Matemática da criação de livros - Mathematics of bookmaking

Na linguagem do jogo , fazer um livro é a prática de apostar nos vários resultados possíveis de um único evento. A frase se origina da prática de registrar essas apostas em um livro - razão (o 'livro') e dá ao idioma inglês o termo bookmaker para a pessoa que faz as apostas e, portanto, 'faz o livro'.

Fazendo um 'livro' (e a noção de overround)

Um corretor de apostas se esforça para aceitar apostas no resultado de um evento nas proporções corretas, a fim de obter lucro, independentemente do resultado prevalecer. Veja o livro holandês e coerência (estratégia filosófica de jogo) . Isto é conseguido principalmente ajustando o que é determinado como sendo as verdadeiras probabilidades dos vários resultados de um evento de uma forma descendente (ou seja, o bookmaker pagará usando as suas probabilidades reais, uma quantia que é menor do que as probabilidades reais pagariam, garantindo assim um lucro).

As probabilidades cotadas para um evento específico podem ser fixas, mas são mais propensas a flutuar, a fim de levar em consideração o tamanho das apostas feitas pelos apostadores na preparação para o evento real (por exemplo, uma corrida de cavalos). Este artigo explica a matemática de fazer um livro no caso (mais simples) do primeiro evento. Para o segundo método, veja apostas Parimutuel .

É importante entender a relação entre as probabilidades fracionárias e decimais. As probabilidades fracionárias são aquelas escritas ab (a / b ou a a b) significam que um apostador vencedor receberá seu dinheiro de volta mais a unidades para cada b unidades que apostar. Multiplicar aeb pelo mesmo número dá chances equivalentes a ab. As probabilidades decimais são um único valor, maior do que 1, representando o valor a ser pago por cada unidade de aposta. Por exemplo, uma aposta de £ 40 em 6-4 (probabilidades fracionárias) pagará £ 40 + £ 60 = £ 100. As probabilidades decimais equivalentes são 2,5; £ 40 x 2,5 = £ 100. Podemos converter probabilidades fracionárias em decimais pela fórmula D = b + a ⁄ b . Portanto, as probabilidades fracionárias de a-1 (ou seja, b = 1) podem ser obtidas a partir das probabilidades decimais por a = D-1.

Também é importante compreender a relação entre as probabilidades e probabilidades implícitas: as probabilidades fracionais de ab (com as probabilidades decimais correspondentes D) representam uma probabilidade implícita de b ⁄ a + b = 1 ⁄ D , por exemplo, 6-4 corresponde a 4 ⁄ 6+ 4 = 4 ⁄ 10 = 0,4 (40%). Uma probabilidade implícita de x é representada por chances fracionárias de (1-x) / x, por exemplo, 0,2 é (1-0,2) /0,2 = 0,8 / 0,2 = 4/1 (4-1, 4 para 1) (equivalentemente, 1 ⁄ x - 1 para 1) e as chances decimais de D = 1 ⁄ x .

Exemplo

Ao considerar uma partida de futebol (o evento) que pode ser uma 'vitória em casa', 'empate' ou 'vitória fora' (os resultados), as seguintes probabilidades podem ser encontradas para representar a verdadeira chance de cada um dos três resultados:

Casa: Evens

Sorteio: 2-1

Ausente: 5-1

Essas probabilidades podem ser representadas como probabilidades implícitas (ou porcentagens multiplicadas por 100) da seguinte forma:

Evens (ou 1-1) corresponde a uma probabilidade implícita de 1 ⁄ 2 (50%)

2-1 corresponde a uma probabilidade implícita de 1 ⁄ 3 (33 1 ⁄ 3 %)

5-1 corresponde a uma probabilidade implícita de 1 ⁄ 6 (16 2 ⁄ 3 %)

Somando as percentagens, obtém-se um 'livro' total de 100% (representando um livro justo ). O corretor de apostas, em seu desejo de obter lucro, invariavelmente reduzirá essas probabilidades. Considere o modelo mais simples de redução, que usa uma diminuição proporcional das probabilidades. Para o exemplo acima, as seguintes probabilidades estão na mesma proporção em relação às suas probabilidades implícitas (3: 2: 1):

Casa: 4-6

Sorteio: 6-4

Ausente: 4-1

4-6 corresponde a uma probabilidade implícita de 3 ⁄ 5 (60%)

6-4 corresponde a uma probabilidade implícita de 2 ⁄ 5 (40%)

4-1 corresponde a uma probabilidade implícita de 1 ⁄ 5 (20%)

Ao somar essas porcentagens, um 'livro' de 120% é obtido.

