Espaço paracompacto - Paracompact space
Em matemática , um espaço paracompacto é um espaço topológico no qual toda tampa aberta tem um refinamento aberto que é localmente finito . Esses espaços foram introduzidos por Dieudonné (1944) . Cada espaço compacto é paracompacto. Todo espaço de Hausdorff paracompacto é normal , e um espaço de Hausdorff é paracompacto se e somente se admitir partições de unidade subordinadas a qualquer cobertura aberta. Às vezes, espaços paracompactos são definidos de modo a sempre ser Hausdorff.
Cada subespaço fechado de um espaço paracompacto é paracompacto. Embora subconjuntos compactos de espaços de Hausdorff estejam sempre fechados, isso não é verdade para subconjuntos paracompactos. Um espaço tal que cada subespaço é um espaço para-compacto é denominado hereditariamente para-compacto . Isso equivale a exigir que todo subespaço aberto seja paracompacto.
O teorema de Tychonoff (que afirma que o produto de qualquer coleção de espaços topológicos compactos é compacto) não generaliza para espaços paracompactos no sentido de que o produto de espaços paracompactos não precisa ser paracompacto. No entanto, o produto de um espaço paracompacto e de um espaço compacto é sempre paracompacto.
Cada espaço métrico é paracompacto. Um espaço topológico é metrizável se e somente se for um espaço de Hausdorff paracompacto e localmente metrizável .
Definição
A tampa de um conjunto é uma coleção de subconjuntos de cuja união contém . Em símbolos, se é uma família indexada de subconjuntos de , então é uma capa de se
Uma cobertura de um espaço topológico é aberta se todos os seus membros forem conjuntos abertos . Um refinamento de uma capa de um espaço é uma nova capa do mesmo espaço de forma que cada conjunto na nova capa é um subconjunto de algum conjunto na capa antiga. Em símbolos, a capa é um refinamento da capa se e somente se, para algum em , existir algum em tal .
Uma cobertura aberta de um espaço é localmente finita se cada ponto do espaço tiver uma vizinhança que cruze apenas um número finito de conjuntos na cobertura. Em símbolos, é localmente finito se e somente se, para qualquer em , existe alguma vizinhança de tal que o conjunto
é finito. Um espaço topológico é agora considerado paracompacto se cada tampa aberta tem um refinamento aberto localmente finito.
Exemplos
- Cada espaço compacto é paracompacto.
- Cada espaço Lindelöf regular é paracompacto. Em particular, cada espaço contável de Hausdorff localmente compacto é paracompacto.
- A linha Sorgenfrey é paracompacta, embora não seja compacta, nem localmente compacta, nem segundo contável, nem metrizável.
- Cada complexo CW é paracompacto
- ( Teorema de AH Stone ) Cada espaço métrico é paracompacto. As primeiras provas estavam um tanto envolvidas, mas uma elementar foi encontrada por M. E. Rudin . As provas existentes disso requerem o axioma de escolha para o caso inseparável . Foi demonstrado que a teoria ZF não é suficiente para prová-lo, mesmo depois que o axioma mais fraco da escolha dependente é adicionado.
Alguns exemplos de espaços que não são paracompactos incluem:
- O contra-exemplo mais famoso é a linha longa , que é uma variedade topológica não compacta . (A linha longa é localmente compacta, mas não pode ser contada em segundos.)
- Outro contra-exemplo é o produto de inúmeras cópias de um espaço discreto infinito . Qualquer conjunto infinito carregando a topologia de ponto particular não é paracompacto; na verdade, nem mesmo é metacompacto .
- O manifold Prüfer é uma superfície não paracompacta.
- O teorema da gaita de foles mostra que existem 2 ℵ 1 classes de isomorfismo de superfícies não paracompactas.
- O avião Sorgenfrey não é paracompacto, apesar de ser um produto de dois espaços paracompactos.
Propriedades
A paracompactação é fracamente hereditária, ou seja, todo subespaço fechado de um espaço paracompacto é paracompacto. Isso pode ser estendido para subespaços F-sigma também.
