 1)

Prova (Lema 2):
Aplicando o Lema 1, sejam mapas contínuos com e (pelo lema de Urysohn para conjuntos fechados disjuntos em espaços normais, que é um espaço de Hausdorff paracompacto). Note que pelo suporte de uma função, queremos dizer aqui os pontos não mapeados para zero (e não o fechamento deste conjunto). Para mostrar que é sempre finito e diferente de zero, pegue e deixe uma vizinhança de encontro apenas conjuntos finitos ; assim, pertence apenas a um número finito de conjuntos ; assim, para todos, exceto para um número finito ; além disso, para alguns , assim ; assim é finito e . Para estabelecer a continuidade, tome como antes e deixe , o que é finito; então , que é uma função contínua; portanto, a pré-imagem abaixo de uma vizinhança de será uma vizinhança de .

 

 

 

 

(Lem 2)

Prova (Teorema):
Tome uma subcobertura localmente finito da tampa refinamento: . Aplicando o Lema 2, obtemos funções contínuas com (assim, a versão fechada usual do suporte está contida em alguns , para cada ; para a qual sua soma constitui uma função contínua que é sempre finita diferente de zero (portanto, é positiva contínua, valor finito ). Assim, substituindo cada um por , temos agora - todas as coisas permanecendo iguais - que sua soma está em toda parte . Finalmente , para deixar uma vizinhança de encontro apenas um número finito de conjuntos , temos para todos, exceto um número finito desde cada um . Assim, nós tem uma partição de unidade subordinada à tampa aberta original.

 

 

 

 

(Thm)

Relação com compactação

Há uma semelhança entre as definições de compactação e paracompactação: para paracompactação, "subcobertura" é substituída por "refinamento aberto" e "finito" por é substituído por "localmente finito". Ambas as mudanças são significativas: se tomarmos a definição de paracompacto e mudarmos "refinamento aberto" de volta para "subcobertura", ou "localmente finito" de volta para "finito", acabaremos com os espaços compactos em ambos os casos.

A paracompactação tem pouco a ver com a noção de compactação, mas sim mais a ver com a divisão de entidades espaciais topológicas em pedaços gerenciáveis.

Comparação de propriedades com compactação

A paracompactação é semelhante à compacidade nos seguintes aspectos:

É diferente nestes aspectos:

  • Um subconjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff não precisa ser fechado. Na verdade, para espaços métricos, todos os subconjuntos são paracompactos.
  • Um produto de espaços para-compactos não precisa ser para-compactos. O quadrado da linha real R na topologia do limite inferior é um exemplo clássico disso.

Variações

Existem várias variações da noção de paracompactness. Para defini-los, primeiro precisamos estender a lista de termos acima:

Um espaço topológico é:

  • metacompact se cada tampa aberta tem um refinamento finito pontual aberto.
  • ortocompactar se toda tampa aberta tiver um refinamento aberto de modo que a interseção de todos os conjuntos abertos sobre qualquer ponto neste refinamento seja aberta.
  • totalmente normal se toda tampa aberta tiver um refinamento em estrela aberta , e totalmente T 4 se for totalmente normal e T 1 (ver axiomas de separação ).

O advérbio " contável " pode ser adicionado a qualquer um dos adjetivos "paracompacto", "metacompacto" e "totalmente normal" para fazer com que o requisito se aplique apenas a capas abertas contáveis .

Todo espaço paracompacto é metacompacto e todo espaço metacompacto é ortocompacto.

Definição de termos relevantes para as variações

  • Dada uma capa e uma ponta, a estrela da ponta na capa é a união de todos os conjuntos da capa que contêm a ponta. Em símbolos, a estrela de x em U = { U α  : α em A } é
A notação para a estrela não é padronizada na literatura, e esta é apenas uma possibilidade.
  • Um refinamento de estrela de uma capa de um espaço X é uma nova capa do mesmo espaço de forma que, dado qualquer ponto no espaço, a estrela da ponta na nova capa é um subconjunto de algum conjunto da capa antiga. Em símbolos, V é um refinamento em estrela de U = { U α  : α em A } se e somente se, para qualquer x em X , existe um U α em U , tal que V * ( x ) está contido em U α .
  • Uma cobertura de um espaço X é finita pontualmente se cada ponto do espaço pertencer a apenas um número finito de conjuntos na cobertura. Em símbolos, U é finito pontualmente se e somente se, para qualquer x em X , o conjunto é finito.

Como o nome indica, um espaço totalmente normal é normal . Todo espaço totalmente T 4 é paracompacto. Na verdade, para espaços de Hausdorff, paracompactidade e normalidade total são equivalentes. Assim, um espaço totalmente T 4 é a mesma coisa que um espaço de Hausdorff paracompacto.

Sem a propriedade de Hausdorff, os espaços para-compactos não são necessariamente totalmente normais. Qualquer espaço compacto que não seja regular fornece um exemplo.

Uma nota histórica: os espaços totalmente normais foram definidos antes dos espaços para-compactos, em 1940, por John W. Tukey. A prova de que todos os espaços metrizáveis ​​são totalmente normais é fácil. Quando foi provado por AH Stone que para os espaços de Hausdorff a normalidade total e a paracompactação são equivalentes, ele implicitamente provou que todos os espaços metrizáveis ​​são paracompactos. Mais tarde, Ernest Michael deu uma prova direta do último fato e ME Rudin deu outra prova elementar.

Veja também

Notas

  1. ^ Michael, Ernest (1953). "Uma nota sobre espaços para-compactos" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN  0002-9939 .
  2. ^ Hatcher, Allen , pacotes de vetores e teoria K , versão preliminar disponível na página inicial do autor
  3. ^ Stone, AH Paracompactness e espaços de produto . Touro. Amer. Matemática. Soc. 54 (1948), 977-982
  4. ^ Rudin, Mary Ellen. Uma nova prova de que os espaços métricos são paracompactos . Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (fevereiro de 1969), p. 603.
  5. ^ C. Good, IJ Tree e WS Watson. Sobre o Teorema de Stone e o Axioma da Escolha . Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 126, No. 4. (abril, 1998), pp. 1211–1218.
  6. ^ Brylinski, Jean-Luc (2007), Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization , Progress in Mathematics, 107 , Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.
  7. ^ * Tukey, John W. (1940). Convergência e uniformidade na topologia . Annals of Mathematics Studies. 2 . Princeton University Press, Princeton, NJ pp. Ix + 90. MR  0002515 .

Referências

links externos