O valor pelo qual o 'livro' real excede 100% é conhecido como 'overround', 'margem do bookmaker' ou ' vigorish ' ou 'vig': representa o lucro esperado do bookmaker. Assim, numa situação "ideal", se o bookmaker aceitar £ 120 em apostas nas suas próprias probabilidades cotadas na proporção correcta, pagará apenas £ 100 (incluindo apostas devolvidas) independentemente do resultado real do jogo de futebol. Examinando como ele potencialmente consegue isso:

Uma aposta de £ 60,00 @ 4-6 retorna £ 100,00 (exatamente) para uma vitória em casa.

Uma aposta de £ 40,00 @ 6-4 retorna £ 100,00 (exatamente) para um empate

Uma aposta de £ 20,00 @ 4-1 retorna £ 100,00 (exatamente) para uma vitória fora

Total de apostas recebidas - £ 120,00 e um pagamento máximo de £ 100,00, independentemente do resultado. Este lucro de £ 20,00 representa um lucro de 16 2 ⁄ 3  % sobre o volume de negócios (20,00 / 120,00).

Na realidade, as casas de apostas utilizam modelos de redução mais complicados do que o modelo da situação "ideal".

Margem de apostas em ligas de futebol inglesas

A margem de apostas nas ligas inglesas de futebol diminuiu nos últimos anos. O estudo de seis grandes casas de apostas entre a temporada 2005/06 e a temporada 2017/2018 mostrou que a margem média na Premier League diminuiu de 9% para 4%, no English Football League Championship , na English Football League One e na English Football League Two de 11% para 6% e na Liga Nacional de 11% para 8%.

Overround em apostas múltiplas

Quando um apostador ( apostador ) combina mais de uma seleção em, por exemplo, um duplo , triplo ou acumulador , o efeito do overround no livro de cada seleção é agravado em detrimento do apostador em termos de retorno financeiro em comparação com as verdadeiras probabilidades de todas as seleções ganharem e, assim, resultar em uma aposta bem-sucedida.

Para explicar o conceito na mais básica das situações, será examinado um exemplo que consiste em um double composto por selecionar o vencedor de cada uma das duas partidas de tênis:

Na Partida 1 entre os jogadores A e B, ambos os jogadores são avaliados para ter a mesma chance de ganhar. A situação é a mesma em Combinar 2 jogadores entre C e D . Em um fair book em cada uma de suas partidas, ou seja, cada um tem um book de 100%, todos os jogadores seriam oferecidos com odds de Evens (1-1). No entanto, um bookmaker provavelmente ofereceria probabilidades de 5-6 (por exemplo) em cada um dos dois resultados possíveis em cada evento (cada partida de tênis). Isso resulta em um livro para cada uma das partidas de tênis de 109,09 ...%, calculado por 100 × ( 6 ⁄ 11 + 6 ⁄ 11 ), ou seja, 9,09% overround.

Existem quatro resultados possíveis ao combinar os resultados de ambas as partidas: o par de jogadores vencedor pode ser AC , AD , BC ou BD . Como cada um dos resultados para este exemplo foi escolhido deliberadamente para garantir que eles sejam igualmente prováveis, pode-se deduzir que a probabilidade de cada resultado ocorrer é 1 ⁄ 4 ou 0,25 e que as probabilidades fracionárias contra cada ocorrência é 3-1. Uma aposta de 100 unidades (para simplificar) em qualquer uma das quatro combinações produziria um retorno de 100 × (3/1 + 1) = 400 unidades se bem-sucedida, refletindo as chances decimais de 4,0.

As probabilidades decimais de uma aposta múltipla são frequentemente calculadas multiplicando as probabilidades decimais das apostas individuais, a ideia sendo que se os eventos são independentes, então a probabilidade implícita deve ser o produto das probabilidades implícitas das apostas individuais. No caso acima, com probabilidades fracionárias de 5-6, as probabilidades decimais são 11 ⁄ 6 . Portanto, as chances decimais da aposta dupla são 11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6 = 1,833 ... × 1,833 ... = 3,3611 ..., ou chances fracionárias de 2,3611-1. Isso representa uma probabilidade implícita de 29,752% (1 / 3,3611) e a multiplicação por 4 (para cada uma das quatro combinações de resultados igualmente prováveis) dá um livro total de 119,01%. Assim, o overround um pouco mais do que dobrou, combinando duas apostas simples em uma dupla.