- Um espaço regular é paracompacto se toda tampa aberta admitir um refinamento localmente finito. (Aqui, o refinamento não precisa ser aberto.) Em particular, todo espaço regular de Lindelöf é paracompacto.
- ( Teorema da metrização de Smirnov ) Um espaço topológico é metrizável se e somente se for paracompacto, Hausdorff, e localmente metrizável.
- O teorema de seleção de Michael afirma que multifunções semicontínuas inferiores de X em subconjuntos convexos fechados não vazios de espaços de Banach admitem seleção contínua se X for paracompacto.
Embora um produto de espaços paracompactos não precise ser paracompacto, o seguinte é verdadeiro:
- O produto de um espaço paracompacto e de um espaço compacto é paracompacto.
- O produto de um espaço metacompacto por um espaço compacto é o metacompacto.
Ambos os resultados podem ser provados pelo lema do tubo que é usado na prova de que um produto de muitos espaços compactos finitos é compacto.
Espaços de Hausdorff paracompactos
Espaços paracompactos às vezes também são obrigados a ser Hausdorff para estender suas propriedades.
- ( Teorema de Jean Dieudonné ) Todo espaço de Hausdorff paracompacto é normal .
- Cada espaço de Hausdorff paracompacto é um espaço encolhendo , ou seja, cada tampa aberta de um espaço de Hausdorff paracompacto tem um encolhimento: outra tampa aberta indexada pelo mesmo conjunto de forma que o fechamento de cada conjunto na nova capa fique dentro do conjunto correspondente no capa velha.
- Em espaços paracompactos de Hausdorff, a cohomologia de feixe e a cohomologia Čech são iguais.
Partições de unidade
A característica mais importante dos espaços de Hausdorff paracompactos é que eles são normais e admitem partições de unidade subordinadas a qualquer tampa aberta. Isso significa o seguinte: se X é um espaço de Hausdorff paracompacto com uma determinada tampa aberta, então existe uma coleção de funções contínuas em X com valores no intervalo unitário [0, 1] tais que:
- para cada função f : X → R da coleção, há um conjunto aberto U da tampa, de modo que o suporte de f está contido em U ;
- para cada ponto x em X , existe uma vizinhança V de x de modo a que todos mas finita muitas das funções da recolha são identicamente 0 em V e a soma das funções diferentes de zero é identicamente 1 em V .
De fato, um espaço T 1 é de Hausdorff e paracompacto se e somente se admitir partições de unidade subordinadas a qualquer tampa aberta (ver abaixo ). Esta propriedade às vezes é usada para definir espaços para-compactos (pelo menos no caso de Hausdorff).
As divisórias de unidade são úteis porque muitas vezes permitem estender as construções locais a todo o espaço. Por exemplo, a integral das formas diferenciais em variedades paracompactas é primeiro definida localmente (onde a variedade se parece com o espaço euclidiano e a integral é bem conhecida), e essa definição é então estendida a todo o espaço por meio de uma partição da unidade.
Prova de que espaços paracompactos de Hausdorff admitem partições de unidade
Um espaço de Hausdorff é paracompacto se e somente se cada tampa aberta admitir uma partição subordinada de unidade. A direção if é direta. Agora, para a direção apenas se , fazemos isso em alguns estágios.
- Lema 1: Se for uma cobertura aberta localmente finita, então existem conjuntos abertos para cada um , de modo que cada um e é um refinamento localmente finito.
- Lema 2: Se é uma cobertura aberta localmente finita, então existem funções contínuas tais que e tal que é uma função contínua que é sempre diferente de zero e finita.
- Teorema: Em um espaço de Hausdorff paracompacto , se for uma tampa aberta, então existe uma partição de unidade subordinada a ela.