Em geral, o overround combinado em um duplo (O _D ), expresso como uma porcentagem, é calculado a partir dos livros individuais B ₁ e B ₂ , expressos como decimais, por O _D = B ₁ × B ₂ × 100 - 100. Em no exemplo, temos O _D = 1,0909 × 1,0909 × 100 - 100 = 19,01%.

Este enorme aumento no lucro potencial para o bookmaker (19% em vez de 9% em um evento; neste caso, o dobro) é a principal razão pela qual os bookmakers pagam bônus pela seleção bem-sucedida dos vencedores em apostas múltiplas: compare oferecendo um bônus de 25% na escolha correta de quatro vencedores de quatro seleções em um Yankee , por exemplo, quando o potencial overround em um simples quádruplo de corridas com livros individuais de 120% é superior a 107% (um livro de 207%). É por isso que as casas de apostas oferecem apostas como Lucky 15 , Lucky 31 e Lucky 63 ; oferecendo o dobro das chances para um vencedor e aumentando os bônus de porcentagem para dois, três ou mais vencedores.

Em geral, para qualquer aposta acumuladora de duas seleções i , a porcentagem combinada sobre os livros de B ₁ , B ₂ , ..., B _i dada em termos de decimais, é calculada por B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100. Por exemplo, o quádruplo mencionado anteriormente, consistindo em livros individuais de 120% (1,20), dá um overround de 1,20 × 1,20 × 1,20 × 1,20 × 100 - 100 = 107,36%.

Estabelecendo apostas vencedoras

Ao definir as apostas ganhadoras, as probabilidades decimais são usadas ou uma é adicionada às probabilidades fracionárias: isso inclui a aposta no retorno. A parte da posição das apostas each-way é calculada separadamente da parte da vitória ; o método é idêntico, mas as probabilidades são reduzidas por qualquer que seja o fator de posição para o evento específico (consulte o Acumulador abaixo para obter um exemplo detalhado). Todas as apostas são consideradas apostas 'win', a menos que 'each-way' seja especificamente indicado. Todos mostram o uso de probabilidades fracionárias: substitua (probabilidades fracionárias + 1) por probabilidades decimais se as probabilidades decimais forem conhecidas. Os não corredores são tratados como vencedores com chances fracionárias de zero (chances decimais de 1). As frações de centavos nos ganhos totais são sempre arredondadas para baixo pelas casas de apostas para o centavo mais próximo abaixo. Os cálculos abaixo para apostas múltiplas resultam em totais sendo mostrados para as categorias separadas (por exemplo, duplas, triplas, etc.) e, portanto, os retornos gerais podem não ser exatamente o mesmo que o valor recebido usando o software de computador disponível para as casas de apostas para calcular o total ganhos.

Músicas

Ganhar solteiro

Por exemplo, £ 100 para solteiro em 9-2; total apostado = £ 100

Retorna = £ 100 × (9/2 + 1) = £ 100 × 5,5 = £ 550

Única de sentido único

Por exemplo, £ 100 em cada sentido individual em 11-4 ( 1 ⁄ 5 chances por casa); total apostado = £ 200

Retorna (vitória) = £ 100 × (11/4 + 1) = £ 100 × 3,75 = £ 375

Retorna (lugar) = £ 100 × (20/11 + 1) = £ 100 × 1,55 = £ 155

Retornos totais se a seleção ganhar = £ 530; se apenas colocado = £ 155

Apostas múltiplas

As apostas múltiplas each-way são geralmente resolvidas usando um método padrão " Win to Win, Place to Place ", o que significa que a aposta consiste em um acumulador de vitória e um acumulador de lugar separado (Nota: um duplo ou triplo é um acumulador com 2 ou 3 seleções respectivamente). No entanto, uma forma mais incomum de liquidar este tipo de apostas é " Ambos os sentidos, todos os sentidos " (conhecido como " igualmente dividido ", que normalmente deve ser solicitado como tal no boletim de apostas), em que os retornos de uma seleção em o acumulador é dividido para formar uma aposta de aposta igual na próxima seleção e assim por diante até que todas as seleções tenham sido usadas. O primeiro exemplo abaixo mostra as duas abordagens diferentes para resolver esses tipos de apostas.

Dobro

Por exemplo, £ 100 em cada sentido o dobro com os vencedores em 2-1 ( 1 ⁄ 5 probabilidades por vaga) e 5-4 ( 1 ⁄ 4 probabilidades por vaga); total apostado = £ 200

Nota: " Vencer para ganhar, Place to Place " sempre fornecerá um maior retorno se todas as seleções ganharem, enquanto " Each-Way all Each-Way " fornece maior compensação se uma seleção for uma perdedora, já que cada um dos outros vencedores fornece uma maior quantidade de dinheiro do lugar para as seleções subsequentes.

Treble

Por exemplo, £ 100 triplos com vencedores em 3-1, 4-6 e 11-4; total apostado = £ 100

Retorna = £ 100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £ 2.500

Acumulador

Por exemplo, £ 100 em cada sentido, acumulador quíntuplo com vencedores em Evens ( 1 ⁄ 4 probabilidades por lugar), 11-8 ( 1 ⁄ 5 probabilidades), 5-4 ( 1 ⁄ 4 probabilidades), 1-2 (todos para ganhar) e 3-1 ( 1 ⁄ 5 probabilidades); total apostado = £ 200

Nota: 'Tudo pronto para ganhar' significa que não há participantes suficientes no evento para que as probabilidades de lugar sejam dadas (por exemplo, 4 ou menos corredores em uma corrida de cavalos). O único 'lugar', portanto, é o primeiro lugar, para o qual as chances de vitória são dadas.

Retorna (ganhar cinco vezes) = £ 100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412,50

Retorna (lugar quíntuplo) = £ 100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502,03

Retorno total = £ 6914,53

Apostas full-cover

Trixie

ianque

Trixie , Yankee , Canadian , Heinz , Super Heinz e Goliath formam uma família de apostas conhecidas como full cover bets, que têm todos os múltiplos possíveis presentes. Exemplos de apostas ganhadoras de Trixie e Yankee foram mostrados acima. As outras apostas nomeadas são calculadas de maneira semelhante, observando todas as combinações possíveis de seleções em seus múltiplos. Nota: Um Double pode ser considerado uma aposta full cover com apenas duas seleções.

Se uma seleção em uma dessas apostas não ganhar, os vencedores restantes são considerados uma aposta totalmente bem-sucedida no próximo 'membro da família' a menos. Por exemplo, apenas dois vencedores em três em uma Trixie significa que a aposta é definida como dupla; apenas quatro vencedores em cinco em um canadense significa que é considerado um ianque ; apenas cinco vencedores em oito em um Golias significa que ele é considerado um canadense . A parte da posição das apostas em cada sentido é calculada separadamente usando as probabilidades reduzidas. Assim, um Super Heinz em cada sentido em sete cavalos com três vencedores e mais dois cavalos colocados é definido como uma Trixie de vitória e uma vaga canadense . Praticamente todas as casas de apostas usam software de computador para facilidade, velocidade e precisão de cálculo para a liquidação de apostas múltiplas.

Apostas full cover com singles

Patente

Patent , Lucky 15 , Lucky 31 , Lucky 63 e superior As apostas Lucky formam uma família de apostas conhecidas como full cover bets com singles que têm todos os múltiplos possíveis presentes juntamente com apostas simples em todas as seleções. Um exemplo de uma aposta de patente vencedora foi mostrado acima. As outras apostas nomeadas são calculadas de forma semelhante, observando todas as combinações possíveis de seleções em seus múltiplos e simples.

Se uma seleção em uma dessas apostas não ganhar, os vencedores restantes são considerados uma aposta totalmente bem-sucedida no próximo 'membro da família' a menos. Por exemplo, apenas dois vencedores de três em uma patente significa que a aposta é definida como dupla e duas individuais; apenas três vencedores em quatro em um Lucky 15 significa que é considerado uma Patente ; apenas quatro vencedores de seis em um Lucky 63 significa que é considerado um Lucky 15 . A parte da posição das apostas em cada sentido é calculada separadamente usando as probabilidades reduzidas. Assim, um Lucky 63 em cada sentido em seis cavalos com três vencedores e mais dois cavalos colocados é considerado uma Patente de vitória e um Lucky 31 de lugar .