- Prova (Lema 1):
- Seja a coleção de conjuntos abertos encontrando-se apenas com um número finito de conjuntos em , e cujo fechamento está contido em um conjunto em . Pode-se verificar como exercício que isso fornece um refinamento aberto, uma vez que os espaços de Hausdorff paracompactos são regulares e localmente finitos. Agora substitua por um refinamento aberto localmente finito. Pode-se verificar facilmente que cada conjunto neste refinamento possui as mesmas propriedades daquele que caracterizou a capa original.
- Agora nós definimos . A propriedade das garantias de que todo está contido em algum . Portanto, é um refinamento aberto de . Como o fizemos , essa cobertura é imediatamente finita localmente.
- Agora queremos mostrar isso a cada um . Para cada , vamos provar isso . Visto que escolhemos ser localmente finitos, existe uma vizinhança de tal que apenas muitos conjuntos finitos em têm interseção não vazia com , e notamos aqueles na definição de . Portanto, podemos decompor em duas partes: quem se cruza e o resto que não, o que significa que estão contidos no conjunto fechado . Agora temos . Desde e , temos para todos . E como é complemento de um bairro de , também não está em . Portanto, temos .
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(Lem 1) |
- Prova (Lema 2):
- Aplicando o Lema 1, sejam mapas contínuos com e (pelo lema de Urysohn para conjuntos fechados disjuntos em espaços normais, que é um espaço de Hausdorff paracompacto). Note que pelo suporte de uma função, queremos dizer aqui os pontos não mapeados para zero (e não o fechamento deste conjunto). Para mostrar que é sempre finito e diferente de zero, pegue e deixe uma vizinhança de encontro apenas conjuntos finitos ; assim, pertence apenas a um número finito de conjuntos ; assim, para todos, exceto para um número finito ; além disso, para alguns , assim ; assim é finito e . Para estabelecer a continuidade, tome como antes e deixe , o que é finito; então , que é uma função contínua; portanto, a pré-imagem abaixo de uma vizinhança de será uma vizinhança de .
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(Lem 2) |
- Prova (Teorema):
- Tome uma subcobertura localmente finito da tampa refinamento: . Aplicando o Lema 2, obtemos funções contínuas com (assim, a versão fechada usual do suporte está contida em alguns , para cada ; para a qual sua soma constitui uma função contínua que é sempre finita diferente de zero (portanto, é positiva contínua, valor finito ). Assim, substituindo cada um por , temos agora - todas as coisas permanecendo iguais - que sua soma está em toda parte . Finalmente , para deixar uma vizinhança de encontro apenas um número finito de conjuntos , temos para todos, exceto um número finito desde cada um . Assim, nós tem uma partição de unidade subordinada à tampa aberta original.
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(Thm) |
Relação com compactação
Há uma semelhança entre as definições de compactação e paracompactação: para paracompactação, "subcobertura" é substituída por "refinamento aberto" e "finito" por é substituído por "localmente finito". Ambas as mudanças são significativas: se tomarmos a definição de paracompacto e mudarmos "refinamento aberto" de volta para "subcobertura", ou "localmente finito" de volta para "finito", acabaremos com os espaços compactos em ambos os casos.
A paracompactação tem pouco a ver com a noção de compactação, mas sim mais a ver com a divisão de entidades espaciais topológicas em pedaços gerenciáveis.
Comparação de propriedades com compactação
A paracompactação é semelhante à compacidade nos seguintes aspectos:
- Cada subconjunto fechado de um espaço paracompacto é paracompacto.
- Cada espaço de Hausdorff paracompacto é normal .
É diferente nestes aspectos:
- Um subconjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff não precisa ser fechado. Na verdade, para espaços métricos, todos os subconjuntos são paracompactos.
- Um produto de espaços para-compactos não precisa ser para-compactos. O quadrado da linha real R na topologia do limite inferior é um exemplo clássico disso.
Variações
Existem várias variações da noção de paracompactness. Para defini-los, primeiro precisamos estender a lista de termos acima:
Um espaço topológico é:
- metacompact se cada tampa aberta tem um refinamento finito pontual aberto.
- ortocompactar se toda tampa aberta tiver um refinamento aberto de modo que a interseção de todos os conjuntos abertos sobre qualquer ponto neste refinamento seja aberta.
- totalmente normal se toda tampa aberta tiver um refinamento em estrela aberta , e totalmente T 4 se for totalmente normal e T 1 (ver axiomas de separação ).
O advérbio " contável " pode ser adicionado a qualquer um dos adjetivos "paracompacto", "metacompacto" e "totalmente normal" para fazer com que o requisito se aplique apenas a capas abertas contáveis .
Todo espaço paracompacto é metacompacto e todo espaço metacompacto é ortocompacto.
Definição de termos relevantes para as variações
- Dada uma capa e uma ponta, a estrela da ponta na capa é a união de todos os conjuntos da capa que contêm a ponta. Em símbolos, a estrela de x em U = { U α : α em A } é
- A notação para a estrela não é padronizada na literatura, e esta é apenas uma possibilidade.
- Um refinamento de estrela de uma capa de um espaço X é uma nova capa do mesmo espaço de forma que, dado qualquer ponto no espaço, a estrela da ponta na nova capa é um subconjunto de algum conjunto da capa antiga. Em símbolos, V é um refinamento em estrela de U = { U α : α em A } se e somente se, para qualquer x em X , existe um U α em U , tal que V * ( x ) está contido em U α .
- Uma cobertura de um espaço X é finita pontualmente se cada ponto do espaço pertencer a apenas um número finito de conjuntos na cobertura. Em símbolos, U é finito pontualmente se e somente se, para qualquer x em X , o conjunto é finito.
Como o nome indica, um espaço totalmente normal é normal . Todo espaço totalmente T 4 é paracompacto. Na verdade, para espaços de Hausdorff, paracompactidade e normalidade total são equivalentes. Assim, um espaço totalmente T 4 é a mesma coisa que um espaço de Hausdorff paracompacto.
Sem a propriedade de Hausdorff, os espaços para-compactos não são necessariamente totalmente normais. Qualquer espaço compacto que não seja regular fornece um exemplo.
Uma nota histórica: os espaços totalmente normais foram definidos antes dos espaços para-compactos, em 1940, por John W. Tukey. A prova de que todos os espaços metrizáveis são totalmente normais é fácil. Quando foi provado por AH Stone que para os espaços de Hausdorff a normalidade total e a paracompactação são equivalentes, ele implicitamente provou que todos os espaços metrizáveis são paracompactos. Mais tarde, Ernest Michael deu uma prova direta do último fato e ME Rudin deu outra prova elementar.
Veja também
Notas
- ^ Michael, Ernest (1953). "Uma nota sobre espaços para-compactos" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN 0002-9939 .
- ^ Hatcher, Allen , pacotes de vetores e teoria K , versão preliminar disponível na página inicial do autor
- ^ Stone, AH Paracompactness e espaços de produto . Touro. Amer. Matemática. Soc. 54 (1948), 977-982
- ^ Rudin, Mary Ellen. Uma nova prova de que os espaços métricos são paracompactos . Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (fevereiro de 1969), p. 603.
- ^ C. Good, IJ Tree e WS Watson. Sobre o Teorema de Stone e o Axioma da Escolha . Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 126, No. 4. (abril, 1998), pp. 1211–1218.
- ^ Brylinski, Jean-Luc (2007), Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization , Progress in Mathematics, 107 , Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.
- ^ * Tukey, John W. (1940). Convergência e uniformidade na topologia . Annals of Mathematics Studies. 2 . Princeton University Press, Princeton, NJ pp. Ix + 90. MR 0002515 .
Referências
- Dieudonné, Jean (1944), "Une généralisation des espaces compactos", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65-76, ISSN 0021-7824 , MR 0013297
- Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology (2 ed) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7 . P.23.
- Willard, Stephen (1970). Topologia geral . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
- Mathew, Akhil. "Topologia / Paracompactidade" .
links externos
- "Paracompact space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]