Interpretação algébrica

Os retornos de qualquer aposta podem ser considerados calculados como 'unidade de aposta' × 'multiplicador de probabilidades'. O 'multiplicador de probabilidades' geral é um valor de probabilidades decimais combinado e é o resultado de todas as apostas individuais que constituem uma aposta de cobertura total, incluindo simples, se necessário. Por exemplo, se um Yankee de £ 10 bem-sucedido retornou £ 461,35, então o 'multiplicador de probabilidades' ( OM ) geral é 46,135.

Se a , b , c , d ... representam as probabilidades decimais , isto é (probabilidades fracionárias + 1), então um OM pode ser calculado algebricamente multiplicando as expressões ( a + 1), ( b + 1), ( c + 1) ... etc. juntos da maneira exigida e subtraindo 1. Se necessário, (odds decimais + 1) pode ser substituído por (odds fracionários + 2).

Exemplos

3 selecções com odds decimais um , b e c . Expandir ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) algebricamente dá abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1. Isso é equivalente ao OM para uma Patente (triplo: abc ; duplica: ab , ac e bc ; singles: a , b e c ) mais 1 . Portanto, para calcular os retornos de uma patente vencedora, é apenas um caso de multiplicar ( a + 1), ( b + 1) e ( c + 1) juntos e subtrair 1 para obter o OM para a aposta vencedora, ou seja, OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) - 1 . Agora multiplique pela aposta unitária para obter o retorno total da aposta.

Por exemplo, a patente vencedora descrita anteriormente pode ser avaliada de forma mais rápida e simples pelo seguinte:

Retornos totais = £ 2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = £ 99,33

Ignorando quaisquer bônus, 50 pence em cada sentido Lucky 63 (aposta total £ 63) com 4 vencedores [2-1, 5-2, 7-2 (todas as chances de 1 ⁄ 5 por lugar) e 6-4 ( 1 ⁄ 4 odds a place)] e um cavalo adicional colocado [9-2 ( 1 ⁄ 5 odds a place)] pode ser calculado com relativa facilidade da seguinte forma:

Retorna (parte da vitória) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = £ 172,75

ou mais simplesmente como 0,50 × (4 × 4,5 × 5,5 × 3,5 - 1)

Retorna (parte do lugar) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1 ] = £ 11,79

ou mais simplesmente como 0,50 × (2,4 × 2,5 × 2,7 × 2,375 × 2,9 - 1)

Retorno total = £ 184,54

Para a família de apostas full cover que não inclui apostas simples, é feito um ajuste no cálculo para deixar apenas as duplas, as triplas e os acumuladores. Assim, um Yankee vencedor de £ 10 descrito anteriormente com vencedores em 1-3, 5-2, 6-4 e Evens tem retornos calculados por:

£ 10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) - 1 - [(1/3 + 1) + (5 / 2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £ 999,16

Com efeito, a aposta foi calculada como um Lucky 15 menos os singles. Observe que o valor total de retorno de £ 999,16 é um centavo maior do que o valor calculado anteriormente, pois esse método mais rápido envolve apenas o arredondamento da resposta final , e não o arredondamento em cada etapa individual.

Em termos algébricos, o OM para a aposta Yankee é dado por:

OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) - 1 - ( a + b + c + d )

Nos dias anteriores à disponibilização do software para uso por bookmakers e por aqueles que acertavam apostas em Licensed Betting Offices (LBOs), este método era virtualmente de rigueur para economizar tempo e evitar os múltiplos cálculos repetitivos necessários na liquidação de apostas do tipo full cover.

Resolver outros tipos de apostas vencedoras

Para cima e para baixo

Round Robin

Um Round Robin com 3 vencedores é calculado como uma Trixie mais três apostas Up e Down com 2 vencedores em cada.

Um Round Robin com 2 vencedores é calculado como uma aposta dupla mais uma Up e Down com 2 vencedores mais duas apostas Up e Down com 1 vencedor em cada.

Um Round Robin com 1 vencedor é calculado como duas apostas Up e Down com um vencedor em cada.

As apostas de bandeira e super bandeira podem ser calculadas de maneira semelhante à anterior, usando a aposta de cobertura total apropriada (se houver vencedores em número suficiente) juntamente com o número necessário de 2 apostas de vencedor e 1 de vencedor para cima e para baixo.

Nota: Os colonos especialistas em apostas antes da introdução do software de definição de apostas invariavelmente usariam um método do tipo algébrico junto com uma calculadora simples para determinar o retorno de uma aposta (veja abaixo).

Interpretação algébrica

Se a , b , c , d ... representam as probabilidades decimais , isto é (probabilidades fracionárias + 1), então um 'multiplicador de probabilidades' OM pode ser calculado algebricamente multiplicando as expressões ( a + 1), ( b + 1) , ( c + 1) ... etc. juntos da maneira necessária e adicionando ou subtraindo componentes adicionais. Se necessário, (odds decimais + 1) pode ser substituído por (odds fracionários + 2).

Exemplos

Veja também

• Previsões estatísticas de futebol da associação
• Glossário de apostas oferecidas por casas de apostas do Reino Unido

Notas

Referências

• Cortis, D. (2015). "Valores esperados e variação nos pagamentos das casas de apostas: uma abordagem teórica para definir limites nas probabilidades". Journal of Prediction Markets. 1. 9.
• Sidney, C (1976). The Art of Legging , Maxline International.
• Sidney, C (2003). The Art of Legging: The History, Theory, and Practice of Bookmaking on the English Turf , 3ª edição, Rotex Publishing 2003, 224pp. ISBN  978-1-872254-06-7 . 3ª edição definitiva e extensivamente revisada e atualizada na história, teoria, prática e matemática de apostas, além da matemática de apostas fora do curso, apostas e seu cálculo e controle de responsabilidade .

Leitura adicional

• " Finding an Edge ", Ron Loftus , US-SC-North Charleston: Create Space., 2011, 144pp.
• " How to make a book ", Phil Bull , London: Morrison & Gibb Ltd., 1948, 160pp.
• " The book on bookmaking ", Ferde Rombola, California: Romford Press, 1984, 147pp. ISBN  978-0-935536-37-9 .
• The Art of Bookmaking , Malcolm Boyle, High Stakes Publishing 2006.
• Secrets of Successful Betting , Michael Adams, Raceform, 2002.
• The Mathematics of Games and Gambling , Edward W. Packel, Mathematical Association of America , 2006.
• The Mathematics of Gambling , Edward O. Thorp, L. Stuart, 1984.
• "Maximin Hedges", Jean-Claude Derderian, Mathematics Magazine , volume 51, número 3. (maio de 1978), páginas 188–192.
• "Carnap e de Finetti em apostas e a probabilidade de eventos singulares: o argumento do livro holandês reconsiderado" Klaus Heilig, The British Journal for the Philosophy of Science , volume 29, número 4. (dezembro, 1978), páginas 325-346.
• "Tests of the Efficiency of Racetrack Betting Using Bookmaker Odds", Ron Bird, Michael McCrae, Management Science , volume 33, número 12 (dezembro, 1987), páginas 152-156.
• "Por que existe um preconceito de tiro ao alvo favorito nos mercados de apostas em corridas britânicas", Leighton Vaughan Williams, David Paton. The Economic Journal , volume 107, número 440 (janeiro de 1997), páginas 150–158.
• Optimal Determination of Bookmakers 'Betting Odds: Theory and Tests , de John Fingleton e Patrick Waldron, Trinity Economic Paper Series, Technical Paper No. 96/9, Trinity College, University of Dublin , 1999.
• "Odds That Don't Some Up!", Mike Fletcher, Teaching Mathematics and its Applications , 1994, volume 13, número 4, páginas 145-147.
• "Informação, Preços e Eficiência em um Mercado de Apostas de Probabilidade Fixa", Peter F. Pope, David A. Peel, Economica, New Series , volume 56, número 223, (agosto de 1989), páginas 323-341.
• "A Mathematical Perspective on Gambling", Molly Maxwell, MIT Undergraduate Journal of Mathematics , volume 1, (1999), páginas 123-132.
• " Guia de probabilidade para jogos de azar: a matemática de dados, slots, roleta, bacará, blackjack, pôquer, loteria e apostas esportivas ", Catalin Barboianu, Infarom, 2006, 316pp. ISBN  973-87520-3-5 .